双曲线中的内切圆问题整理

从之前的推送中整理出以下关于圆锥曲线内切圆的题目，以小题为主，主要考察内切圆的两个性质，一是角平分线的交点，二是内切圆半径与三角形面积的公式，其中还包含一些圆的切线定理等知识点，先给出之前推送中涉及内切圆的题目，之后给出圆锥曲线以双曲线为例，与焦点三角形和内切圆有关的一些结论及其证明，最后给出找到的与椭圆内切圆有关的两个大题。

一.以往推送中与内切圆有关的题目

解题需要先求出内切圆圆心坐标，显然通过两条角平分线的交点求圆心不现实，题目中给出一条角平分线，因此再求出一条与内切圆切线垂直的直线方程即可，题目中给出的是AB的方程，但AB并不一定是切线，若是切线，则题目就直接求出半径和圆心了，所以需要证明一下AB恰好是切线即可。

关于内切圆的题目最近见的不少，与内切圆相关的知识点除了本身角平分线的交点之外还需要注意两点，一是切点与定点的这段距离有三个等式关系，第二是内切圆的半径公式，r=2s/a+b+c，利用这个公式也可以用内切圆半径和周长表示面积，本题目有平行线，则斜率就知道，可求出倾斜角的正弦和余弦值，题目中有焦点三角形，设出AF2的值，利用余弦定理可表示AF1,AF2的长度，再利用面积相等求出离心率即可。

解题时很显然要用到焦点三角形，给出的条件是4|AB|=2c，所以用a,b,c表示出|AB|即可,题目中还有一个条件是|AF1|=|AF2|，在涉及三角形内切圆问题且与边长有关时经常要用到初中圆的切线定理，用三角形三边长度表示出|AB|即可。

题目的入手点是焦点三角形的内切圆，因此需要注意两点，一是焦点三角形，这里特别注意与焦点三角形相关的双曲线的定义，二是内切圆，内切圆是与三边都相切的圆，因此圆心到三边的距离均相等且等于圆的半径。

二.双曲线与焦点三角形有关的内切圆问题

1.

结论证明中用到了圆的切线的定理，在上面题目中也用到了，这也是处理内切圆的常用做法，如果一条过焦点的直线与双曲线的同一支交于两点，那么这个大的三角形内切圆的性质有哪些？

2.

上述证明中有三点结论，第一是内切圆与AB的切点是右焦点，这在上面第一个题目中就出现了，证明过程也很简单，第二是内切圆的圆心在准线上，且可用AB倾斜角表示出圆心的横纵坐标，第三，可用AB的倾斜角表示出内切圆的半径，证明过程用到了焦点弦的弦长公式。

3.依旧以上图为例，把三角形ABF1分成上下两个三角形，各标出内切圆，可根据两个内切圆半径的长度求直线AB的斜率：

上述结论在小题中可直接使用，下面给出两道与椭圆有关的内切圆大题：

第一问有不同的问法，在高考中曾经以此考查过让求证直线PA和直线PB的斜率之和为定值，还考查过两个内角相等，在这里以证明内切圆圆心在定直线的形式出现，其实没什么差别，内切圆是三条角平分线的交点，若能证明PA和PB的斜率之和为零，则PA，PB两条直线的倾斜角互补，此时∠APB的角平分线必定与x轴平行，所以圆心肯定在于x轴垂直且过点P的直线上。

第二问求内切圆半径的最大值其实就是求三角形面积的最大值，因为r=2s/周长，求出面积最大值时的条件即可求出半径的最大值。

总结：内切圆的问题在高考中出现的并不多，难度一般，小题难于大题，掌握住常见的结论方法即可。