2026菲尔兹奖热门主题之一：挂谷猜想（Kakeya conjecture） ——MFO奥伯沃尔法赫现代数学简报2026.6.19

★置顶zzllrr小乐公众号，追踪《小乐数学科普》系列报道，参与数学 vs AI投票！

ICM即将召开正式公布 2026年 菲尔兹奖得主，因证明三维挂谷猜想的王虹无疑成为热门人选之一。挂谷猜想主题仍未彻底解决，仍有很多内容有待学者钻研开拓（借用大卫·希尔伯特的一种比喻：会下金蛋 ） 。本文是近期 爱丁堡大学Jonathan Hickman （乔纳森・希克曼） 带来的一篇 挂谷猜想的 科普短文 。剧透一下，王虹今年受邀ICM国际数学家大会演讲主题并非挂谷猜想，而是与之相关的另一主题，受限正交投影：

投影定理研究分形集的豪斯多夫维数，在欧氏空间向其子空间作正交投影时会呈现何种变化规律。本次讲座将概述近年一批相关成果，内容涵盖向受限子空间族实施正交投影的相关结论，以及该领域与调和分析中的限制理论、组合学中的关联几何之间的内在联系。 ——王虹2026年国际数学家大会受邀演讲主题简介

而她的合作者 约书亚・扎尔（ Joshua Zahl，南开大学陈省身数学所教授），将带来主题演讲，三维欧氏空间中的挂谷集猜想：

别西科维奇集是 n 维欧氏空间ℝⁿ内的紧子集，该集合中包含朝向任意方向的单位线段。挂谷集猜想提出：ℝⁿ中的任意别西科维奇集，其闵可夫斯基维数与豪斯多夫维数均等于 n。本次报告将梳理该猜想的研究进展，并介绍三维挂谷集猜想的完整证明。本成果为王虹与本人合作完成。 https://arxiv.org/abs/2512.09397 ——约书亚·扎尔（Joshua Zahl）2026年国际数学家大会受邀演讲主题简介

AI vs Math 投票火热进行中

Your Vote Matters! We Value Your Value!

作者：Jonathan Hickman ¹（乔纳森・希克曼，爱丁堡大学纯数学高级讲师）

MFO奥伯沃尔法赫现代数学简报（No. 8 2026）2026-6-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-25

求喜欢

¹ 受英国研究与创新署青年研究者基金（New Investigator Award） UKRI097 资助，作者感谢莉莲・皮尔斯（Lillian Pierce）对初稿提出的宝贵修改意见。

直线几何是数学的基础分支，也是我们认知现实物理世界的核心途径。距离、角度这类基础概念，以及与之配套的三角学理论，自古便被人们钻研，代代传授给无数学子。然而过去五十年来，一些关于直线的浅显问题，却难住了许多顶尖数学家。其中最著名的一例便是挂谷猜想，它研究的核心问题是：如何把朝向各不相同的线段，紧凑地收纳在极小的空间之内。

一、挂谷最初的问题

挂谷集指这样一种图形：内部可以容纳一条长度为 1、朝向任意方向的直线段。

(a) 面积：π⁄4 (b) 面积：1⁄√3 (c) 面积：π⁄8

图 1：三类挂谷集示例

图 1 展示了三个简单实例：圆盘、等边三角形、三角旋线deltoid（一种曲边三角图形，类似于希腊大写字母Δ：Delta），其中等边三角形（b）最便于理解。想象一根长度为 1 的细针，一端固定在三角形的上顶点；你可以让这根针的一头固定在该顶点，在三角形内部旋转，覆盖 60° 的角度范围。借助图形对称性，对调针头针尾后还能覆盖另外 60°，仅这一个顶点就能覆盖总计 120° 的方向范围。再对另外两个顶点重复这套操作，就能覆盖全部 360° 所有方向。

对比图 1 中三个挂谷集的面积可以发现，三者面积依次递减。事实上，三角旋线的面积仅为圆盘的一半。这说明在三角旋线内部，我们能把线段排布得更加致密。

20 世纪初，日本数学家挂谷宗一（1886–1947）开始研究这类图形，探索将线段收纳进狭小区域的各类构造方式。基于他的研究，一个自然问题应运而生：面积最小的挂谷集，面积能有多小？

