十七头骆驼，以及它能带你走向何处 （解答很巧妙的6道趣味数学题）——James Propp教授专栏

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本期James Propp教授带来6道精选的数学趣味谜题和巧妙解答。

图源：Tivadar Danka

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作者：James Propp教授 2026-6-15

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-7-7

求喜欢

说到底不过是个取巧的文字游戏罢了。 —— 本・埃姆斯・威廉姆斯（ Ben Ames Williams ），小说《椰子》Coconuts

本文收录六道谜题，部分是经典老题，表面上看彼此毫无关联。介绍完所有题目后，我会给出提示，说明它们共通的核心技巧；随后逐一给出解答，所有解法都以不同形式用到同一个巧妙思路。

谜题一

一位富商离世，留下十七头骆驼，要分给三位继承人。遗嘱规定：长子分得全部骆驼的二分之一，次子分得三分之一，幼子分得九分之一。如果死板按字面执行，就得宰杀骆驼：长子分得八头半，次子五又三分之二头，幼子一又九分之八头，最后还剩十八分之一头骆驼只能留给秃鹫。富商肯定不愿看到这般血腥场面！正当三位继承人一筹莫展时，一名路过的商人停下脚步询问缘由。听完他们的困境，商人只提了一个简单建议就解决了难题。请问这个建议是什么？

图源： Tivadar Danka

（提醒：这是一道巧思谜题，别指望教科书式的常规解法！）

谜题二

五名水手和一只猴子遭遇海难，流落荒岛。第一天众人收集椰子当作食物，全部堆在一起后便躺下睡觉。夜里一名水手醒来，趁其他人熟睡，打算取走五分之一的椰子。他把所有椰子分成五等份，多出 1 个；他藏起其中一份，把剩下四份合并，多出来的那一个椰子丢给猴子。之后其余四名水手依次做了一模一样的事：每人都把当下的椰子堆分成五等份，总会多出 1 个，藏起一份，合并剩余四份，多余椰子喂猴子。次日清晨，五人瓜分剩下的椰子，恰好能平分五份，没有剩余。请问最初一共有多少颗椰子？

（本题实际上有无穷多组解，问题真正想问的是：如果故事真实成立，最初椰子堆最少有多少颗？）

如果直接上手太难，先看一道热身题帮你打开思路：求最小正整数，它除以 3 余 2、除以 5 余 4、除以 7 余 6。

谜题三

假设你的离散数学入门课老师讲过一条图论公式，你记不清证明过程。图由若干点（称为顶点）和连接顶点的线段 / 曲线（称为边）构成；本文只讨论顶点、边数量有限的有限图。连通图：任意两个顶点之间都能沿着图中的边找到一条通路互相抵达。圈（环路）：从某个顶点出发，沿边行进，不重复使用任何一条边，最终回到起点的闭合路径。树：不含任何圈的连通图。举个例子：文中示意的图不连通，顶点 a 到 d 没有通路；同时图里存在圈，由 a-b、b-c、c-a 三条边构成。

老师给出的公式：边数 E = 顶点数 V − 1。意思是有限树的边数永远比顶点数量少 1。比如下图里的树有 10 个顶点、9 条边。

现在期中试卷考到了森林。你记得森林和树的区别：森林不要求连通，唯一限制是不能包含任何圈。所有树都属于森林，但一片森林可以由两棵、三棵甚至更多棵树组成。试卷题目：图 G 是由两棵树构成的森林，G 共有 10 个顶点，求 G 的边数。你的小抄上只有公式 E=V−1，但这个公式只适用于单棵树，不能直接套用到普通森林上。你该怎么解题？

谜题四

现有 4 枚可疑硬币，其中 1 枚是假币（重量比真币偏重或偏轻未知），另有一台天平。仅称量两次，能否找出假币，并判断假币是偏重还是偏轻？如果做不到，增加一件什么简单物品就能完成任务？

