希尔伯特著名的第六问题 – 原来麦克斯韦早就有解？

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1900年，伟大的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）列出23个未曾解决但值得在新世纪研究的问题。这个问题清单已然成为数学界的路线图，通过一个一个解决掉这些问题，它引领数学家们走过数学宇宙中未曾开垦的领域。但是这些问题中有一个非比寻常：它需要链接数学宇宙与真实宇宙。

作者：Natalie Wolchover 编译：子聿

希尔伯特的第六大问题号召人们公理化物理学定律，也就是说从一套初始假设或者公理的基础出发严格构建它们。这样做将会揭示需要不同公设的定律之间的矛盾。从相同的公理出发推导全部物理学定律将证明它们不只是偶然的，不同现象的不相干描述，而是一套统一的数学上严密的，内在自洽的反映真实的理论。“再次强调，这是一个统一性问题，这个问题一直蔓延至当今物理学”，来自威斯康星大学麦迪逊分校的数学家马歇尔·斯莱姆罗德（Marshall Slemrod）如是说。

公理化所有物理是个极为艰巨的任务，所以希尔伯特提出了一个更为具体的目标，那就是确定是否气体的微观和宏观图像基于等价的公理基石，也就是说它们只是相同理论的不同表象。为了解决这个问题，人们尝试通过把波尔兹曼方程（将气体描述为在一个速度区间内弹跳的微观粒子）转化为纳维叶-斯托克斯方程（Navier-Stokes 方程，将气体在更大尺度上描述为连续的流动体）。那么，粒子和流体图像能否严格地链接在一起呢？

虽然希尔伯特更为广阔的目标-公理化物理学至今仍然未曾实现，但是最近的研究已经针对粒子-流体问题给出了一个出人意料的答案。波尔兹曼方程并不能在所有情形下转化为纳维叶-斯托克斯方程。这是因为纳维叶-斯托克斯方程并不完整，尽管它们对于气象、海流、管道、汽车、飞机机翼和其他流体动力学系统的建模异常有效，尽管人们为它们的严格解设出百万美元大奖。

证据表明更真实的流体动力学方程存在于少为人知且相对未被承认的一套理论中，这套理论是由荷兰数学家、物理学家迪德里克·科特维格（Diederik Korteweg）在1900年代早期发展得来。然而，对于某些气体，即使是科特维格方程也无能无力 - 那里根本就不存在所谓的流体图像。

这个证据由斯莱姆罗德在上个月的“Mathematical Modelling of Natural Phenomena”期刊中给出。他说：“纳维叶-斯托克斯为室内气体做出了很好的预测”，但是在高海拔和其他接近真空的情况下，“这些方程就变得越来越不准确”。更惊奇的是，这个惊人的结论本应该早就得出，甚至早在希尔伯特提出第六个问题之前。1879年，另一位科学巨人，苏格兰物理学家詹姆斯克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）指出，纳维叶-斯托克斯方程不能解释接近真空的实验-克鲁克斯辐射计实验。这件事显然不为希尔伯特所知。斯莱姆罗德说“要是他能读到麦克斯韦的工作就好了”。

克鲁克斯辐射计是1873年由威廉姆·克鲁克斯爵士发明，当它暴露在光下时会在部分真空腔中产生热和压力梯度，从而使得叶片转动。

自1900年以来许多数学家都在粒子-流体问题上费尽心血，包括希尔伯特自己。他一开始先把复杂的玻尔兹曼方程改写为一系列递减数列的加和。理论上这种粗短的方程分解可以更容易的被理解为一个不同的但是公理上等价的气体的物理学描述-或许就是流体表述。不过这个数列中的项很快变得不合规则，能量并不是随着气体中的间距缩小而衰减，而似乎是在增强。

这使得希尔伯特和其他人无法对这个级数求和并进行分析。不过总归有一些乐观的理由：级数的主要项看上去像当气体变得浓稠如同液体般时的纳维叶-斯托克斯方程。“所以物理学家们在某种程度上乐见其成，”来自苏黎世工学院的伊利亚·卡林（Ilya Karlin）如是说，“这是所有的教科书中都有的东西。”

不过，由奥地利物理学家路德维德·玻尔兹曼于1872年推导的方程真的会收敛成数十年后法国人克劳德-路易斯·纳维叶和来自爱尔兰与英格兰的乔治·斯托克斯所发展出的纳维叶-斯托克斯方程么？抑或是收敛为其他什么东西？这个问题的答案仍未可知。在1990年代早期，卡林那时还在西伯利亚的克拉斯诺雅茨克跟着亚历山大·高班（Alexander Gorban）念研究生。他们在曾经让希尔伯特踌躇不前的那列级数上又敲开了一道裂缝。这道裂缝的位置证明是有效的。“我们总是开玩笑说。。。这是文明世界的边缘，所以你就坐在那里然后思考那些重大的问题。”

