拓扑量子编码和量子存储：从错误链和纠错阈值到自纠错与低密度量子码

7.4提升与扩展性：走向线性码距

7.4提升与扩展性：走向线性码距

|作者：徐桐 赵宇涛 刘东†

(清华大学物理系）

本文选自《物理》2026年第8期

摘要量子信息不能任意复制，同时还会受到比特翻转、相位翻转及测量误差的扰动，因此保存未知量子态比保存经典信息更困难。拓扑量子纠错把逻辑信息分散编码在许多物理量子比特中，使局域错误留下可测的错误症候；解码器再依据这些症候判断恢复操作是否会形成跨越系统的逻辑错误。纠错阈值说明何时扩大码距能持续降低逻辑错误率，也给出了可扩展量子存储的基本条件。文章从稳定子、错误链与同调的直观图像出发，介绍表面码的主动纠错和近期实验，并讨论低维局域性为何限制编码开销，进而引出被动自纠错与良好量子低密度奇偶校验码两条互补路线。

关键词拓扑量子纠错，表面码，纠错阈值，量子存储，自纠错，量子低密度奇偶校验码

01

引言：量子信息的保护问题

量子信息科学的领域中，我们关心的是信息在量子力学规律下如何表示、保存和传输。它的核心对象是量子态，这种量子态带有叠加、相干、纠缠等量子特性。量子计算机就是对这些量子态进行可控制备、演化和测量的物理装置，也是量子信息处理的重要形式之一；另外，量子通信和量子精密测量，则分别从传输和测量角度利用量子资源。因此，量子计算机的发展不只是表现在器件规模和控制能力的提高，也取决于量子信息能否被可靠保存和操作。

从发展历史来看，量子计算可粗略分为几个阶段。20世纪80年代，费曼关于量子系统模拟的讨论和Deutsch提出的通用量子计算模型奠定了理论基础[1，2]。20世纪90年代，Shor算法等量子算法表明量子计算在某些特定问题上能够取得相较经典计算的复杂度优势[3]。在此之后，多量子比特器件和控制技术得到较大发展，量子处理器进入含噪中等规模量子(NISQ)阶段[4]。当前的目标是实现可扩展的容错量子计算，在噪声存在情况下构造能够可靠运行的逻辑量子比特。

量子信息技术的意义也超出单纯提升计算速度的范围，并与量子模拟、安全通信和精密测量等方向密切相关。这些潜力的共同前提都是量子态能够被可靠制备、保存和操控。现实系统中的环境耦合、控制误差和测量误差会不断破坏量子信息，因此，如何保护量子态是量子技术走向大规模可靠应用必须解决的基础问题。

经典信息可以靠复制和多数表决获得冗余；量子比特(qubit)却不能这样处理。未知量子态|ψ>=α|0>+β|1>不能被任意复制，在错误处理上量子存储器还须同时抵抗振幅与相位错误。为了描述错误，我们采用泡利(Pauli)基底展开。泡利算符中，I 不改变状态，X交换|0>, |1>，Z 改变二者的相对相位，Y=iXZ 同时含两类作用；{I, X, Y, Z}⊗n表示所有n比特泡利串。符号⊗表示张量积，上标⊗n表示把n个单量子比特算符组合成一个n比特算符。

硬件中直接操控的是物理量子比特。量子纠错通过编码映射：

把k个待保护的逻辑量子比特嵌入n个物理量子比特的联合希尔伯特空间。映射V的像称为编码空间，其维数为2k。逻辑量子比特对应编码空间中的量子自由度，通常分布在多个物理量子比特的关联中，而不对应某一个固定器件。自Shor九量子比特码[5]以及Steane码和Calderbank—Shor码[6，7]以来，稳定子语言[8]统一了大批量子码。

拓扑量子编码是其中广受关注的一类方案。它并不让错误消失，而是改变错误造成逻辑破坏的方式。为了描述清晰，我们首先阐明几个概念：“局域”指算符支撑只覆盖有限区域或少数量子比特；错误与恢复合成后的“全局”结构则跨越码块且不能由局域稳定子消去。局域噪声会留下可检测的错误症候(syndrome)，即校验结果相对无错状态的翻转模式，但它不能唯一定位真实错误。逻辑错误是在编码空间内等效于非平凡逻辑算符的物理误差；逻辑扇区是由全局拓扑量子数区分、局域观测难以区分的编码子空间。

拓扑码把局域错误的纠正转化为对全局路径类别的判断。Kitaev的核心洞察是：把逻辑信息编码进具有非平凡拓扑的基态子空间后，局域算符难以在不同逻辑扇区之间转换[9]。这里的“难以”不是绝对禁止错误，而是说逻辑破坏必须积累成足够长的链、膜或其他全局对象。