二、别西科维奇出人意料的结论

同一时期，分析领域极具影响力的数学家阿布拉姆・别西科维奇（Abram Besicovitch）也在独立研究同类问题。他发明了一套全新、颠覆认知的构造方法，能将线段收纳在面积远小于此前所有实例的图形里。别西科维奇证明：存在面积可以任意小的挂谷集。

也就是说，只要你指定一个极小的数值，比如小于 1⁄100，别西科维奇的方法就能构造出满足要求的挂谷集；哪怕你要求面积小于一万亿分之一，这套构造依然可行。无论你选定多小的正数，都能造出面积比它更小的挂谷集。

这背后的原理该如何理解？怎样才能把海量线段塞进极小的区域？²

² 此处仅简述别西科维奇证明的简化思路，完整问题发展史与严谨构造步骤可参阅文献 [1] 第七章。

我们先回到等边三角形的例子，将其记作△。图 2 展示一套 “切割平移” 操作，以此得到新图形：

(a) 沿过顶点的竖直线，把△切分为两个子三角形△₁、△₂；

(b) 将△₁与△₂向相反方向水平平移，使二者重叠。

图 2：切割平移操作

关键结论：经过切割平移后，原顶点能扫出的所有线段一条都不会丢失；同时平移后的子三角形互相重叠，新图形的总面积小于原三角形。单次操作效果有限，但如果反复迭代这套切割平移流程，就能不断压缩面积，最终得到任意小面积的挂谷集。

我们不再只把三角形切成两份，而是像图 3 一样分割成大量子三角形。

(a) 将三角形切分为大量子三角形

(b) 水平平移、两两配对重叠

(c) 对子图形再次两两合并……

(d) 最终图形 K

(e) 取三份旋转后的 K，拼接得到完整挂谷集

图 3：极小面积挂谷集的构造方法

先将各子三角形水平平移、两两配对重叠；再把配对后的图形再次两两合并，不断重复嵌套合并。大量重叠会极大压缩整体面积，最终得到图形 K，其面积远小于原始三角形。只要切分的子三角形数量足够多、平移量精准控制，就能让 K 的面积达到任意预设的极小值。和之前一致，图形 K 包含原三角形顶点扫出的全部线段，对应 120° 范围内所有方向。再取三份旋转后的 K 拼接，就能得到完整覆盖全部方向的标准挂谷集（见图 3）。³

³ 三份拼接会使总面积扩大三倍，但我们只需把单份 K 的面积控制为目标值的 1⁄3，即可抵消该增量。

上述流程完整说明了如何构造面积小于任意指定值的挂谷集。更进一步，别西科维奇利用这套思路证明：存在面积为零的挂谷集。

三、挂谷集为何具备重要价值？

别西科维奇的构造精巧惊艳，但在刚问世时，面积为零的挂谷集仅仅被视作新奇的数学趣例。别西科维奇曾用这套构造解决了一个积分相关问题，除此之外，当时人们并未发现它有更多应用。

数学理论常有奇妙的特性：看似无关的全新领域中，旧想法会再度登场。曾经仅作趣味研究的结论，日后可能成为支撑整个学科的核心工具，挂谷集就是最典型的例子。在别西科维奇的成果问世五十年后，一系列突破性发现让数学家意识到它的真正意义，其核心应用集中在傅里叶分析领域。

傅里叶分析是数学的重要分支，乍看之下和前文的几何问题毫无关联，它的核心工具是傅里叶变换。傅里叶变换可以将任意输入函数（例如声音这类信号）拆解为一组固定频率的标准正弦、余弦波。如果把乐谱比作音乐的分解，傅里叶变换就是函数的 “数学乐谱”：乐谱记录组成和弦的每一个音符，傅里叶变换记录构成函数的每一列基础波的频率。

傅里叶分析支撑着数学、物理、工程的海量研究方向。大量物理过程借助傅里叶变换拆解为基础频率后，理解难度会大幅降低；纯数学领域同样如此，数论中许多知名难题（如三元哥德巴赫猜想 [3]）都依靠傅里叶变换完成证明。

