戴再平、罗增儒关于数学解题错误的主要类型与归因研究

戴再平、罗增儒关于数学解题错误的主要类型与归因研究

戴再平（1996）、罗增儒（1997）等的研究，主要从学生认知的角度把学生的数学解题错误分为以下四类：

（1）知识性错误。这里主要指解题者由于数学知识上的缺陷与不足所造成的各种错误。如不能正确理解题意（包括误解题意、概念（性质）混淆、忽视公式、定理成立的条件（比如，公式法则的误用，以及定理的错用），等等。

（2）逻辑性错误。这里主要指学生在数学解题中由于违反逻辑思维的形式，违反基本逻辑规则所产生的推理与论证错误。常见的逻辑性错误的主要表现有：虚假论据、偷换概念、不能推出、循环论证、分类不当、不等价变换。同时，逻辑性错误也常常表现为种命题混淆、充要条件的错乱、反正法反设不真，等等。

（3）戴再平（1996）认为，逻辑性错误本质上也是知识性错误，但其导致错误的知识盲点主要不在于数学而在于逻辑。罗增儒（1997）认为，数学知识和逻辑规则相依共存，从广义上而言，不能把逻辑知识排除在数学知识之外，逻辑性错误和知识性错误也常常同时存在。从哪个角度对相应解题错误进行分析取决于研究对象和教学需要。

同时，罗增儒（1997）也认为知识性错误和逻辑性错误是有区别的，它们的区别主要在于：知识性错误主要指涉及的命题是否符合数学事实，核心是命题的真假性。而逻辑性错误主要指推理与论证的过程是否符合逻辑规则，核心是推理的有效性。最后，罗增儒（1997）指出，虽然知识性错误和逻辑性错误常常同时存在，互相影响，我们在分析过程中依然应该，也是完全可以在知识盲点的基本位置和主要趋势上对知识性错误和逻辑性错误进行适当区分。

总之，正确思维应遵循的基本规律有：同一律、矛盾律、排中律，以及充足理由律。逻辑性错误主要表现和根本原因在于：推理过程的无效性与虚假性。有些逻辑性错误比较明显，易于分析，而有些逻辑性错误相对隐蔽，需要在解题教学中进行深入分析，才能揭示其错误（罗增儒1997）

（3）策略性错误。戴再平（1996）在研究中使用的“策略性错误”有两种稍有差异的基本含义：“可以指一种策略产生错误的导向，因而未能使问题得到解决；也可以指一种策略明显地增加了解题过程的难度和长度，如果加上时间限制这个因素，问题也很可能因此而得不到解决”，并认为策略性错误的表现主要有：①不能正确识别模式；②缺乏整体观念；③不善于从反向思考；④不能恰当地转化问题。

罗增儒（1997）在研究中使用的“策略性错误”的主要含义是：“由于解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过大”。有些解题方法或解题思路虽没有数学错误，但解题过程过于曲折隐晦，或存在思维回路等，导致整个解题过程费时费力，且易于出错，尤其在各种数学考试中，即使最终勉强解题成功，也由于费时费力而造成“潜在失分”，也可以认为是解题策略选择不当（罗增儒，1997）。

（4）心理性错误。这里指解题者虽然具备了解决问题的必要数学知识与基本技能，但由于某些心理原因而产生的各种解题错误。戴再平（1996）在研究中把学生解答数学习题时表现出的心理性错误分为两个方面：①由于心理能力不足而导致错误；②由于缺乏正确的心理势态而导致错误。

因心理态势不正确而导致错误的常见表现有：（a）顺序心理造成的错误。“信息的储存需要进行编码，编码就要求信息顺序化”，而不合理的顺序化就会造成错误；（b）停留性错误。“概念扩展了，但学生的思维产生惰性，停留在原来的地方，这种由思维惰性产生的错误叫作停留性错误”；（c）忽视隐含条件。“观察、分析能力较差的学生，在解题过程中产生局部满足感的驱使，常常忽视隐含条件而导致错误”。

另外，“潜在假设”也是一种心理性错误的表现，“‘潜在假设’从心理上分析，是在缺乏对事物作深入、细致、全面的考察的情况下，基于一种不正确的心理势态的诱导，而作出直觉性的判断，这种直觉性的判断存在于主体的潜意识中，一旦被激活就用以作为解题的依据”，在不适当或不合理的“潜在假设”基础上解题，必然导致解题错误。（戴再平，1996）

再比如，看错题、抄错题、遗漏条件、书写丢三落四、运算过程中的各种“低级错误”、答非所问，甚至在解答过程中遗漏对某些问题的解答，或者不按题目要求作答，以及无故变更问题，等等，这些解题错误大多属于心理性错误。尤其在各类数学考试中，由于考试焦虑等造成的各种屡见不鲜的“低级解题失误”更是与心理性错误密切相关。（罗增儒，1997）

戴再平（1996）、罗增儒（1997）以上关于数学解题错误的分类比较简洁，有很强的概括性，并富有数学特色与数学气息。成为本研究对高一学生数学解题错误进行分类的基本依据与基本理论来源。另外，有一大批研究者进行数学解题（学习）错误研究时，直接或间接地釆用（或吸收）了戴再平（1996）、罗增儒（1997a）关于解题错误的相应分类。比如，罗增儒（1997b）即用知识性错误、逻辑性错误、策略性错误和心理性错误来分析学生解答高考题时出现的错误，并认为产生错误的原因“既有知识因素，又有非知识因素，因此，解决这些问题也应将知识因素与非知识因素结合起来，进行综合治理”。

司擎天（2012）是从知识性错误、逻辑性错误、心理性错误和策略性错误角度分析初中数学解题中的常见错误类型，以及错误原因的。陈文英（2008）也是从知识性错误、逻辑性错误、心理性错误和策略性错误角度分析高等数学学习中出现的解题错误。

（洪幸良，2009）把学生在数学学习过程中出现的错误分为以下五种：知识性错误、方法性错误、逻辑性错误、心理性错误和过失性错误（“主要是由学生的马虎大意、不细心而导致的，也就是以解题者的智力水平和知识掌握水平，本不应该出现的错误”（洪幸良，2009），黄彩祥（2003）、刘渊枢（2013a）专门对高中数学解题中的心理性错误进行了分析，刘渊枢（2013b）专门对高中数学解题中的知识性错误进行了分析，等等。

高亚兵（2003）采用心理学的研究方法，对名小学五年级学生进行了为期一学期的跟踪研究，釆用作业分析法归纳出小学生计算粗心的三种主要类型混淆型、错写漏写型（主要包括在计算过程中抄错数字、漏写、小数计算错误）干扰型（主要包括思维定势干扰、计算法则间的干扰、特殊式子的干扰）；并运用信息加工理论探讨计算粗心的心理机制对粗心型与无粗心型学生的认知能力进行测试、比较与分析，发现知觉、记忆与思维综合障碍是导致小学生计算粗心的直接原因，且不同类型在知觉、记忆、思维方面的障碍各有侧重。

在此基础上提出了相应的教育对策，即“形成精确视知觉”训练、“数字听觉编码”训练，对干扰型学生，一是让他们更好地掌握所学的各种计算法则；二是强调计算顺序；三是进行特殊式子促进简便计算与阻碍计算正确性的两种题型对比训练，从而使学生概括出两种类型的规律”（高亚兵，2003）。