本文的主线可以概括为：局域错误→错误症候→错误链与恢复链→同调类别→阈值与存储寿命。

下文先用环面码和表面码说明这条主线，再讨论纠错阈值的路径计数和统计力学图像。随后结合实验比较主动纠错、被动自纠错和良好量子低密度奇偶校验(qLDPC)码，并说明二维局域性带来的实验优势与编码参数限制。需要说明的是，良好qLDPC码强调低密度校验、常数编码率和线性码距，但不必具有低维几何局域性；同时，线性码距本身也不自动意味着有限温度自纠错、特定噪声模型下的纠错阈值或低开销容错实现，相关协议(protocol)的探索正是目前容错量子计算研究的前沿之一。

02

稳定子码的基本语言与拓扑码示例

2.1 稳定子码：只读取错误信息的量子校验

本节要回答：怎样在不读出逻辑态的情况下发现错误？稳定子是一种检查状态是否偏离编码空间、而不读取所存逻辑信息的量子校验。完整的n比特泡利群为

因而是所有n比特泡利操作(允许整体相位)的集合；物理上，本文讨论的泡利错误、稳定子和逻辑泡利操作都可在这个统一的操作集合中描述。取m个相互独立、彼此对易且取厄米相位的生成元S1，…，Sm，令其生成稳定子群
并要求。编码空间是所有Sa的共同+1本征空间[8]；若m=n−k，其维数为2k，相应量子码记为[[n, k, d]]，其中，n是物理量子比特数，k是逻辑量子比特数，d是码距，码距将在下文定义。

错误E 的错误症候须作为向量记录：

这里={0, 1}是二元有限域，加法和乘法均按模2进行；因此s(E)可以看成由m个“校验是否翻转”的0/1比特组成的症候向量。sa=0/1分别表示E与Sa对易/反对易，理想校验测量值为(-1)sa。因此症候只给出校验翻转模式，通常不能唯一确定真实错误。

稳定子群在泡利群中的正规化子定义为

物理上，N()收集所有不会产生新症候的泡利操作；其中既包括对逻辑信息无害的稳定子，也包括症候测量看不见、但会改变逻辑信息的非平凡逻辑操作。对泡利稳定子码，忽略整体相位后，这等价于P与全部稳定子对易，并且：

若
，两者因稳定子简并而在编码空间内作用相同；若其属于N()\，两者相差非平凡逻辑作用。相应的逻辑泡利群是商群：

表示相差稳定子的物理算符视为同一逻辑操作。这里“/”不是除法，而表示把相差一个稳定子操作的物理泡利算符归为同一个等价类。数学上，每一类是一个陪集，例如，而N()/表示所有这类陪集组成的集合。物理上，每一个这样的等价类对应一种逻辑泡利操作。符号≅表示同构。定义泡利串的权重wt(P)为其中非I因子的数量，则码距为

权重小于d的泡利错误不可能产生非平凡逻辑作用：它们要么触发非零症候，要么属于对编码信息无害的稳定子。在理想症候和泡利噪声模型下，可无歧义纠正任意不超过
个量子比特上的错误，其中表示不超过x的最大整数。

2.2 环面码：错误链、恢复链与同调类别

本节要回答：为什么局域错误通常不会立即变成逻辑错误？Calderbank—Shor—Steane (CSS)码用二元校验矩阵HX，HZ分别指定X型和Z型稳定子，并要求：

这在物理上对应保证两类稳定子彼此对易。这正是两类校验对易的条件，也使Z错误可由X型校验探测、X错误可由Z型校验探测，从而分开解码。

Kitaev的环面码(toric code)是CSS码：把方格的上下、左右边界分别粘合成具有双周期边界的环面T2，并把物理量子比特放在边e上[9]。对每个顶点v和面p分别定义星形算符与面算符：

这里e∋v表示与v 相接的边，∂p表示面p的一圈边。编码空间满足Av|ψ>=Bp|ψ>=|ψ>。环面有两个独立的非收缩方向；原格与对偶格上相交一次的非收缩环路构成一对反对易的逻辑泡利算符， 共得到两对逻辑泡利算符，故在L×L环面上n=2L2、k=2且d=L。不能把同一方向上的两条环路不加区分地视为自然反对易。

在上，错误链E是任意边子集，链不必连通，加法为模2对称差，重合边相消。边界∂E是与奇数条错误边相接的顶点集合。以Z错误为例，Ze翻转边e两端的顶点校验，故：

其中s=∂E是可测症候。在环面码哈密顿量中，某个稳定子本征值由+1变为−1表示产生了局域激发。Z错误翻转相邻的顶点校验，其串端点对应e型激发；X错误翻转相邻的面校验，其串端点对应m型激发。它们是环面码中的两类阿贝尔任意子。本文只使用“错误串端点携带可检测激发”这一性质，不展开其交换统计。解码器依据s选择同边界的恢复链R(s)，使E+R(s)成为闭链。

理解纠错成败需要同调。橡皮筋直觉把可缩成小圈的闭链与绕过环面孔洞的非收缩闭链区分开；形式上，ker ∂1是无端点闭链，im ∂2是由局域面边界生成的闭链，二者之商忽略局域可消去边界、只保留全局类别：

