北京
我们常常会看到这样交叠的圆圈：每个圈代表一类事物，重叠的部分归两者共有，这就是文氏图（Venn diagram），或称维恩图。
这张文氏图展示了希腊字母（左上方）、拉丁字母（右上方）以及俄罗斯西里尔字母（下方）共有的大写字母字符
文氏图很简单，并不需特别解释，就能把抽象的集合关系变成可视化图像，在逻辑学、集合论乃至计算机科学中广泛应用。不要只把它当作分类画图的小工具，它背后可是对应着初等集合论相当严密的逻辑结构。
unsetunset从欧拉图说起unsetunset
文氏图是以英国数学家、逻辑学家剑桥约翰·维恩（John Venn，文氏图正是由其姓氏 Venn 翻译而来）命名的，但用封闭图形来表示逻辑关系的思想，有人要更早于维恩。
在 1712 年，德国学者克里斯蒂安・魏泽(Christian Weise)在逻辑学著作中其就做过类似的表达尝试。
影响更大的是大数学家欧拉，他在 1760 年代写给一位德国公主的信中，系统地用闭合曲线辅助三段论推理，其中的图示后来被称为欧拉图（Euler diagram）。
这些早期图示有个共同的局限：只画实际存在的关系。两个集合不相交，就画成两个分离的圆；一个包含另一个，就画成大圆套小圆。它们适合针对具体情形举例说明，却承载不了完整的逻辑体系。
转折发生在 1880 年。剑桥逻辑学家约翰·维恩发表论文提出改造方案，次年又在专著《符号逻辑》第五章中给出了系统阐述。
他补上了一条关键的约束：一张合格的集合图示，必须呈现集合之间所有可能的逻辑组合，而不只是当下成立的那几种。哪怕某种组合对应的是空集，图上也要为它留出区域——只是那块区域里不放任何元素。
这个改动是质变的：图示从举例工具，升格为能够完整承载集合运算的严谨表示法。后人便把满足这种全组合覆盖要求的图称为文氏图。
unsetunset平面上的映射规则unsetunset
文氏图的本质，是在二维平面上用闭合曲线（通常画成圆或椭圆）表示抽象的数学对象：集合的每个元素对应平面上的一个点，集合本身对应曲线围出的封闭区域。
一条标记为 的曲线把平面分成内外两部分，恰好对应集合论的一条基本原则：任何元素要么属于 ，要么不属于，没有中间状态。曲线内部的点代表属于 的元素，外部的点代表不属于 的元素。
当多个集合同时出现，它们之间的运算就转化为区域的重叠与合并。以两个集合 与 为例。同时属于 和 的元素构成两者的交集，记作 ：
在图上，交集正是两圆重叠的公共区域。若把两个集合的元素合并，考察属于 或属于 （含同时属于两者）的元素，便得到并集 ：
对应到图形上，并集是两圆覆盖的全部区域。
unsetunset文氏图不等于欧拉图unsetunset
两者经常被混为一谈，分界其实很清楚：对逻辑可能性的穷尽程度不同。
欧拉图只画"有元素的区域"，没有交集的两个集合尽可以画成分离的圆。而标准的文氏图则要求： 个集合必须以所有可能的方式交叠，把 种逻辑组合
在平面上一一呈现，空集也不例外。按这个标准，每一张文氏图都是欧拉图，反过来则未必——文氏图是欧拉图中要求最严苛的特例。
例子：互斥关系（哺乳动物 vs 鸟类）
在现实中，没有动物既是哺乳动物又是鸟类，它们的交集是空的。
文氏图的画法：必须画成两个强制相交的圆。为了表示现实中没有交集，通常会在重叠的交集区域涂上阴影（或标记为 ），以此宣告“此路不通”。
欧拉图的画法：直接画两个完全分离、互不挨着的圆。既然现实中没交集 ，圈就不重叠，视觉上更符合直觉。
例子：包含关系（英国人 vs 伦敦人）
在现实中，所有伦敦人一定都是英国人。
文氏图的画法：依然是两个固定相交的圆（形成左、中、右三块区域）。然后把“是伦敦人但不是英国人”的那个外侧区域涂黑抹去，标记为空集。
欧拉图的画法：直接画一个大圆（英国人），里面完整包裹着一个小圆（伦敦人）。
文氏图和欧拉图都用图形表示集合，但关注点不同，前者是把所有逻辑可能性都列出来，而欧拉图是只画实际存在关系。
顺带一提，常规文氏图只关心区域间的位置关系，面积大小没有含义。在某些数据可视化场景中，人们会额外要求每块区域的面积与元素数量成正比，这类变体称为等比例文氏图，能同时传递逻辑关系与数量对比。
来源：遇见数学
编辑：丁香叶子
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