再探指对数混合型函数问题

指对数混合的导数题目若考查无参数的证明题，此时的方法较多，可放缩也可分别求最值，无论哪种方法都对精度要求不高，例如将不等式拆分成两个函数，两个函数取得对应的最值时的x值可相同也可不同，只要能证明出来即可，在此类问题动手之前需要考虑的是需不需要对不等式进行预处理，这里说的预处理在之前也说过，例如尽量把与lnx相乘或相除的部分去掉，也可转化到e^x上，这样做的好处是方便求函数的极值点，在一些资料或参考书中有人把这种方法成为“指数找朋友，对数单身狗”，无论叫什么理解意思即可，关于这个以后有机会再说。

今天的重点依旧是含参指对数混合型不等式问题，有关此类题型的解法可归纳为以下几种：

1.数形结合，利用凸凹性相切来求，但不能用在大题中。

2.指对数之间的转化(同构)思维训练34.指对数混合型函数中的构造法

3.端点效应 导数中端点效应的用法了解一下

4.放缩 关于放缩法解决导数中参数范围的问题的说明，导数放缩思想在零点存在判定上的用法，用导数放缩法求参数范围的心得体会

以上方法在公众号中都给出过，其实无论哪种方法解题时都有两个方向，即分离参数还是不分离参数，若分离参数可能会面临新函数无法求最值的情况，注意并不是所有的指对数混合型函数都不能求最值，有的题目可通过二阶导和隐零点来确定出最值，若不直接求最值，也可试图通过放缩将一个不可求最值的函数放缩成一个可求最值的函数，但是此时有很大的局限性，因为若放缩取等的x条件和放缩后取最值的x值不同，则会放大真实结果，因此放缩法要求的技巧较高，在求参数题目中放缩法更应该慎用，单纯的无参数证明题可大胆使用。

若不分离参数，可通过试值大致确定参数的范围，再分类讨论即可，若不想分类讨论，也可试一下题目是否符合端点效应的条件，若不符合可观察题目中给出的形式，看能够利用指对数同构，将不等式进一步的化简。

无论何种方法都不是万能，也都有局限性，所以导数不可能用一种或某种方法解决所有题型，要求学生会观察，敢动笔，今天的内容是以往内容的一个补充，以一个老题目为例，这个题目当时是用隐零点加指对数同构处理的，过程较为复杂，具体可从以下链接入手：

考前训练7.一道导数隐零点问题【special】

这个题目分离参数后对指对数混合函数进行求导，求二次导数，确定零点范围，利用指对数同构化简最值式子，最终得到所需的值，题目比较鸡贼的地方是所求的参数并不是整数解范围，所以很多学生不敢用隐零点来处理，但是若对题目分离之后的形式进行观察，分离之后有如下两种形式，第一种不通分，第二种通分，此时要么选择导数硬解要么选择放缩求解，但是放缩放哪个，怎么放这都是问题，最后能否保持一致也未可知，若选择第二种形式后再考虑放缩，此时观察到与e^x相乘部分的指数和lnx的系数相同，可采取如下放缩方法

题目很凑巧可把指对数混合型函数放缩成一个常函数，且取等时的x值在定义域内可取，无需考虑是否一致的情况了，类似题目如下：

上述两题目均满足与e^x相乘x的指数和lnx的系数相同，此时利用放缩可将对数去掉，但题目都是人为特定设置的，虽说上面做法可放缩去掉对数，但是能否将指对数函数恰好放缩成常函数并不一定，如果放缩之后不是常函数，还要需要考虑两个x是否一致，所以这种方法并不完美，但是看作为题目分析的一种情况来考虑。

所以如果开篇的题目能不那么粗暴直接求导数，若能分析一下，适当使用放缩会简单好多，由于个人私事停更了一段时间，后续会正常更新。