这里∂1是把1-链映射到其端点的边界映射，∂2是把面集合映射到其边界链的边界映射；ker称为“核”，表示被相应映射送到0的全部对象，im称为“像”，表示相应映射能够产生的全部对象。因此物理上，ker ∂1表示没有可见症候的闭链，而im ∂2表示可以通过局域稳定子生成或消去的小圈。

成功条件统一写为

方括号[C]表示链C的同调等价类；这里的0表示平凡同调类，即错误与修正组成了平凡的稳定子乘积。这一由可测症候推断恢复链、再判断同调类别的过程如图1所示。非零类别表示逻辑失败。真实错误E在单次实验中不可直接观测，解码器只能由症候历史和噪声模型估计其逻辑类别；同调等价的链仍可有不同长度和概率。纠错目标因此不是逐边复原E，而是选对逻辑类别。

图1 可观测记录与不可直接观测错误的分层 (a)带边界的表面码示意图；(b)解码与同调类判断流程。图(a)中蓝色实线是真实错误链，红点是其留下的可测症候，蓝色虚线为解码器估计的恢复链，紫线为非平凡逻辑路径。单次实验只获得校验或检测记录，不能直接检查E或[E+R]；逻辑错误率由已知输入与重复实验统计估计

2.3 表面码：面向实验的拓扑量子存储器

本节把环面图像移到可制造的平面器件。表面码(surface code)可看成带边界的环面码[10]：粗糙边界允许e型激发无额外症候地终止，光滑边界允许m型激发这样终止；连接相应边界的开放逻辑串由相对同调描述，本文不再展开其形式定义。

二维线性尺寸为L的表面码有渐近标度d∼L、n∼L2；旋转与非旋转布局的常数因子不同。通俗地说，纠错阈值把“增大码距持续降低逻辑错误率”和“扩大系统不再获益”分开，但它依赖码族、噪声、症候电路、解码器与失败判据。正式定义和数值适用条件留到第3节。

表面码的几何结构适合二维器件，但作为主动量子存储器，它还必须反复测量稳定子、生成检测事件、运行经典解码并更新泡利帧；这一工程流程将在第5.1节讨论。

03

阈值：渗流论证与统计力学映射

阈值不是表面码的单一“材料常数”，而是码族、噪声模型、症候提取电路、解码器和逻辑失败判据的联合性质。以下把PL(p, d)定义为指定纠错周期或实验协议下，物理错误强度为p、码距为d时的逻辑错误概率。阈值以下常用

作为经验标度；前因子A(p)、有限尺寸、跨量子比特或时间的相关噪声，以及量子态离开计算子空间的泄漏，都可使数据偏离简单指数律。

必须先说明噪声层级和模型，才能比较阈值数值。首先是“数据量子比特噪声”，只考虑数据量子比特在一次纠错过程中发生的泡利错误，并假设稳定子测量完全准确，这是很多早期QEC码错误阈值存在性证明的起点；更进一步的是“现象学噪声”，这是根据实际操作中观察到的错误症候和错误并不匹配到现象总结出的，主要是数据错误和测量错误均会发生，但并不考虑错误在线路中随时空发生的传播；近年来，为了更细致地从线路的角度考察错误的发生和传播，“电路级噪声”的假设也开始得到更多讨论，允许电路的所有位置发生噪声，错误在线路中传播造成的三类常用模型的总结可见表1。

表1 三类常用阈值噪声模型

3.1 独立同分布噪声下的错误链系综

先在码容量模型中说明阈值从何而来。独立同分布(independent and identically distributed, i.i.d.)噪声指每条边以相同概率p、彼此独立地发生Z错误。固定边集合E的概率是P(E)=p|E|(1-p)N-|E|，其中N为总边数；若只问权重|E|=w的概率，还须乘组合因子。给定s=∂E后，最小权重匹配(MWPM)在解码图中寻找总边权重最小的恢复链，这相当于直接选取一个最小权重的错误代表元；而最大似然逻辑类别解码要把同一逻辑类别内所有相容候选链的概率相加，不等同于选择概率最大的单条链。因此，MWPM寻找最小的权重代表元，而最大似然逻辑解码比较全体逻辑类的概率。存在稳定子简并(不同错误对应相同错误症候)或相关噪声时，二者一般不等价。

键渗流的贯穿事件是错误边形成连接样品相对边界的大连通簇；量子纠错失败则是错误与恢复合成后落入非平凡逻辑类别，二者不是同一临界事件。二维正方格键渗流阈值pc=0.5因而不是纠错阈值。约10.9%的数值只适用于完美症候、独立二元泡利错误和最优逻辑类别解码这一特定码容量模型[11，12]。

3.2 渗流/Peierls 阈值论证

这一论证要回答：为什么低噪声可纠区域一定存在？若最小权重恢复选错逻辑类别，则存在一条长度ℓ≥d的非平凡候选路径，其上至少约一半的边属于真实错误；独立噪声下该事件的概率可用[4p(1-p)]ℓ/2保守上界。长度为ℓ的候选路径数至多按CL2μℓ增长，因此：