谜题五

一副洗匀的标准 52 张扑克牌，逐张发牌，直到抽出四张 J 中的任意一张就停止。平均来说，你需要平均发多少张牌才能抽到第一张 J？

谜题六

有一副编号 1 至 N 的纸牌（N＞1，牌序任意），定义完整轮换操作为以下 N 步流程：

1. 把编号 1 上方的所有牌和编号 1 下方的所有牌（整体）互换位置；

2. 再把编号 2 上方的所有牌和编号 2 下方的所有牌（整体）互换；

3. 以此类推，直到最后一步，互换编号 N 上下两部分纸牌。

4. 如果某一侧没有牌（空集），本次互换等价于把最上方一张移到最底部，或反向操作。

举个例子：初始牌序 1，2，4，3，1 在最顶端，3 在最底端。

第一步：互换数字 1 上方（无牌）与下方三张牌（整体），得到 2，4，3，1；

第二步：互换数字 2 上下纸牌（上方无牌，以及下方是4，3，1 ），得到 4，3，1，2；

第三步：互换数字 3 上下纸牌（上方是4，下方是1，2），得到 1，2，3，4（注意 1、2 内部顺序不变；两堆牌整体交换，但每堆内部原有顺序保留）；

第四步：互换数字 4 上下纸牌（上方1，2，3，下方无牌），得到 4，1，2，3。综上，一次完整轮换操作将序列 1,2,4,3 变为 4,1,2,3。

求证：连续执行 N+1 次完整轮换操作后，纸牌一定会恢复初始顺序。

提示

以上所有谜题都有一种简洁解法：人为加入一个看似多余的元素，解题结束后再把这个元素移除。

举个热身题的例子（谜题二末尾的热身题：最小正整数除以 3 余 2、除以 5 余 4、除以 7 余 6），设这个未知数为 N。N 除以 3 余 2，说明 N+1 能被 3 整除；同理 N+1 能被 5、7 整除。3、5、7 两两互质（最大公因数为 1），因此 N+1 是 3×5×7=105 的倍数。因此热身题答案为：(N+1) − 1 = 105 − 1 = 104。

想要更多这类 “骆驼巧解法” 的数学实例，可以浏览 MathOverflow 帖子《十七头骆驼的解题技巧》 https://mathoverflow.net/questions/271608/17-camels-trick ，以及蒂瓦达尔・丹卡（Tivadar Danka）的博客文章《骆驼原理》 https://thepalindrome.org/p/the-camel-principle 。

谜题一解答

商人说：“借我的一头骆驼给你们。”此时骆驼总数变为 18 头。长子分得 18 的二分之一，即 9 头；次子分得 18 的三分之一，即 6 头；幼子分得 18 的九分之一，即 2 头。三人合计分得 9+6+2=17 头，恰好是富商留下的全部骆驼。分配完毕后，商人就能骑走借出的那头骆驼。

严格来说，并没有完全精准满足遗嘱比例，但逝者已然离世；三位继承人分到的数量都严格高于遗嘱字面比例对应的小数，唯一吃亏的只有原本等着分碎骆驼的秃鹫。

这看似只是趣味谜题，但现实中按人口分配议会席位时，会遇到完全同类的难题。这类场景里，分配分数相加总和为 1，可总人口乘以分数后往往不是整数，难以分配。举一个同类变体：若骆驼总数 17 头，要求三位继承人分别分得 1/2、1/3、1/6，不宰杀骆驼就无法精准分配，我们只能寻求近似分配。而 “近似” 的评判标准又该如何定义？学界有多种分配方案；想了解美国的官方分配规则，可以查阅人口普查局发布的《席位分配方法》 https://www.census.gov/about/history/historical-censuses-and-surveys/census-programs-surveys/decennial-census/methods.html 。

还有一类变体，分配分数相加大于 1，此时商人的操作反过来：先牵走一头骆驼，分配结束后再归还。

谜题二解答

设原有椰子总数为 N。我们虚构一个辅助场景：猴子一开始自带 4 颗蓝色椰子，全部混入椰子堆，总数量变为普通椰子 N 颗 + 蓝色椰子 4 颗，合计 N+4 颗。第一名水手醒来时，整堆椰子恰好能平分成五份。水手把大堆均分为五小堆；因为只有 4 颗蓝色椰子，至少其中一堆不含蓝色椰子。水手藏起这一堆，取其中 1 颗椰子喂猴子，再把剩下四堆（包含全部 4 颗蓝椰子）重新合并。其余四名水手依次重复完全相同的操作。

次日清晨最后一次分配时，4 颗蓝色椰子单独留在一旁，猴子收回自己的椰子。夜间五次平分五份的操作都能整除，说明水手入睡时，包含蓝椰子的总数量是 5 的五次方 = 3125，或是它的整数倍。满足条件的最小正整数 N 满足 N+4=3125，解得 N=3121。

从代数角度看，还有一个无现实意义的负数解：初始椰子数量为−4。如果允许负数椰子，全部解都可以写成 −4 + 3125k（k 为整数）；最小符合现实的正数解是 −4 + 3125 = 3121。

谜题三解答

人为添加一条边，连接第一棵树的某个顶点与第二棵树的某个顶点。原本两棵树组成的森林，现在变成一棵拥有 10 个顶点的单树，可以套用老师的公式：边数 = 10−1=9。但这 9 条边里包含我们额外添加的那条辅助边，去掉这条边，原本森林的边数就是 9−1=8。

