集合论的漏洞：全体自然数和罗素悖论，数学危机至今没有解决

高中数学比起初中数学来，中间有一个巨大的断裂层，高一的学生刚开始接触便会感到吃力。必修一的第一章便是集合，这是学生们见识数学奥秘的开始。集合的概念并不难，就是把一堆元素放在一起，变成一个整体。高中阶段教授的集合还比较简单，其实集合已经渗透到了大多数数学分支中。

集合

一个几何图形，也能视为“集合”，是由平面内所有的点形成的“点集”。一个集合加上特定的拓扑结构便能形成拓扑空间，研究它便是研究拓扑学。类似的例子数不胜数，集合思想是数学发展史上的里程碑。

集合论思想

和微积分一样，集合思想在古希腊时期就有数学家在使用了，不过他们是无意识的，只觉得把这些元素放到一起方便研究。也没有人会想到，可以在这上面建立一门新的数学分支。亚里士多德在研究数字的时候，提出自然数是潜在无穷的，不管多大都不是它的尽头，因为永远有个数字比它大1。

亚里士多德支持潜在无穷

当时的数学界，主流观点便是亚里士多德提出的“潜在无穷”，否定了“实在无穷”。两者的差异和冲突便是第三次数学危机的导火线，说白了，两者的分歧就是无穷大数的存在性问题。潜在无穷认为数字没有限制，它永远是向前延伸的。实在无穷则认为存在全体自然数，无穷大数也是整体里的一部分。

这和微积分有点相似啊！微积分起初是用来研究无穷小量的，而且还成功了，那潜在无穷和实在无穷的问题该怎么解决？

康托尔和集合论

微积分

微积分问世后，数学界关注的焦点再次变成了无穷小量。很多数学家后陷入了两难的境地，一方面认为无穷集合应该是不存在的，因为它没办法准确描述出来。另一方面又觉得部分应该属于整体，那无穷大数便是全体自然数的一部分，这岂不是自相矛盾？就连高斯也站出来了，说无穷思想还没有完整建立，在数学中还是减少使用为好。

波尔查曼、黎曼、海涅等数学家都投入了研究无穷问题的工作中，距离集合论问世只差一层窗户纸了。

康托尔

1873年，康托尔发表了论文，集合论正式建立。主要思想是认可了实在无穷，表示存在全体自然数。康托尔用了6篇论文来论证集合论思想，还引入了超穷数理论和可数集。

数学家们把他的6篇论文翻了好几遍，然后就分成了两个派别，以克罗内克为代表的大部分数学家认为集合论是“神秘主义”，康托尔对无穷的研究是病态的，支持康托尔的数学家并不多。

罗素悖论

在研究康托尔的集合论时，数学家陆续发现它在“连续统假设”和“良序性定理”的证明上存在明显漏洞，推翻了康托尔的证明。再之后，罗素提出了理发师悖论：一个理发师为全村人服务，自己不刮脸的人都来找他。

罗素

那问题来了，他自己的脸怎么办？他要是不刮，那便应该服务自己。他要是刮了，就违背了他的原则。看似不起眼，把理发师换成一个集合，把客人换成元素，这就动摇了集合论的根基，全体自然数真的存在吗？

第三次数学危机就这样来了，集合论和康托尔陷入了风暴中心。康托尔在建立集合论时并没有给出明确限制，所以很多基础性的理论都有缺陷。为了拯救集合论，拯救数理逻辑，数学家们从集合论的现有成果出发，将其公理化，给出了严格限制和定义。

罗素悖论的通俗表述

为何他们又支持集合论呢？原因在于无穷集合，它涉及到的数学分支太多了，不解决的话数学大厦就没办法建立起来。全新的公理体系，意味着集合论也升华了。不过换一个公理体系，集合论便要作出调整，从这方面来看，第三次数学危机至今都没有被完美解决。