这里L是系统线性尺寸，d是码距，ℓ是路径长度，μ是路径数的指数增长常数，C是吸收格点和端点选择的常数。若方括号小于1，从d起的级数收敛，失败率随d指数下降[11]。在二维Ising模型中，翻转区域与未翻转区域之间的边界称为畴壁。单条长畴壁的出现概率随其长度迅速下降，可理解为能量代价；但给定长度的畴壁形状数随长度指数增长，对应熵的贡献。纠错问题中，单条错误路径的概率与候选路径的数量之间也存在相同的竞争。这与Peierls畴壁论证中的能量—熵竞争相同[13]，但只给出充分条件和保守阈值下界，不是精确临界值。

3.3 统计力学映射

统计力学映射分四步：先枚举与已测症候s相容的错误，再按相对同调类h分组，把每类的总概率记为Zh，最后把这些概率改写为随机键模型的玻尔兹曼权重。取一个相容参考链E0，并记
，类别配分函数为[11]

最大似然解码选择Zh最大的类别。令p/(1-p)=e-2βJ便得到玻尔兹曼权重；固定样本内不随热平均改变的随机错误键称为淬火无序，该参数关系定义西岛线(Nishimori line)。类别自由能Fh=-β-1lnZh，不同Fh之差衡量逻辑类别竞争：低噪声时正确类别占优，临界点后非平凡类别不再受指数压制。路径计数证明低噪声区存在，统计力学映射则说明其自由能机制。本节中的关键数学符号与定义见表2。

表2 第3.3节关键数学符号与定义

为使稳定子、同调和统计力学三种描述之间的关系更加直观，下面用一个小型环面码实例说明完整的“错误链—症候—恢复链”过程(详见Box 1)。

Box 1

二维环面码纠错实例：从症候到逻辑类别

错误链、症候与恢复。考虑5×5方格环面码，只讨论Z型错误。量子比特位于边上，顶点稳定子和面稳定子分别为

将Z错误写成1-链E∈C 1 (T 2 ; )，被翻转的顶点校验组成症候：

任意恢复链R只需满足∂ 1 R=s，因此

是一条闭链。本例中R good =E，所以C=0；而较短的周期恢复R MW 满足：

其中γ绕环面一次，因而造成逻辑错误。症候只确定边界∂ 1 E，并不确定闭链E+R的全局类别。

稳定子正规化群与同调。对Z型泡利算符记：

它与全部顶点稳定子对易，当且仅当∂ 1 C=0，故：

面稳定子的乘积对应面边界C=∂ 2 F，从而：

因此：

前者表示恢复成功，后者表示错误与恢复相差一个非平凡逻辑Z算符。本例中的[γ]≠0对应水平逻辑算符。

逻辑类别概率与统计力学映射。给定症候s，选取一条参考链E 0 (s)。每个相容错误都可写成：

E ′ =E 0 +c h +∂ 2 F ,

其中c h 是同调类h∈H 1 (T 2 ; )的代表元，F为面集合。在独立错误率为p的模型中，类别h的总概率为

最大似然逻辑解码比较的是同一类别内全部相容错误的总概率，而MWPM通常只选择一个最小权重代表元。

令：

则类别权重可写为

不同同调类因而成为随机键Ising模型的不同拓扑扇区。选择最大的Z h ，等价于选择自由能F h 最小的逻辑类别。稳定子商群、同调类和扇区配分函数分别从代数、几何与概率角度描述同一个纠错判据。

蓝色实线表示三边真实错误E，绿色虚线表示成功恢复Rgood=E；橙色虚线利用左右边的周期粘合，以两条边连接同一对症候。前者满足E+Rgood=0，后者满足E+RMW=γ，其中γ是绕环面一周的非收缩闭链

3.4 其他阈值存在性判定方法

相对熵、相干信息和马尔可夫长度等量，可从混态或重复测量历史来诊断逻辑信息何时丧失，因而较少依赖某个具体解码器[14—18]。它们适合判断可恢复性和关联尺度，却不能替代在给定症候电路、噪声与解码器下测得的电路级逻辑错误率。

04

更多拓扑量子编码及其几何局限

4.1 颜色码：三色结构与逻辑门优势

本节要说明：改变局域校验结构会怎样改变逻辑门能力？色码(color code)把量子比特放在三色可着色格子的顶点，每个面f支持两类稳定子[19]：

其中v∈f 表示面边界上的顶点。“自对偶CSS”指X型与Z型校验具有对应的几何支撑；它使逻辑H、S和码块间CNOT可横向实现，即分别作用于对应物理量子比特，限制单点故障在码块内扩散。H, S, CNOT是生成克利福德门集，而T是实现通用计算所需的非克利福德资源，常由带验证的魔态蒸馏提供。

