我们身处的大千世界是复杂而且不规则的，例如大自然中蜿蜒的山川，曲折的海岸线，天空中不断变换的云朵，这些结构用常规的几何学是很难处理的。同时，在社会研究领域中，也存在着大量复杂的对象，例如金融市场中起伏莫测的价格体系。对于以上复杂而非规则的体系，急切需要新的数学理论来描述它们。
1. 分形的概念
1967年，权威期刊《科学》上发表了一篇著名的论文《英国的海岸线有多长？》，美国数学家Mondelbrot首先提出了“分形”这个词汇。海岸线明显不可能是光滑的曲线，一般都是蜿蜒复杂的不规则形状，但作者通过对海岸线的观察研究，发现海岸线其实在形貌上是有一定自相似性的，也就是某一小块海岸线的形状和整体的形状比较相似。
Mondelbrot将这种部分和整体在某种形式上相似的形状称为“分形”，分形图案的整体，就是由无数个与整体看起来比较相似的个体所组成。再回到文章中英国海岸线的多长的问题，对于足够长的海岸线来说，由于分形结构的存在，想要精确测量其长度就成了难以完成的任务。
2. 无处不在的分形结构
日常观察到很多自然现象都是粗糙的分形结构，例如，枝叶蔓生的大树上，某些枝条看来和大树的构成形态就非常相似。再往下看，树叶和叶脉之间也存在着一定的分形结构。小到植物的花茎，大到宇宙星河，分形无处不在。
3. 自相似性和迭代生成
自然中的物体只要局部和整体具有自相似性，就可以按照分形理论去研究它。由于分形是在不同尺度上有所对应，就可以建立起数学模型来描述它，还可以通过迭代生成无穷的精细分形结构。
4. 分形的应用和意义
分形理论，主要揭示了部分组成复杂整体的规律和原则，通过自相似性，我们可以分析局部与整体的关联，更好的理解复杂的系统。以组成部分的数学特征，来认识整体，无论是在自然科学，社会科学等领域都有广泛应用。从线性到非线性，从有限到无限，从微观粒子到宏观宇宙，分形理论是一种人类对世界认知的新手段。
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