你在日常生活中其实已经遇到过无数次单面物体了 - 就像印在铝罐和塑料瓶的背面回收的通用符号那种，三个箭头弯折，首尾相连。
这个数学对象称为莫比乌斯带。自德国数学家奥古斯特·莫比乌斯(August Mbius)于1858年发现这个东西以来，它一直吸引着环境保护主义者、艺术家、工程师、数学家以及许多其他领域的人。
莫比乌斯在1858年发现了这种只有单边的带形结构，当时他担任莱比锡大学天文学和高等力学的主席。(另一位名为利斯廷的数学家在几个月前也描述了它，但直到1861年才发表他的发现。二人独立发现。)莫比乌斯似乎是在研究多面体的几何理论时搞出了莫比乌斯带。
莫比乌斯带可以通过一条纸条来做成，把一头转180度，然后将两端粘在一起形成一个环。如果你拿一支铅笔沿着条带的中心画一条线，你会发现这条线走完了原来纸条的两面。
莫比乌斯带不仅仅是一个令人惊讶的东西。例如，用一把剪刀将带子沿着刚绘制的线条剪成两半，不会变成两个莫比乌斯带，而是会出来一个较长的双侧环。
虽然莫比乌斯带具有视觉吸引力，但其最大的影响在于数学。
拓扑学家研究在移动、弯曲、拉伸或扭曲时保留的物体的属性，而无需将部件切割或粘合在一起。例如，一对缠结的耳塞在拓扑意义上与未缠绕的一对耳塞相同，因为将一个耳塞更换为另一个只需要移动，弯曲和扭曲，不需要切割或粘合来在它们之间进行转换。
另一对在拓扑上相同的物体是咖啡杯和甜甜圈。因为两个物体都只有一个孔，所以只需拉伸和弯曲就可以使这个孔变形。
物体的孔数是可以仅通过切割或胶合来改变的性质。这个属性 - 被称为物体的“亏格” - 允许我们说一对耳塞和甜甜圈在拓扑上是不同的，因为甜甜圈有一个洞，而一对耳塞没有洞。
但莫比乌斯带和一般的双面环都有一个洞，所以只有这一个属性不足以区分它们 - 至少从拓扑学家的角度来看。
相反，区分莫比乌斯带和双面环的属性称为“可定向性”。与其孔数一样，物体的可定向性只能通过切割或粘合来改变。
比如你在透明胶带上写一行字，只要在这个平面之上，这行字都是从左到右方便阅读的，但如果在一个不可定向的平面上，比如莫比乌斯胶带，这行字可能看着看着就反了。
由于莫比乌斯带是不可定向的，而双面环是可定向的，这意味着莫比乌斯带和双面环在拓扑学上是不同的。
可定向性这一概念具有重要意义。比如化学，一些化合物具有相同的化学结构，除了一个关键的区别：它们是彼此的镜像。例如，L-甲基苯丙胺是医用药物成分，而其镜像物质 D-methamphetamine 则是A类非法药物。如果我们生活在一个不可定向的世界，那么这些化学物质就难以区分。
莫比乌斯的发现开辟了研究自然世界的新方法。拓扑研究一直在产生令人惊叹的结果。例如，去年，拓扑结构使科学家们发现了奇怪的物质新状态。今年的菲尔茨奖章授予给了 Akshay Venkatesh，这位帮助将拓扑学与数论等其他领域相结合的数学家。
本文译自 popsci，由译者 HW 基于创作共用协议(BY-NC)发布。
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