张鹤：做数学教学的研究者

2016年，北京市68名中小学教师取得正高级教师职称，海淀区教师进修学校数学教研员张鹤就是其中之一。这是中小学教师职称首设「正高级」，相当于大学里的「教授」级别。与数学教育结缘的31年间，张鹤一直关注数学思维，倡导观念性教学。他说：「知识只是载体，教师要教给学生最真实的、最本质的数学，也就是让学生学会思考问题，帮助他们形成逻辑思维能力。」

张鹤

北京市海淀区教师进修学校数学教研室教研员；北京市中学数学特级教师；北京市正高级教师；中国教育学会数学专业委员会理事；曾获得第八届苏步青数学教育奖( 二等奖)；北京市先进工作者。

春节刚过，张鹤受邀来到一所学校，给高三的学生指导高考复习。在讨论一道平面解析几何的综合题目时，张鹤看到有两位学生的做法是不同的，一位同学用了坐标消参的方法，另一个同学是通过方程联立解决了问题。数学教学中一题多解很常见，这种情况下很多老师会列举出更多方法，指出学生没有考虑到的地方，但张鹤并没有打算这样做，他分别点评了两种方法，然后说：「大家对比看看，这两种解法都是在什么样的前提下选择的？用方程联立，是因为直线和椭圆相交的位置关系是确定的。为什么消参，是因为点和椭圆的位置是确定的。所以，其实他俩想法是一样的，都是确定了几何对象之间的位置关系。」

张鹤认为教给学生的方法越少越好，教师更应该将数学问题提炼到一个高度，揭示多种方法背后的共同本质，这样学生才能真正学到东西。作为海淀区教师进修学校数学教研员，他更多时候在台下听课评课，站在黑板前给学生上课的机会反而少了。他说：「我一边上课，一边在提炼东西。从开始做数学教师起，就经常思考三个问题：什么样的课是一节好课？要教给学生什么样的数学？学习数学的意义在哪里？」

张鹤在数学课堂上

文学少年的数学路

80年代初期，当张鹤还是中学生时，他对数学并没有太多的兴趣，语文才是他的最爱。每天下课以后，作为语文课代表的他喜欢跑到教室后边，在黑板上抄文言文小品给同学看。然而，高考的日子一天天临近，作为理科生，他最终还是听从父亲的建议，报考了北京师范大学数学系。

毕业后到北京四中任教

1986年，张鹤从北师大毕业后就分配到北京四中。作为新教师，张鹤最大的顾虑是面对既抽象又枯燥的数学，如何才能让学生爱听。因为性格内向，他常常担心在课堂站不住脚，没办法将数学课上得精彩、热闹。带着这样的心情，他开始摸索怎么做一名数学教师。「我对教学始终特别认真，可以说有一种敬畏的心情。」张鹤说。他每天晚上都要花上一到两个小时认真备课，工工整整地写出第二天的教案。四中是北京市重点中学，数学教研组中有史连生、刘坤、常相舜等名师。张鹤上完自己的课，就去其他班听这些前辈的课。下午有空的时候，他会在图书馆看教学杂志，研究其他学校的教师是怎么上课的。看到和自己当前课程相关的内容，他还会抄下来，回宿舍继续研究。

晚上认真备课

四中数学教研组

在听课的过程中，张鹤对数学教学有了新的感悟。四中教师的数学课并没有他想象中那么「精彩」「热闹」，甚至可以说有些「平淡」：数学教研组的组长史连生老师说话声音很低，一上课就把翻卷了边的课本放在讲台上，从不打开，一根粉笔就可以讲完一节课；刘坤老师发表了大量的学术文章，时常说「不要做教书匠，要做科研型的教师」；常相舜老师在上课时娓娓道来，每一节课都要把知识的来龙去脉讲清楚。听过这些老师的课，张鹤感悟到教学不应追求形式的热闹，而要注重学科的内涵。从那时候起，他开始关注如何让学生在课堂上感受数学思维活动的乐趣。