Eastin—Knill定理说明不能仅靠横向门得到通用逻辑门集[20]。Bravyi—König定理是另一项限制：对D维局域拓扑稳定子码，几何局域的常数深度电路只能实现受限层级的逻辑门[21]。因此色码仍需魔态蒸馏、码切换等补充机制。

4.2 量子双模型与弦网模型：从闭环到任意子

环面码是D()量子双模型的最简单例子；量子双与Levin—Wen弦网把闭环保护推广到更一般的任意子、融合空间和全局拓扑扇区[9，22]。这些模型提供拓展阅读，本文不展开任意子统计或范畴论。

4.3 改变维度：弦状、膜状与分形状逻辑算符

“弦状、膜状、分形状”描述算符支撑集合的几何形状。二维环面码的逻辑支撑为弦状；三维中一类为弦状、另一类为膜状；四维两类逻辑错误都可由膜状支撑描述。支撑及其边界的维度会影响局域错误累积为全局错误所需的能量，有限温度后果见第5节。

Haah码没有普通弦状逻辑算符，其支撑呈分形状[23]。受限迁移率是指不能用有限支撑的局域算符独立平移单个激发；它可造成动力学障碍，却不等于已经证明有限温度自纠错。

4.4 改变几何：双曲码与编码率

定义编码率R = k/n、相对距离δ = d/n；若码族的R, δ均保持正的常数下界，称为渐近良好。记号O(f)表示不快于f 的渐近上界，Θ(f) 表示与f 同阶。普通二维表面码有n~L2、k=O(1)和
，故R→0。双曲表面码可获得非零编码率，但通常只有d=O(logn)[24]，仍未同时实现k=Θ(n)与d=Θ(n)。

4.5 拓扑码的几何局限： BPT界与非局域代价

本节要说明二维局域性为何既方便实验又限制编码参数。Bravyi—Poulin—Terhal(BPT)界适用于二维有界密度嵌入，且校验权重和几何直径均有界的局域量子码；在这些条件下，

其中n、k、d分别是物理量子比特数、逻辑量子比特数和码距 [25] 。用普通语言说，在固定物理量子比特数量下，编码更多逻辑量子比特与提高码距不能同时无限改善。表面码的
正体现了这一尺度。

这不是对所有量子码的普遍上界。需要大量长程连接的抽象qLDPC码不满足上述二维几何局域前提，因而不在该界的适用范围内，而非“违反”BPT界。

若要在二维布局中超过该界，就必须付出非局域连接代价。相关下界表明，所需长程相互作用的数量或长度会随k、d和n增长 [26] 。 因此二维局域性带来局域测量和实现优势，也造成编码率与码距的权衡关系；突破限制需要改变几何、引入大量长程连接，或转向抽象qLDPC码。

05

量子存储：主动纠错、自纠错与有限温度物理

5.1 主动量子存储：表面码的现实路线

本节要回答：实验如何持续使用表面码保存信息？表面码不是在热平衡下自然稳定，而是反复执行：

稳定子测量→检测事件生成→经典解码→更新泡利帧。

数据量子比特承载编码态，辅助量子比特经CNOT，测量和复位读出稳定子。解码结果通常只更新泡利帧(Pauli frame)，即经典记录待补偿的逻辑泡利作用，而不在多数轮次立即向数据量子比特施加物理恢复门；一个周期的时长由量子门、测量、复位与经典处理共同决定。

令第t 轮第a项校验读数为ma(t)∈，检测事件定义为

符号⊕表示模2加法。时空解码图以发生检测事件的(a, t)为节点，以可能产生一对事件或连接时间边界的故障为边，边权取相应故障似然的负对数；解码器输出估计的故障链及逻辑类别，并据此更新泡利帧[10，11]。最小权重完美匹配寻找最小总权配对，并查集解码器则通过快速合并症候簇近似完成恢复。

实际瓶颈还包括泄漏和相关噪声：泄漏指量子态离开计算子空间，相关噪声指不同量子比特或时刻的故障不能近似独立分解。它们都会改变时空边权、阈值和低延迟解码需求。

5.2 被动自纠错量子存储的基本物理图像

须区分三种机制：主动纠错依赖离散的测量、经典解码与反馈；自治纠错用工程化耗散连续移除错误，虽可不逐轮数字测量，仍依赖外部驱动或储库；本文的“自纠错”专指系统在有限温热浴中，不依赖持续外部测量和反馈而被动保存量子信息[27]。

令H的基态为|ψ0>、基态能量为E0，为非平凡逻辑泡利算符，
为逐步乘入有限支撑局域错误的路径。为避免与系统线性尺寸Lsys混淆，能垒定义为

ΔE(γ)表示沿给定局域错误路径必须达到的最高能量，而ΔE()是在所有能够形成逻辑操作的路径中最低的这一“山口”，物理上它刻画热噪声产生该逻辑错误所需跨越的最低能垒。总体逻辑能垒还可对所有非平凡取最小。只有在弱耦合、局域且近马尔可夫的热浴、足够低温和热激活主导等假设下，寿命才可启发式写成τ≃τ0(Lsys, T)eβΔF，其中动力学前因子τ0和自由能屏障ΔF 都不可忽略。增长的裸能垒并非自纠错的充分条件，因为错误路径熵可抵消能量代价。