推广可证：n 个顶点、由 t 棵树组成的森林，边数一定等于 n − t。

补充解释：为什么加一条边就能把两片树合并成一棵树？新增的边连接第一棵树 T₁与第二棵树 T₂，不可能形成圈。若存在圈，必须有两条不同的边往返 T₁、T₂，但我们只加了一条边。同时新图整体连通，且无任何圈，因此它是一棵树。

谜题四解答

你需要一枚确定无假的标准真币。原始硬币记为 A、B、C、D，标准真币记为 G。需要区分 8 种可能性：A 轻、A 重、B 轻、B 重、C 轻、C 重、D 轻、D 重。

第一次称量：左侧放 A、B，右侧放 C、G，分三种情况讨论：

1. 1. 天平平衡：假币只能是 D。第二次称量对比 D 与 G，直接分辨 D 偏轻还是偏重。

3. 2. 左侧更重：可疑情况为 A 重、B 重、C 轻。第二次称量对比 A、B：若平衡则 C 轻；不平衡则重的一侧为偏重假币。

5. 3. 右侧更重：可疑情况为 A 轻、B 轻、C 重。第二次称量对比 A、B：若平衡则 C 重；不平衡则轻的一侧为偏轻假币。

三种场景下，两次称量都能锁定假币并判断轻重。

如果没有标准真币，本题无解，证明如下：

情况 1：第一次称量四枚硬币全部上场。天平只有两种不平衡结果，每种结果对应四种可疑硬币，仅靠第二次称量无法区分（单次天平仅有左重、右重、平衡三种结果）。

情况 2：第一次只称两枚硬币，例如 A 对 B。若天平平衡，剩余 C、D 四种轻重可能性，依旧无法用一次称量区分。

谜题五解答

一副完全随机洗牌的牌，所有排列等概率。我们虚构一张百搭鬼牌，随机插入牌堆，再把所有牌围成一个圆环。四张 J 与鬼牌把圆环分割成五段；对称性可知，其余 48 张既不是 J 也不是鬼牌的牌均匀分布在五段中，平均每段包含 48/5 张。

拿走鬼牌，以鬼牌顺时针下一张为起点、逆时针前一张为终点排成直线，每一段平均依旧有 48/5=9.6 张非 J 牌。在这个改造后的牌堆里，抽到第一张 J 平均需要翻 9.6+1=10.6 张牌。

而这套操作本质等价于随机切牌，不需要鬼牌辅助；随机切牌后的牌堆依旧是完全随机洗牌的牌堆。因此原题答案同样为 10.6。

另一种基于期望的线性（linearity）推导

第一张 J 之前的非 J 牌数量，可以拆分为 48 个 0-1 变量之和：黑桃 A 是否出现在首张 J 前、黑桃 K 是否出现在首张 J 前…… 直到梅花 2。期望的线性：总和的期望 = 各项期望之和。

任取一张普通牌（例如黑桃 A），它和四张 J 共五张牌，五张牌中任意一张排在最前的概率均等，均为 1/5。因此这张牌出现在首张 J 之前的期望为 1/5。其余 47 张普通牌同理。

首张 J 前平均非 J 牌总数 = 48 × (1/5) = 9.6，再加上 J 本身，平均发牌数 9.6+1=10.6。

谜题六解答

虚构一张编号 0 的虚拟纸牌，将全部纸牌 0、1、2……N 排成环形，顺时针读取，数字 0 作为牌堆首尾分界标记。

示例：环形序列对应 7 张牌线性顺序 2，5，1，4，3，7，6。环形整体旋转不改变线性牌序，只看 0 到 N 的顺时针循环排布即可。

执行操作 “互换数字 k 上下纸牌”，等价于环形中交换 0 与 k 两点分割出的两段弧；最简等效操作是直接交换数字 0 与数字 k（下面示例 k=1）。

因此一次完整轮换操作流程等价于：交换 0 和 1 → 交换 0 和 2 → 交换 0 和 3 → …… 交换 0 和 N。

追踪每张数字的变换规律：

1 → 0 → 2

2 → 0 → 3

3 → 0 → 4

N−1 → 0 → N

N → 0

整体效果：环形中所有数字整体 + 1，数字 N 加 1 后折返为 0。重复该操作 N+1 次后，所有数字完成一次完整循环，回到初始环形排布，线性纸牌序列恢复原始顺序。

总结

所有题目里，额外添加的辅助元素都如同化学反应里的催化剂，或是经典影视《独行侠》Lone Ranger里的主角：难题解决后便悄然退场。商人骑走骆驼、猴子收回蓝色椰子、辅助边被擦除、标准真币放回口袋、鬼牌从牌堆移除、虚拟纸牌 0 从未真实存在。但少了这个额外元素，就不存在简洁优美的解法。