张鹤觉得四中的八年时光为自己的教师生涯打下了坚实的基础。离开这里，他先后在北京21世纪实验学校和北京十一学校任教。他说：「在四中时，那些普普通通的教师都值得我学习，四中给我打了一个很好的底子。出去以后看到了不同的教学理念，但我始终坚守四中给予我的数学教学的信念，也逐步形成我的教学风格。」2008年，他离开教学岗位，来到海淀区教师进修学校担任数学教研员，开始从一个更广阔的平台去研究数学教学。

工整的手写教案

教出数学课的味道

教研员的工作是及时了解一线教学的情况，对课堂中发现的问题进行及时讨论并解决。在海淀教师研修网上，张鹤的博客颇有名气。自2009年开通博客以来，张鹤一直持续更新，博客累积阅读量达到32万次。在博客中他时而对白天听的一堂课进行简评，时而分析教学内容的逻辑关系，时而思考数学教育的意义。因此，不仅数学老师会来此取经，还有其它学科的教师常常关注他的文章。六一学校的语文老师杜会新说：「我看到更多的是和语文教学息息相关的东西，这也促使我不断思考，我的教学应该怎么去做。」张鹤曾在采访中提到开通教研博客的原因，他说：「我喜欢思维的碰撞，喜欢把自己想清楚的问题呈现出来，给仍被其困惑的人打开一扇窗。」

张鹤坦诚自己性格内向，虽然当了老师以后健谈许多，但是平时碰到聚会时总是不知道要聊些什么。然而，碰到数学，情况就截然不同了，他说：「只要是和老师们说起数学、说起教学，我就会滔滔不绝。」

张鹤认为真正有意义的教学是观念性的教学。「观念性教学」指的是以数学知识为载体，让学生知道怎么研究和解决问题，教给学生数学的思维方式。他在博客中写道：「数学是思维的体操，而数学老师就是体操教练。老师教给学生的东西是观念性的，是本质的，学生才能从课堂中体会数学的快乐，这种快乐是思维的快乐，是逻辑的快乐！」

张鹤提出有的教师过度沉溺于一题多解，这样反而模糊了学科的本质。北京二十二中学的孙维刚老师的数学课曾让他有所感悟。在初三课堂上，孙老师和学生就一个问题交流了11种解法，但是最后只提炼成一种方法。张鹤说：「方法越多，学生越看不清本质。」他还指出题型教学也存在相似情况。老师教给学生不同题型的做法，但是并没有解释各个题型之间共同的思维特征与研究方法。他说：「学科本质就在这里，命题人朝着本质命题，老师带着学生朝着本质去复习，这样才能找到一块。将过往的命题进行分类，老师嚼透了再喂给学生，那是没用的。」

要教给学生数学的本质，教师首先要思考真正的数学是怎么回事。「只有你想明白的东西，教起来才能得心应手，才能教出味道来！」张鹤说。题海战术曾经让不少学生对数学失去了兴趣，「做完100道题没学会，就再做100道，还是学不会就是你不够勤奋刻苦」，张鹤一边描述，一边表示他希望老师可以「下题海」。如果老师通过做大量的题提炼出方法，那么到了课堂上，可能只需要20道就可以让学生感悟到这种方法。他在博客中写道：「作为教师，特别是青年教师，要踏踏实实地研究你所教授的数学，把每一章节弄懂、弄通；把每本书弄通；把整个的高中数学彻底搞明白！要做到这一点，不是一朝一夕能够实现的，也不是哪位大师能够帮助你的！要自己多思考，要把数学教学放在一个学术的高度去看待！」

培训海淀区的新入职教师

在十一学校与老师们一起备课.