5.3 二维不可能性与四维正例

二维环面码的哈密顿量为

。产生一对任意子需要有限能量，但继续分开它们不再增能，故逻辑能垒为O(1)。相应不可能性结论限定于二维几何局域泡利稳定子哈密顿量及其稳定子码：其能垒受常数上界限制，不能形成被动自纠错量子存储器[28]。

四维环面码是理论正例：两类逻辑错误均由膜状支撑形成，膜的边界携带激发；扩展膜时边界长度随Lsys增长，产生O(Lsys)能垒。它证明被动自纠错在理论上可能，但四维空间不能直接作为工程布局。

5.4 三维路线：受限移动与递归构造

三维的难点在于同时阻止X型和Z型错误。焊接码通过拼接使逻辑路径在推进时同时产生更多激发[29]；Haah码与分形子码则利用分形支撑和受限迁移率延缓错误扩散。两类机制都仍须结合熵、热浴和动力学判断热稳定性。

2026年5月提交的v1预印本研究三维几何局域泡利稳定子哈密顿量；论文作者在其指定的局域、弱耦合、马尔可夫热浴和足够低温条件下，对主构造给出指数寿命下界[30]，其物理自然性、实现复杂度和社区复核仍待检验；文中显式确定性嵌入版本的完整寿命证明也留待后续工作。

5.5 主动纠错、自纠错与良好qLDPC码的定位

量子低密度奇偶校验码(qLDPC码)要求每项校验的权重为常数，且每个量子比特只参与常数项校验；这两项稀疏性不等同于几何局域。良好qLDPC码还要求k=Θ(n)和d=Θ(n)。主动纠错、被动热稳定性和低空间开销路线的定位见表3。

表3 不同量子存储路线的比较

这些路线并非彼此替代：主动纠错最接近当前硬件，自纠错追求材料层面的被动稳定，良好qLDPC码则优先降低渐近空间开销。

06

实验进展：从单个逻辑量子比特到逻辑处理器

设εd为指定实验周期中的逻辑错误率，定义相邻奇数码距的抑制因子：

Λd>1只是在给定硬件、解码器和有限尺寸范围内的阈值以下证据。2023年，Google Quantum AI在72个量子比特处理器上观察到d=5较d=3改善约4%[31]。Willow实验则在105个量子比特芯片上实现d=3, 5, 7时εd连续下降；d=7存储器使用101个物理量子比特，每周期逻辑错误率约0.143%，并在d=5演示了平均延迟63 μs的实时解码(图2)[32]。这里须区分不同实验指标：每周期逻辑错误率εd是在一个指定纠错周期后发生逻辑错误的概率；逻辑寿命通常由多周期存储实验中的逻辑保真度衰减拟合得到；最佳物理量子比特的参考寿命则来自未编码物理量子比特的独立实验。因此，逻辑寿命与最佳物理量子比特寿命的2.4倍比值，不应与单周期εd混为同一量。

图2 Google Quantum AI 团队在Willow超导处理器上的阈值以下表面码结果。码距3、5、7的数据随d增大而下降。拟合抑制因子为Λ=2.14±0.02，内嵌图把模拟延伸到d=11[32]

Bluvstein等人的工作展示了可重构中性原子平台在多种量子纠错码和逻辑线路中的应用能力(图3)，但文献中关于码距、物理量子比特数和逻辑量子比特数的结果来自不同实验配置，不能视为同一系统同时达到的性能指标[33]。在表面码实验中，研究者构造了码距为d=3至d=7的两个码块，逻辑态初始化时进行一轮稳定子测量，随后执行横向CNOT并进行投影读出；解码时利用两个码块之间的相关症候信息进行联合解码，重点在于验证编码逻辑门及其错误抑制能力，而非对大规模逻辑阵列持续执行多轮主动纠错。在另一组实验中，平台最多使用280个物理量子比特，实现了包含40个色码逻辑量子比特的编码配置，体现了中性原子阵列在并行编码和逻辑操作方面的可扩展性。对于包含48个逻辑量子比特的复杂采样线路，实验则采用三维[[8, 3, 2]]码块，共使用128个物理量子比特，并通过错误检测和后选择提高输出结果的可靠性。这里，错误检测用于识别可能发生故障的实验运行，后选择进一步舍弃被标记的样本；主动纠错则需要根据症候推断错误，并在保留该次运行和量子态的前提下实施补偿。因此，这些实验分别展示了逻辑门、编码规模和容错采样等不同层面的能力，不宜将其规模数字直接组合或比较。

图3 可重构中性原子平台能力示意。图中“最多280个物理量子比特”和“最多48个逻辑量子比特”来自不同实验配置，并非单一协议同时达到的规模；光镊重排支持码块移动、长程连接、并行逻辑操作和症候测量(根据文献[33]绘制)

移动光镊可重排原子，为不同码块提供长程连接和并行纠缠操作；相关方案进一步研究用这种连接提取高编码率qLDPC码的非局域症候[34]。

表面码之所以成为主要基准，是因为局域测量与解码工具较成熟；中性原子的可重构连接则为色码、小型三维码块和更一般的qLDPC方案提供了不同的实验入口。

07

从拓扑的同调直觉到良好qLDPC码

7.1 为什么普通拓扑码不够?