尾注

1. 1. 这道经典谜题最早文字记载来自 18 世纪伊朗什叶派哲学家穆拉・穆罕默德・马赫迪・纳拉奇，衍生变体极多，可查阅维基百科《十七头骆驼遗产谜题》词条 https://en.wikipedia.org/wiki/17-animal_inheritance_puzzle 。

3. 2. 同类分份问题最早见于公元 850 年左右印度数学家摩诃毗罗（Mahāvīra, circa 850CE）的《数学精华汇编》，书中以水果、花朵等分作为例题。本文版本和美国作家本・埃姆斯・威廉姆斯（ Ben Ames Williams ）1926年短篇《椰子》高度吻合，该小说刊登于1926年10月9 日《星期六晚邮报》 https://www.bosburyhistoryresource.org.uk/Puzzles/Coconuts/Coconuts-by-Ben-Ames-Williams.html 。小说主角沃丁是一名建筑师助理，精通数学。他得知竞争对手马尔可能抢走项目后，故意在对方常去的餐馆埋头演算，假意不情愿地拿出这道椰子谜题，谎称从街头路人处学来。马尔沉迷解题，最终错过竞标截止日期 https://xkcd.com/356/ 。

讽刺的是，成千上万读者和马尔一样深陷其中 —— 作者并未在小说附上答案。两千余名读者写信向报社索要解答，编辑紧急发电报给作者：“看在上帝份上，到底有多少椰子？编辑部已经乱成一团！”

当年 12 岁的马丁・加德纳或许听闻了这场风波。1957 年他在《科学美国人》开设 “数学游戏” 专栏，1958 年刊登这道椰子谜题。三十年专栏生涯中他刊登无数趣味谜题，但他曾告诉儿子吉姆，椰子谜题是自己最喜爱的题目。更多背景可查阅维基百科《猴子与椰子》词条 https://en.wikipedia.org/wiki/The_monkey_and_the_coconuts 。

3. 这是我今年期中试卷的原题。少数学生用了骆驼巧解法；更多学生分拆两棵树分别套用公式：设第一棵树 m 个顶点，第二棵 n 个顶点，总边数 =(m−1)+(n−1)=(m+n)−2=10−2=8。分拆法更直白，但骆驼巧思才是这道题入选本文的原因。

4. 天平称重类谜题文献极多。经典无标准真币版本：12 枚外观相同硬币，一枚假币轻重未知，仅三次称量锁定假币并判断轻重。若只需找出假币、不用判断轻重，最多可扩展至 13 枚硬币。详见维基百科《天平谜题》词条 https://en.wikipedia.org/wiki/Balance_puzzle 。

5. 本题出自彼得・温克勒（Peter Winkler）著作《数学谜题》第八章 https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/puzzlebook/book/book.pdf 。

6. 这道题由我原创，用于 2026 年湾区数学奥林匹克竞赛 https://www.bamo.org/archives/problems_and_solutions ；上述解法由我与赛事组委会共同整理完成。

7. 我选择2026年6月17日前后发布这批题目并非巧合：当日数十名学者齐聚汉普郡学院，纪念数学家大卫・凯利（David Kelly，1940–2025）https://mathenchant.wordpress.com/2025/06/17/remembering-kelly/ 。他是数学社群的重要推动者，纪录片《寻找黄猪》 https://www.huntingyellowpigs.com 中他提到，自己最推崇的教学方式是抛出一道引人深思的难题，然后放手让学生自主思考。纳拉奇谜题里的数字十七，正是凯利最钟爱的数字。

参考资料

https://mathenchant.wordpress.com/2026/06/15/seventeen-camels-and-where-they-can-take-you/

https://mathoverflow.net/questions/271608/17-camels-trick

https://thepalindrome.org/p/the-camel-principle

https://www.census.gov/about/history/historical-censuses-and-surveys/census-programs-surveys/decennial-census/methods.html

https://en.wikipedia.org/wiki/17-animal_inheritance_puzzle

https://www.bosburyhistoryresource.org.uk/Puzzles/Coconuts/Coconuts-by-Ben-Ames-Williams.html

https://en.wikipedia.org/wiki/The_monkey_and_the_coconuts

https://en.wikipedia.org/wiki/Balance_puzzle

https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/puzzlebook/book/book.pdf

https://www.bamo.org/archives/problems_and_solutions

https://mathenchant.wordpress.com/2025/06/17/remembering-kelly/

https://www.huntingyellowpigs.com

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