邓煜菲尔兹奖工作物理内核：微观可逆粒子为何造就不可逆宏观世界

2026年菲尔兹奖得主邓煜的工作，触及了物理学中一个深刻的问题：遵循时间可逆动力学的微观粒子，为何能构成具有明确时间方向的宏观世界？更具体地说，玻尔兹曼方程能否真正从底层粒子的可逆动力学中推导出来？邓煜与合作者证明，在适当条件下，从稀薄气体的硬球动力学出发，可以严格推导玻尔兹曼方程。这意味着，在一定条件下，描述宏观不可逆演化的方程确实能够从可逆的牛顿动力学中产生。他们的工作为从可逆的粒子动力学建立玻尔兹曼动力学提供了新的严格基础。本文将回到这一成果的物理内核，尝试回答“大量可逆粒子，为何造就了不可逆世界”这一基础问题。

撰文 | 吉文成

真正的问题是什么？

设想一个被挡板分成两半的透明盒子，带颜色的气体最初集中在一侧。抽掉挡板后，气体很快扩散到整个盒子，几乎不会自发聚集回原处。这种只朝一个方向发生的变化，正是宏观时间箭头最直观的表现。

所谓宏观不可逆，是指在孤立系统中，密度、温度和速度分布等宏观量通常从不均匀走向均匀，从非平衡走向平衡。但这并不意味着微观动力学失去了可逆性：反向演化仍然符合微观定律，只是它几乎不会从通常的宏观初态中自发出现。

为了研究这一问题，物理学家常把稀薄气体理想化为数量极其庞大的硬球（hard spheres），即代表组成气体的粒子，一个宏观气体系统中的粒子数通常可达1023量级。硬球模型保留了物理上的关键假设：粒子硬球在碰撞之间做匀速直线运动，碰撞时动量和能量守恒。只要给定全部硬球的初始位置和速度，未来运动原则上就完全确定。若把某一时刻所有硬球的速度同时反向，系统也可以沿原轨迹返回。

然而，要从这种微观可逆性真正推出宏观不可逆性，还差关键的一步。一个宏观气体包含极其庞大的自由度，我们无法、也没有必要追踪每个粒子的完整轨道。实际描述气体时，我们通常只保留少数变量，于是问题变成：为什么这些少数变量能够形成近似封闭的动力学，而且这个动力学为什么具有明确的时间方向？

对于稀薄气体，一个最基本的选择就是单粒子速度分布。然而，粒子之间不断发生碰撞，单粒子分布的变化并不能天然地只由它自身决定；只知道单粒子分布通常不够，还需要知道两个粒子之间的关系。而两个粒子的演化又会受到更多粒子的影响，由此形成一个不断向更高阶延伸的关联层级。所以要得到一个只关于单粒子分布的方程，关键就在于：在什么条件下，这一关联层级可以被封闭[1]？

关联与不可逆性

玻尔兹曼给出的关键假设是“分子混沌”。在稀薄气体中，两个即将碰撞的粒子在碰撞前可以近似看作彼此独立。这样，碰撞前两个粒子的分布就可以近似由各自的单粒子分布来表示，从而使前面那条不断延伸的关联链得以封闭。玻尔兹曼方程正是在这一近似下成为一个只关于单粒子分布的封闭方程。碰撞虽然会产生关联，但在粒子越来越多、越来越小的稀薄极限中，任意挑出的少数粒子，在统计上仍会越来越接近彼此独立的情况[1]。

这里有一个重要区别。完整的微观描述并没有因为碰撞而丢失信息。只要知道所有粒子的位置和速度，微观动力学仍然是确定的、可逆的。碰撞所做的，是不断在粒子之间产生和传播关联：一个粒子的状态会越来越多地与其他粒子的状态联系在一起。但宏观理论并不追踪全部这些关联。比如玻尔兹曼方程只保留单粒子分布，而不把双粒子、三粒子以及更高阶关联作为独立变量来描述。因此，完整微观状态中仍然存在的细节，在约化后的宏观描述里已经看不见了。在这种约化描述中，高阶关联不再被显式追踪，宏观不可逆性也正是在这一层次上表现出来[1]。

初态因此十分重要。若将一个已经趋近平衡的系统中所有粒子的速度精确反转，系统原则上可以沿原轨迹倒退，并回到原来的近独立状态。但这要求粒子之间具有极其特殊而精确的关联；稍有扰动，这些关联便会被破坏，系统通常就无法回到原来的低关联初态。宏观时间箭头因此与我们考虑的初态类型密切相关。

从 Lanford 到 Deng–Hani–Ma

1975年，Oscar Lanford 首次严格证明，在低密度硬球极限中，从近似独立的统计初态出发，硬球的确定性动力学会导出玻尔兹曼方程。这是对玻尔兹曼物理理论的第一次严格微观推导，也说明微观可逆性与玻尔兹曼方程的不可逆性在数学上并不矛盾[2]。

Lanford 定理的限制在于时间很短，甚至短于一个典型粒子的平均自由时间。它证明了玻尔兹曼方程在演化刚开始时是正确的，但不能覆盖经历许多次碰撞之后的输运、扩散和趋近平衡。

困难主要来自再碰撞。如果每次碰撞都只引入一个此前无关的新粒子，碰撞历史大致像一棵树。时间变长以后，曾经通过碰撞链联系起来的粒子可能再次相遇，碰撞图中便会出现闭环。过去形成的关联由此重新影响当前碰撞，简单的独立性近似也可能失效。

2024年，邓煜、Zaher Hani 和马骁突破了这一持续近半个世纪的短时间限制。他们证明，只要玻尔兹曼方程在从初始时刻到某个给定时刻之间一直保持良好，硬球系统的单粒子分布在这整段时间里都会越来越接近玻尔兹曼方程给出的分布[3, 4]。