本节要回答：能否保留校验稀疏性，同时摆脱二维几何的编码率—码距限制？须区分三项性质：低校验权重是每项校验只作用于常数量子比特；低量子比特度数是每个量子比特只参加常数项校验；几何局域则要求这些量子比特在给定空间中彼此邻近。qLDPC定义只自动要求前两项，良好qLDPC码再要求k=Θ(n)、d=Θ(n)，但不自动满足第三项。图4概括了构造主线。

图4 从二维拓扑码到良好qLDPC码的六步路线。抽象链复形保留“边界的边界为空”，超图乘积获得正编码率，提升类乘积突破平方根距离尺度，量子Tanner码由扩展结构与局部码的距离/鲁棒性共同排除低权重逻辑算符，最终达到常数编码率和线性码距(根据文献[35—38]绘制)

低密度校验可连接芯片上相距很远的位置。优良渐近参数不等于易实现：路由、症候提取、解码和逻辑门仍可能产生显著时间与硬件开销。需要注意的是，各种良好qLDPC码的高效容错计算协议并不会由其良好的码率和码距自动给出，需要额外的研究设计。

7.2 同调语言是桥梁

回顾第2.2节的同调直觉，并将其推广到抽象链复形。C2, C1, C0分别是以面、边、点为基生成的向量空间，其中向量表示相应基对象的模2子集。边界映射给出：

这里∂2取面的边，∂1取边的端点；∂1∂2=0即“边界的边界为空”，也保证CSS两类校验对易。沿用第2.2节的定义，ker ∂1是无端点链，im ∂2是局域边界；忽略后者得到：

良好qLDPC码把曲面替换为抽象复形，仍以非平凡同调承载逻辑信息，却不要求嵌入二维欧氏空间。

7.3 超图乘积：把两个经典码组合成量子码

超图乘积(hypergraph product)从两个经典低密度码构造qLDPC码[35]。每个经典码的Tanner图都是变量节点—校验节点二部图；乘积中“变量—变量”和“校验—校验”节点对形成量子比特，两种方向的“变量—校验”交叉对形成X、Z两类稳定子。该安排保持对易与低密度，并可给出固定正编码率和约量级的码距；它摆脱二维嵌入，却保留边界与同调直觉。

7.4 提升与扩展性：走向线性码距

“提升”的共同直觉是复制一个基图，再按置换或群规则重连各副本。这种操作在保持局部邻接关系稀疏的同时重组全局循环结构，从而有可能排除短的非平凡逻辑链。纤维丛码由此把距离推进到超过的量级[36]；提升乘积进一步实现k=Θ(n)、d=Θ(n)并保持低密度[37]，本文不展开证明。

扩展图使任意不太大的顶点集合都有许多边通向外部，因而小错误集合通常触发许多校验。量子Tanner码把局部小码置于这种结构上；线性距离由扩展性与局部码的距离/鲁棒性共同建立，并非由扩展性自动推出[38]。表面码依靠“小簇通常不跨越二维系统”，良好qLDPC码则依靠“小集合通常留下大量症候”；二者共享同调语言，但后者用抽象连接取代低维几何。

08

结语：拓扑保护的力量与边界

拓扑量子编码的核心不是阻止一切错误，而是把局域可检测信息与全局逻辑信息分开。环面码和表面码把这一点表现为错误链、边界和同调类别；低于阈值时，增大码距能持续压低逻辑错误率。良好qLDPC码说明，同一保护直觉还可离开二维曲面，在抽象连接结构中追求低密度校验、常数编码率和线性码距[37，38]。

三条路线留下不同任务：表面码须要更大规模、更低错误率和更快解码；被动自纠错需要在可实现系统中建立有限温度稳定机制；良好qLDPC码则要把渐近参数优势转化为可测量、可解码并可执行逻辑门的硬件架构。实验已证明主动拓扑纠错能够进入阈值以下区域，下一步是以更低空间和控制开销把这种优势推进到容错计算所需尺度。

参考文献

[1] Feynman R P. International Journal of Theoretical Physics，1982，21：467

[2] Deutsch D. Proceedings of the Royal Society of London. A.Mathematical and Physical Sciences，1985，400(1818)：97

[3] Shor P W. Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science，1994：124

