这位数学家只用一个概念，就建立起现代数学的基础

很多人认识集合，都是从高中数学教材开始，内容不难，但每年都是高考数学的必考内容，而且大部分时候还占据整张试卷第1题的位置。在高考这么重要的考试当中，“第1”这个位置并不是谁想坐就可以坐，它在一定程度上体现了这一块知识内容在数学领域当中的重要性。

集合，看上去似乎并不太难的数学内容，为什么会在数学王国当中占据这么重要的位置呢？我们先从古时期的数学说起，两千多年以来，无数的数学家都直接或间接的接触到“无穷”这一概念，但局限于当时社会环境、知识背景等因素，让当时的数学界无力去探索、把握、认识它，无奈止步于“无穷”的门口，在一定程度上也束缚了数学的发展。

现代人理解“无穷”这一概念已经变得简单，但对于前人来说这就是一个天书，甚至会引发一系列的问题。如在17世纪时期，两位伟大的数学家牛顿和莱布尼兹共同发现微积分这一重要知识内容，它一出现，就马上促进数学的快速发展，许多以往难以解决的疑难问题，运用微积分后就变得轻而易举。不过，令人遗憾的是不管牛顿还是莱布尼兹所创立的微积分理论，都是建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是非常混乱，不够严格，这样也使微积分诞生时就遭到了一些数学家的反对与攻击，甚至引发了第二次数学危机。

因此，如何解决“无穷”这一问题，已经不是数学界的事情，更是向全人类文明进程提出了尖锐的挑战。随着无数的数学家和科学家的不断努力，直到十九世纪七八十年代，一位名叫康托尔的德国数学家，打开了“无穷”的大门。

康托尔是一位著名的德国数学家，他结合前任的数学成果，如由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。加上康托尔具有独特的思维，想象力非常丰富，解决问题方法也非常新颖，创立了集合论和超穷数理论这样非常重要的人类智慧成果，让当时整个数学界，甚至哲学界都感到非常的震撼。

在1900年的国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就非常兴奋地宣称：借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦，可以说绝对的严格性已经达到了。

康托尔是谁？

康托尔全名是格奥尔格·康托尔，他是一位著名的德国数学家，但他出生于俄国列宁格勒（今俄罗斯圣彼得堡），父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。在1856年，康托尔全家迁居德国的法兰克福，他这一生最大伟大的成就便是创立了集合论和超穷数理论。

那么康托尔是如何创立集合论呢？

康托尔一开始并不是特意去解决“无穷”这一未知领域而去创立集合论，而是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。

早在十九世纪七十年代初，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。

同一时期，康托尔在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。不要小瞧这一步的工作，这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。

经过康托尔不断努力，关于集合论的文章，他在《数学杂志》等刊物上发表了许多文章。在这些学术著作中，康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

康托尔指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。并且给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。

我们从现代数学的角度看待集合的概念，已经非常简单明了，通俗易懂，但在康托尔那个时代，要从无到有去建立一整套体系来解释“无穷”等相关概念，是非常伟大而又艰苦的工作，集合论可以说是数学中最富创造性的伟大成果之一。

因此，可以毫不夸张地说：关于数学“无穷”的革命，几乎是由康托尔一个人独立完成的。

集合在数学领域当中具有不可替代的特殊重要性，自从康托尔创立集合论之后，整个数学界都为之疯狂，加上一大批数学家半个世纪的努力，一直到20世纪20年代就确立了集合在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。

为什么说按照现代数学发展的观点，集合论可以说是整个现代数学的基础呢？

因为数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。

最后要特别提醒大家，要学会区分集合和集合论这两个概念。集合，简称集，是数学中一个基本概念，它是集合论的主要研究对象。

集合论是数学当中的一个基本分支学科，它是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，研究对象是一般集合，如包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。