本文重点讨论二维傅里叶分析，其基础单元是平面波 —— 可以理解为铺满整个平面的理想波纹，每一组平面波都拥有固定振幅、频率与传播方向。假设我们要做傅里叶变换的函数，描述一片起伏汹涌的海面：比如港口内海浪撞击岸壁，朝四面八方扩散。傅里叶变换能将杂乱的海面拆解为一组组方向、振幅、频率固定的平面波，通过这种分解，复杂的波动现象可以简化为基础波形的叠加。

1970年代初，查尔斯・费弗曼（Charles Fefferman）研究傅里叶分析中的（低通）滤波器。滤波器会剔除函数中的高频分量，只保留平滑的低频部分，在信号处理领域应用广泛。举个通俗例子：一段音质粗糙、布满杂音的录音，杂音大多由高频信号构成，经过低通滤波后杂音会被清除，音质得到提升。

费弗曼当时重点研究二维空间中滤波器的行为，这一问题在当时尚未得到充分研究。一维情形下，滤波后的函数会变得更平滑、性质更优良，人们自然推测二维也会满足同样规律。但费弗曼得出了惊人结论：二维中该结论并不恒成立。存在一类函数，滤波前在空间中均匀分散；经过滤波后，函数值会集中形成一个极高的尖峰 [2]。

费弗曼的构造思路：将函数定义在挂谷集外侧的若干互不相交矩形上，因此原始函数分布均匀；施加滤波后，每个矩形都会等效 “放大一倍”，而挂谷集特有的几何结构会让放大后的矩形全部重叠，最终形成数值极高的尖峰（见图 4）。

(a) 滤波前：函数均匀分布在蓝色矩形区域

(b) 滤波后：矩形等效放大、相互重叠，输出函数出现极高尖峰

图 4：费弗曼构造的反例

费弗曼的研究证明，挂谷集的几何结构是二维及更高维傅里叶分析的核心底层要素。傅里叶分析又是绝大多数物理过程研究的基础，由此可见挂谷集与描述自然规律的核心方程深度关联：包括刻画水波、声波、地震波的波动方程，以及量子力学中著名的薛定谔方程 [6, 8]。曾经只是小众趣例的挂谷集，一跃成为纯数学领域最重要的研究对象之一。关于傅里叶分析与挂谷集的深层联系，读者可参阅文献 [9]。

四、挂谷猜想

当数学家意识到挂谷集对各类数学问题的核心作用后，人们开始深入研究它的几何性质。除前文讨论的平面挂谷集外，三维空间中的立体挂谷集也受到越来越多关注。挂谷集的定义可以自然推广到立体图形，但三维情形复杂得多 —— 空间中线段的朝向有无穷多种，远多于平面。

前文提到，别西科维奇证明平面内存在面积为零的挂谷集；借助他的思路，不难证明三维空间中也存在体积为零的立体挂谷集。但即便体积为零，挂谷集在某种维度意义上依然 “体量充足”、能填满空间。这一论断的严格数学表述，就是三维挂谷猜想。

为理解挂谷猜想，我们先回到二维平面，厘清 “面积” 的量化逻辑。图 5 展示了图形面积的近似计算方法：

图 5：取定 δ 后，蓝色图形 S 的近似面积为 N(S,δ) × δ² = 44 × δ²

取极小正数 δ>0，用边长为 δ 的方格铺满平面，统计与图形 S 相交的方格总数，记作N(S,δ)。以图中情形为例，小方格总数N(S,δ)=44，每个小方格面积δ²。面积近似公式写作：