[4] Preskill J. Quantum，2018，2：79

[5] Shor P W. Phys. Rev. A，1995，52：R2493

[6] Steane A M. Phys. Rev. Lett.，1996，77：793

[7] Calderbank A R，Shor P W. Phys. Rev. A，1996，54：1098

[8] Gottesman D. 1997，arXiv：quant-ph/9705052

[9] Kitaev A Y. Annals of Physics，2003，303(1)：2

[10] Fowler A G，Mariantoni M，Martinis J M et al. Phys. Rev. A，2012，86：032324

[11] Dennis E，Kitaev A，Landahl A et al. Journal of Mathematical Physics，2002，43：4452

[12] Honecker A，Picco M，Pujol P. Phys. Rev. Lett.，2001，87(4)：047201

[13] Peierls R. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1936，32(3)：477

[14] Zhao Y C，Liu D E. Phys. Rev. Research，2024，6(4)：043258

[15] Zhao Y C，Liu D E. PNAS Nexus，2025，4(3)：pgaf063

[16] Fan R H，Bao Y M，Altman E et al. PRX Quantum，2024，5(2):020343

[17] Sang S Q，Hsieh T H. Phys. Rev. Lett.，2025，134(7)：070403

[18] Negari A R，Ellison T D，Hsieh T H. 2025，arXiv：2412.00193

[19] Bombin H，Martin-Delgado M A. Phys. Rev. Lett.，2006，97：180501

[20] Eastin B，Knill E. Phys. Rev. Lett.，2009，102：110502

[21] Bravyi S，König R. Phys. Rev. Lett.，2013，110：170503

[22] Levin M A，Wen X G. Phys. Rev. B，2005，71：045110

[23] Haah J. Phys. Rev. A，2011，83：042330

[24] Delfosse N. Tradeoffs for Reliable Quantum Information Storage in Surface Codes and Color Codes. In：IEEE International Symposium on Information Theory，2013. DOI: 10.1109/ISIT.2013.6620360

[25] Bravyi S，Poulin D，Terhal B. Phys. Rev. Lett.，2010，104：050503

[26] Dai S，Li R. 2024，arXiv：2409.15203

[27] Brown B J，Loss D，Pachos J K et al. Reviews of Modern Physics，2016，88：045005

[28] Bravyi S，Terhal B. New Journal of Physics，2009，11：043029

[29] Michnicki K P. Phys. Rev. Lett.，2014，113：130501

[30] Balasubramanian S，Davydova M，Lin T C. 2026，arXiv：2605.10943

[31] Google Quantum AI. Nature，2023，614：676

[32] Google Quantum AI and Collaborators. Nature，2025，638：920

[33] Bluvstein D et al. Nature，2024，626：58

[34] Xu Q et al. Nature Physics，2024，20：1084

[35] Tillich J P，Zemor G. IEEE Transactions on Information Theory，2014，60(2)：1193

[36] Hastings M B，Haah J，O’Donnell R. Proceedings of the 53rd Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing (STOC 2021)，2021：1276

[37] Panteleev P，Kalachev G. Proceedings of the 54th Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing(STOC 2022)，2022：375

[38] Leverrier A，Zémor G. Proceedings of the 63rd IEEE Annual Symposium on Foundations of Computer Science(FOCS 2022)，2022：872

（参考文献可上下滑动查看）

清华大学物理系建系百年专题

欢迎订阅2026年《物理》杂志

《物理》是由中国科学院物理研究所和中国物理学会主办的权威物理类中文科普期刊，注重学科性与科普性相结合，秉承“轻松阅读，享受物理”的办刊理念，集学科大家之力，追踪物理学成果，服务物理学领域，促进学科交叉，让科学变得通俗易懂。已成为我国众多物理专业的大学生、研究生、物理学家案头常读的刊物之一。

(期刊订阅)

订阅方式：编辑部直接订阅优惠价240元/年，全国包邮。

方式1微信订阅

在“物理所财务处”微信公众号缴费，操作如下：公号下方“业务办理”-“订刊费”-收费部门“《物理》编辑部”，之后填写相应信息。如有问题，可添加编辑微信咨询：18627635857。

(注：仅针对需要对公开电子发票的读者，且务必提供正确的单位名称和单位税号)

方式2银行汇款

开户行：中国农业银行北京科院南路支行

户 名：中国科学院物理研究所

帐 号：11250101040005699

（注：请注明“《物理》编辑部”，汇款成功后请及时联系编辑部登记邮寄地址）

编辑部联系方式：

咨询电话：010-82649277；82649029

Email：physics@iphy.ac.cn

(赠阅活 动 ）

为答谢广大读者长期以来的关爱和支持，《物理》编辑部特推出优惠订阅活动：凡直接向编辑部连续订阅2年《物理》杂志，将获赠《岁月有情- <物理> 50周年纪念本》。内有自1972年至2022年《物理》发表的50篇精选文章信息，扫描对应的二维码，可重温经典之作，感悟物理科学的真谛，领略学科大家的风采。希望读者们爱上《物理》!