他们把碰撞历史组织成图，对再碰撞和闭环作精细分类，再利用累积量展开、图切割和几何估计控制这些结构的总贡献。他们没有假定碰撞产生的关联不存在，而是通过对碰撞历史的精细分析，证明那些可能破坏玻尔兹曼描述的复杂关联，在低密度极限中的总贡献仍然可以得到控制[3，4]。

这项工作的意义可以换一种更直白的说法：以前的严格证明只能覆盖极短时间，新的结果表明，只要玻尔兹曼方程的解在某个时间段内一直存在并保持可控，硬球系统在这个时间段内都可以由玻尔兹曼方程描述。

这里需要说明两个条件。第一，初态可以包含硬球不能重叠造成的短程关联，但不能预先带有复杂的长程多粒子关联。第二，玻尔兹曼方程在所研究的时间内必须存在一个始终可控的解。当前证明还不能覆盖所有初态和空间结构，其中一些限制可能来自现有的证明技术，而未必对应真实的物理边界。未来或许可以允许更强的初始关联、更一般的空间条件，以及更弱的光滑性要求。

宏观不可逆不需要量子力学的介入

确定性的经典分子动力学模拟已经能够展示密度扩散、速度分布趋近平衡、温度差消失，以及其他低阶宏观量的单向演化。这些模拟不需要量子测量，也不需要在程序中预先规定熵必须增加。因此，宏观不可逆性的出现本身并不依赖量子力学。这种宏观行为也不能简单归因于数值误差。混沌会使一条具体微观轨道对舍入误差和时间步长高度敏感，所以计算机通常不能长期预测每个粒子的精确位置。不过，在更换积分器、减小步长、提高精度或增大系统以后，宏观趋近平衡的过程和统计分布仍然稳定出现。

理论上，玻尔兹曼方程及其 H 定理已经说明，在分子混沌成立的动力学层次上，单粒子分布会朝熵更高的方向演化[1]。Lanford 和 Deng–Hani–Ma 的结果进一步说明，在低密度硬球极限中，这种动力学确实可以从经典牛顿运动中得到[2–4]。不过，对于一般的宏观多体系统，究竟什么样的初始条件足以导致熵增，至今仍缺乏完整的理论刻画。数值模拟因此十分重要，它能够探索严格理论尚未覆盖的初态和参数范围；而玻尔兹曼方程及其从牛顿力学出发的现代推导，则为理解这些数值现象提供了坚实的理论起点。

更广的视角：如何得到封闭的介观方程

还有两种从微观走向宏观（更准确地说，是介观，即介于微观与宏观之间的尺度）的方式。一是朗之万方程：只保留大粒子的位置和速度，把周围环境的自由度消去。一般情况下，环境会留下“记忆”：大粒子过去的运动会改变周围环境，而这些变化又会在之后反过来影响它。同时，环境的快速涨落表现为随机力。当环境变化远快于大粒子时，记忆效应可以忽略，环境作用便可近似写成瞬时摩擦和白噪声[5-6]。

二是模式耦合理论（Mode-coupling theory，MCT），它用自洽近似描述过冷液体中的密度涨落，把难以直接计算的高阶关联近似写成低阶关联的乘积，从而得到一套封闭的动力学方程[7]。MCT 具有明显的平均场性质，能够描述液体在降温过程中显著变慢的趋势，但会在有限温度预测一个过于尖锐的理想玻璃转变。真实的三维液体还可以通过局域的激活重排继续弛豫，因此不会在该温度发生 MCT 所预测的动力学停滞。

玻尔兹曼理论、朗之万方程和 MCT 展示了三种不同的闭合方式。前者利用低密度极限控制碰撞关联，朗之万理论利用时间尺度分离处理快速环境，MCT则用平均场式因子化闭合高阶密度关联。它们共同表明，从微观动力学得到介观方程，关键在于说明被删除的自由度为什么能够被忽略、平均化，或以噪声、记忆和关联的形式重新出现。

结语

微观可逆与宏观不可逆并不矛盾。问题在于，在什么条件下，我们能够从可逆的粒子运动得到一个封闭的低阶动力学，并让这个动力学正确描述宏观世界中看到的不可逆演化。

玻尔兹曼首先给出了理解这一问题的物理框架。Lanford 以及邓煜、Zaher Hani 和马骁的工作，则在越来越长的时间尺度上严格证明：对于低密度硬球气体，玻尔兹曼方程确实能够从可逆的牛顿动力学中产生。

致谢：非常感谢浙江大学物理学院姬扬教授和华南理工大学徐晓教授的推荐。

参考文献

[1] L. Boltzmann, "Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen," 1872.

[2] O. E. Lanford III, "Time Evolution of Large Classical Systems," in Dynamical Systems, Theory and Applications, 1975.

[3] Y. Deng, Z. Hani and X. Ma, "Long Time Derivation of the Boltzmann Equation from Hard Sphere Dynamics," 2024.

[4] T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond and S. Simonella, "Derivation of the Boltzmann Equation from Hard-Sphere Dynamics (after Y.Deng, Z. Hani, and X. Ma)," Séminaire Bourbaki, 2026.

[5] R. Zwanzig, "Memory Effects in Irreversible Thermodynamics, "Physical Review 124,983– 992(1961).

[6] H. Mori, "Transport, Collective Motion, and Brownian Motion," Progress of Theoretical Physics 33(3), 423–455 (1965).

[7] U. Bengtzelius, W. Götze, and A. Sjölander, "Dynamics of supercooled liquids and the glass transition," Journal of Physics C: Solid State Physics 17, 5915–5934 (1984).

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