面积 (S) ≈ N(S,δ) × δ²

当 δ 不断缩小、方格划分越来越精细时，近似值会无限接近真实面积。用极限语言描述：

N(S,δ) × δ² → 面积(S) （δ→0）

别西科维奇的构造说明，存在挂谷集 K 满足：

N(K,δ) × δ² → 0 （δ→0）

这正是 “图形面积为零” 的数学定义。

通过观察不同 δ 下 N(S,δ)×δ² 趋近于 0 的速度，我们可以区分图形的 “尺度大小”，举两个典型例子：

1. （例1）单点：
   

若 S 仅含一个点，只会和一个方格相交，即 N(S,δ)=1，近似面积为

1. N(K,δ) × δ² = δ²

2. δ 不断缩小时，δ² 会快速趋近于 0。我们可以认为近似面积非常快地缩小至 0。

4. （例2）直线或曲线：

若 S 是长度为 1 的直线段或曲线，单个方格最多容纳长度约 δ 的曲线段 ⁴ ，覆盖整条曲线大约需要 1⁄δ 个方格，即

N (S,δ) ≈ 1⁄δ

因此，近似面积为

N (S,δ) × δ² ≈ δ

该值同样趋于 0，但衰减速度远慢于单点情况（例1）。

⁴ 若方格内曲线弯折程度极大，单一方格能容纳更长的曲线段；但精确长度不影响本文核心结论，只需近似长度为 δ 即可。

（例1）单点、（例2）直线段或曲线的面积均为 0，但二者近似面积N(S,δ)×δ² 归零的速率不同，这个速率恰好对应图形的豪斯多夫维数：（例1）单点是 0 维，归零速度极快；（例2）线段、曲线是 1 维，归零速度更缓慢。进一步延伸：平面内可以存在 2 维图形，面积却为 0。这就说明

N(K,δ)×δ²

趋近于 0 的速度会极其缓慢。

平面挂谷猜想

平面内任意挂谷集 K，豪斯多夫维数恒等于 2。通俗解释：它的近似面积 N(K,δ)×δ² 归零的速度极慢。也就是说，即便挂谷集面积能做到任意小，它在维度层面依然充分铺满平面。

三维挂谷猜想

类似于二维空间，三维空间中我们改用边长 δ 的立方体网格，统计与立体 S 相交的立方体数量 N(S,δ)，近似体积写作 N(S,δ)×δ³。三维挂谷猜想表述为：

三维空间内任意挂谷集 K，豪斯多夫维数恒等于 3。

和平面情形同理，它的近似体积归零速度会极其缓慢。

平面挂谷猜想难度较低，1970 年代就诞生了多种证明，全部证实平面挂谷集维数必为 2，相关证明可参考文献 [5]、[8]。但三维情形难度陡增，空间中无穷多方向大幅提升了构造与证明的复杂度。

判定三维挂谷猜想是否成立，是现代数学最重要的核心难题之一。若猜想不成立，意味着存在维度极低的三维挂谷集；利用这类集合可以构造出滤波性质极差的函数，其病态程度远超费弗曼当年给出的二维反例。这会直接推翻傅里叶分析及相关领域大量核心猜想。因此，诸多前沿数学问题的解答，都建立在三维挂谷猜想真伪的判定之上。

五、里程碑式重大突破

过去五十年来，无数数学家投身三维及更高维挂谷猜想的研究，同时挖掘出该问题与算术、代数等其他数学分支的深层关联 [4，8]。但完整证明始终遥不可及，挂谷猜想也成了业内公认、几乎无法攻克的标志性难题。

这一局面在2025年2月迎来转折：王虹与约书亚・扎尔（Joshua Zahl）公布了三维挂谷猜想的完整证明 [7]。这份里程碑式的证明长达数百页，由多篇论文组成。证明融合了过去三十年间众多数学家的研究成果，同时包含大量原创的深刻新思路，彻底革新了人们对该问题的认知。王虹与扎尔的这项工作，是现代数学史上意义重大的成果。

目前全球数学家都在全力研读、消化二人证明中提出的全新工具与思想。这套理论大概率会推动直线几何、傅里叶分析及其他相关领域的一系列重大突破，挂谷猜想的研究也将开启全新篇章，前景令人期待！