卡林和高班发展了一个玻尔兹曼方程的简化模型，它包含了最初的版本中的必要困难，然后他们将这个模型方程级数展开。通过一些数学技巧，他们成功将其求和。不过最终的解却不是他们所预想的。级数中有问题的放大项同解中一个额外项捆绑在了一起。数年后，当斯莱姆罗德无意中发现俄罗斯科学家的工作后，他当即意识到了这一项的重要意义。“马歇尔注意到我的解里面的严格方程结构根本不是纳维叶-斯托克斯方程”，卡林如是说，“而是很大程度上提醒了我们这是科特维格的二相流方程。”

科特维格的流体动力学模型不仅适用于能量耗散的流体 （由纳维叶-斯托克斯方程表征），也适用于色散情形，类比于彩虹中能量被摊入它的组分频率中。耗散来源于流体的粘性，或者说内部摩擦，但是色散则是由其毛细现象引起的-表面张力使得某些液体在吸管中上升。在大多数流体中，毛细现象同粘性相比可以忽略不计。但并非总是如此，而且数学上从来都不是这样。斯莱姆罗德在2012年的一篇文章中提出，这个毛细现象就是以额外项的形式出现在卡林和高班针对他们那个类波尔兹曼方程的解中。尽管这个发现还没有被推广至完整的玻尔兹曼方程，它还是表明了：气体的粒子表述，转换为流体表述时不是收敛成纳维叶-斯托克斯方程，而是一个更普遍的却远没那么有名的科特维格方程。

亚历山大·高班 （左），英格兰莱斯特大学应用数学教授， 同他以前的学生，现任苏黎世理工学院教授伊利亚·卡林

斯莱姆罗德“给出了非常坚实的论据，证明科特维格流体动力学应用范围远比纳维叶-斯托克斯方程广阔的多”，现在已经成为英格兰莱斯特大学应用数学教授的高班这样说。不过，高班补充道，他和卡林的工作也表明有些粒子气体无法用科特维格方程所表述。当粒子的近距相互作用足够强时，比如冲击波的边缘上，即使是毛细现象也不能完全解释它们的行为，而且“那里根本就不存在流体动力学”。

纳维叶-斯托克斯方程的不完整性在一个古老实验中变得非常明显，这个实验今天则常常出现在博物馆礼品店中待售。克鲁克斯辐射计，一个封装在由玻璃制成的部分真空罐里的风车，暴露在光线中时就会转动。1879年，为了解释克鲁克斯辐射计叶片的转动，麦克斯韦把真空罐中的稀薄气当作流体来建模。麦克斯韦得出如果“斯托克斯教授给出的”方程完美地描述了液体，那么叶片就不会转动。而扇叶的转动则可以归功于毛细现象，由科特维格方程所描述。

提及克鲁克斯辐射计时，斯莱姆罗德说，对于“一辈子都没进过实验室的数学家们，我终于引起了他们的注意而且对他们喊：‘看这里’，这里有真的正在发生的事情，而且你们能从中学到什么。”

斯莱姆罗德希望借助科特维格方程而不是纳维叶-斯托克斯方程能更好地描述近真空气体，比如轨道卫星周围的稀薄气体。他说，“我希望或许有可能用这个修正版来代替玻尔兹曼方程来深入研究近真空情形，那可是个难解的麻烦。”

利奥·科里（Leo Corry）是一位以色列特拉维夫大学的数学史学家，他写过一本关于大卫·希尔伯特和他的六个难题的书，他强调希尔伯特最初的目标已经被人们丢失在粒子-流体问题的细节中，而且仍未被解决。他说，“要知道‘公理’这个词，或甚至是‘基石’，抑或‘概念分析’，哪怕一次都没有出现在斯莱姆罗德的综述中。”

如果说有什么的话，希尔伯特公理化物理学的目标随着进入20世纪变得更加令人生畏。而比粒子和流体动力学的复杂关系更具挑战性的当属似乎完全不可调和的量子力学与广义相对论之间的矛盾-那是更小和更大尺度上对自然的描述。

不过即使粒子-流体问题算不上第六问题的一个完美呈现，它也已经有了自己的生命。科里说，“我更不敢说它在重要性上比不上希尔伯特提出第六问题时心中所想的问题”，“我不会跟任何人争论，说它确实更重要，更深入人心。”

原文：

https://www.quantamagazine.org/20150721-famous-fluid-equations-are-incomplete/

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