要教出数学课的味道，老师只是明白了学科本质并不够，还要有意识地去琢磨怎么教会学生。作为同事，十一学校的赵青老师这样描述张鹤的课堂：「在张老师的课堂上，师生关系是民主的，提出一个问题后，他允许学生广开言路，提出不同见解，自己站在其他学生一样的角度去分析、去理解，去反问，这样拉近了师生间的距离。另一方面，张老师扎实的教学经验和教学能力使他能应对课堂上发生的许多的小意外，当某个学生突然提出了一个大家百思不得其解的矛盾结论，其他同学把目光都投向张老师的时候，张老师以‘我是这样想的’这句话开头进行释疑，把自己的思维过程展现给学生。」正是通过「讲故事」的方法，张鹤在教学过程中设置悬念，引出思维的冲突，让学生从疑惑到顿悟，在知识的脉络里体会数学的快乐。他说：「如果我们的教学是遵循着数学的思维自然、真实地去展开，坚守住不讲结论而是讲思维过程，数学课的味道就必然会越来越浓。」

做完高考指导报告后和家长交流

赴美研修时与老师交流

数学教育的思想者

从1986年毕业到四中任教，张鹤与数学教育结缘已有31年。据张鹤的学生廖晶回忆，张老师第一天来上课时，同学们都以为来了一位新同学。她印象最深的事情是，每天上晚自习的时候，张老师都要「抓」她和另外三个同学到教研组学习。「那时候我刚上高中，叛逆期还没过，一心就只想着玩，成绩一落千丈。」她说，「后来张老师就盯着我们四个同学，每天‘围追堵截’，督促我们学习。半年以后，我的成绩就上去了，所以张老师对我影响特别大。」

张鹤说：「很多时候，从学生的成长中，我们才能真正理解自己所从事的教育工作的价值。」2004年暑假，张鹤收到一封明信片，一位学生讲述了她与数学的故事。她初三时数学成绩很差，作为班主任的数学老师也对她不抱希望，以至于到了高中她依然对数学缺乏信心。后来她成了张鹤的学生，在自由、开放的课堂氛围中，她渐渐找回了数学的自信，其他学科也随之渐入佳境。这位学生后来考取了北京大学，还没开学就第一时间将好消息分享给张鹤。

在四中任教时，张鹤带学生郊游

学生的肯定也曾经让张鹤从低谷中重获信心。有一段时间，他对教学工作产生了一种无奈的情绪。有的老师通过布置大量作业，快速提高了学生成绩，这让张鹤对自己一直坚守的教学信念一度动摇。一位学生即将回到外地参加高考，临行前她找到张鹤说：「我听了您三年的课，感觉您一直在教给我一种思考问题的方法。」学生无意间的话语，给了张鹤莫大的支持，他又坚定了要教给学生数学学科本质的信念。

北京四中百年校庆时，张鹤与学生合影

在张鹤的教师生涯中，他总是积极思考，他的思考并不局限于数学课堂，而是深入教育的本质。在取得正高级教师职称后，他认为职称改革对中小学教育是一种激励。现在许多中小学教师的学历都很高，正高级教师职称的设定给了教师们一个更高的台阶，引导他们追求教学研究，这对孩子的成长也有好处。他说：「好的老师都在教思维，不管是哪一科。只有对教学研究不深刻的教师才会单纯地教知识，教学生怎么用知识解题得分。更多的教师还是要一边教知识，一边以知识为载体揭示学科的本质。」

目前张鹤除了做数学教研员外，还组建了劳模创新工作室。他带着几个年轻老师对初中教材的知识进行梳理，准备按照教学的逻辑出一本书，一方面能够带动优秀的青年教师研究教学，同时给更多的青年教师业务上的指导。此前，他已将多年的教学思考集结成书，出版了《张鹤：分享数学智慧的人》和《数学教学的逻辑——基于数学本质的分析》。

劳模创新工作室

虽然高中时数学并不是张鹤最喜欢的学科，但是现在数学教学无疑成为了他生命中不可或缺的部分。从当老师第一天起，他就喜欢上了这个职业，当初看似偶然的选择，渐渐演变成三十年如一日的思索与实践。什么是好的教育？张鹤写道：「作为一名教育工作者，一定要清醒地认识到，教育不是分数，而是要为学生未来的生活做准备，使其有良好的性格，具有逻辑思维能力，能做出正确的决定，懂得公平与正义，最终达到德智体美全面发展，而这些是功利的分数不可能提供的。」

文 | 苑城

人像摄影 | 骆通 乔彬

图片由张鹤提供