图源文中所有插图均由作者绘制
原文参考文献

[1] K. J. 法尔科纳，《分形集几何》，剑桥数学丛书第 85 卷，剑桥大学出版社，1986

[2] C. 费弗曼，球体乘子问题，《数学年刊》第二辑 94 (1971)，330–336

[3] H. 赫尔夫戈特，三元哥德巴赫猜想，奥伯沃尔法赫现代数学简报，2014 年第 03 期

[4] N. 卡茨、陶哲轩，挂谷猜想近期进展，第 6 次调和分析与偏微分方程国际会议论文集，2002，161–179

[5] P. 马蒂拉，傅里叶分析与豪斯多夫维数，剑桥高等数学研究第 150 卷，2015

[6] 陶哲轩，从旋转细针到波动稳定性：组合、分析与偏微分方程的交叉联系，《美国数学会通告》48 (2001) 第 3 期，294–303

[7] 王虹、J. 扎尔，凸集并集的体积估计与三维空间挂谷集猜想，预印本 arXiv:2502.17655

[8] T. 沃尔夫，挂谷问题相关前沿研究，《数学展望》，美国数学会，1999，129–162

[9] J. 扎尔，旋转细针、振动弦与傅里叶求和，奥伯沃尔法赫现代数学简报，2020 年第 06 期

[1] K.J. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Mathe matics, vol. 85, Cambridge University Press, 1986.

[2] C. Fefferman, The multiplier problem for the ball, Annals of Mathematics Annals of Mathematics. Second Series 94 (1971), 330–336.

[3] H. Helfgott, The ternary Goldbach problem, Snapshots of modern math ematics from Oberwolfach, no. 03 (2014), https://doi.org/10.14760/ SNAP-2014-003-EN .

[4] N. Katz and T. Tao, Recent progress on the Kakeya conjecture, Proceedings of the 6th International Conference on Harmonic Analysis and Partial Differential Equations (El Escorial, 2000), 2002, pp. 161–179.

[5] P. Mattila, Fourier analysis and Hausdorff dimension, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 150, Cambridge University Press, 2015.

[6] T. Tao, From rotating needles to stability of waves: emerging connections between combinatorics, analysis, and PDE, Notices of the American Mathe matical Society 48 (2001), no. 3, 294–303.

[7] H. Wang and J. Zahl, Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions, Preprint: arXiv:2502.17655.

[8] T. Wolff, Recent work connected with the Kakeya problem, Prospects in mathematics (Princeton, NJ, 1996), American Mathematical Society, 1999, pp. 129–162.

[9] J. Zahl, Rotating needles, vibrating strings, and fourier summation, Snap shots of modern mathematics from Oberwolfach, no. 06 (2020), https: //doi.org/10.14760/SNAP-2020-006-EN .

作者简介：乔纳森・希克曼，爱丁堡大学纯数学高级讲师

数学分类：分析学 交叉关联领域：物理学 版权协议：知识共享署名 - 相同方式共享 4.0 国际许可协议 数字对象标识符DOI：10.14760/SNAP-2026-008-EN
奥伯沃尔法赫现代数学简报介绍

本系列简报面向全球大众，通俗解读前沿数学研究，撰稿人均为奥伯沃尔法赫数学研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach ，MFO）学术项目参与者。简报项目由奥伯沃尔法赫数学研究所联合 IMAGINARY 开放数学平台共同推出，全部文稿可在官网查阅：www.imaginary.org/snapshots 与 www.mfo.de/snapshots 。

ISSN国际标准连续出版物号：2626-1995

编辑部

青年编辑：巴尔卡特・巴约（Barkat Bhayo）

资深编辑：安雅・兰德克（Anja Randecker）

机构信息

奥伯沃尔法赫数学研究所有限责任公司

德国黑森林大街 9–11 号，邮编 77709

所长：格哈德・许森（Gerhard Huisken）

参考资料

https://publications.mfo.de/handle/mfo/4426

https://arxiv.org/abs/2512.09397

小乐数学科普近期文章

小乐数学科普历年合集

版权声明：本文首发于微信公众号“zzllrr小乐”的专栏《小乐数学科普》。欢迎个人转发。如需转载，请在“zzllrr小乐”公众号后台回复“转载”，还可通过公众号菜单、发送邮件到zzllrr@gmail.com与我们取得联系。相关图文音视频内容默认遵守CC BY-NC 4.0知识共享协议，未获作者和译者授权，禁止用于营销宣传和商业目的。

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及

欢迎评论、点赞、在看、在听

收藏、分享、转载、投稿

查看原始文章出处

点击底部一起捐

助力腾讯公益

点击zzllrr小乐

公众号主页

右上角

置顶★加星

数学科普不迷路！