湖北
【解题研究】知其所以然——海淀区一模选择压轴题
当学生在遇到题目中包含有平面直角坐标系、二次函数时，有一种思维惯势，将条件中的点、线解析化，利用解析几何的思想来求解，但限于初中数学范围，有些点、线并不容易利用解析式来表示，因此退而求其次，打算利用几何直观来“猜”，好在现在命题时给出的图形比较标准，只要有足够的作图基本功，这也并非不可取。
但我们在研究这一类压轴题的时候，课堂上不能仅仅靠演示来告知学生结果是什么，更要分析为什么会是这个结果，知其然更要知其所以然。
题目
解析：
01
①圆心C到点A的距离即为半径，由两点间距离公式可以求出AC=√5，当MN⊥x轴时，如下图：
当MN与y轴重合时取最大值，其中CN为半径，CM=1，所以MN=√5+1，①正确；
02
②由于AB∥x轴，所以△ABQ的面积始终等于△ABO的面积，如下图：
由于点M在第一象限，所以观察出四边形ABMO的面积大于△ABO的面积，即四边形ABMO的面积大于△ABQ的面积，②错误；
03
③作为本题难点，理解等边△AMN的结构至关重要，顶点A是定点，而另两个顶点分别在弧AB和抛物线上，有学生尝试将点M表示成(t,1/2t²)，再用含t的代数式表示点N坐标，企图用AM=AN来列方程，先不提如何将∠MAN=60°解析化，仅就这个方程，基本无解；哪怕反过来将点N用参数表示也一样。
不妨从等边三角形的概念入手，我们知道△AMN三边相等，三个角均为60°，这是表象，继续深入，可知等边三角形的任意两边都可以绕其中一个顶点旋转60°得到，例如AN绕点A顺时针旋转60°，可得边AM，我们在很多几何题中用到的旋转变换基本模型，就是这个原理。但在本题中，如何利用好这一理解呢？
请注意图中还有一个定点C，则AC也是定线段，当AN绕点A旋转之后，点C依照同样的旋转会在何处，如下图：
将点C绕点A顺时针旋转60°得到点C'，同样将点N绕点A顺时针旋转60°得到点N'，于是△ACN≌△AC'N'，我们并不需要去求点C‘坐标，只需要知道它是个定点，而C'N'=CN=√5+1，说明C'N'是定长，我们得到了到定点C'的距离始终等于定长的点N'，由圆的定义可知，点N'一定在以C'为圆心，√5+1为半径 的圆上，只要这个圆与抛物线有交点，则这个交点即为点M，如下图：
通过观察发现圆C'与抛物线一定存在交点M，即存在等边△AMN，③正确；
04
④以D(0,3/2)为中点的线段MN，我们需要换种理解方式，以点D为圆心的圆，任意一条直径中点均为点D，这就给我们寻找M、N位置提供了方便，如下图：
分别以DO和DA为半径作圆，小圆与弧AB没有公共点，意味着找不到对应的N点；大圆与抛物线和弧AB均没有公共点，即找不到对应的M点和N点，
而半径位于这二者之间的圆，虽然它分别与弧AB有交点，与抛物线也有交点，但显然这些点并不是直径的两个端点，如下图：
所以满足条件的线段MN不存在，④错误.
解题思考
在解题过程中，利用了几何直观，但前提是能够将图形准确地画出来，而且画出所需要的图形方便判断，这就极考验学生对几何概念的理解程度。例如等边三角形的概念，小学就已经学过，知道三条边相等，三个角均为60°，如果经过初中三年的学习，学生对这个概念的理解仍然停留在小学阶段，是失败的，当我们学习了更多几何概念之后，这些概念之间会存在新的关联，用旋转变换去理解等边三角形即为其中之一，当然还有更多的关联，需要在平时的教学中帮助学生融合。
又例如线段中点的概念，这也是自小学就知道的，当我们学习了直径之后，对于直径的中点是圆心往往一带而过，所以在给定中点寻找相应的线段时，不容易联想到圆，这是个称手的工具。
我们在复习阶段梳理知识的时候，有一项任务就是帮助学生建立知识网络，这个网络的核心就是我们平时经常接触到的“强关联”，而像本题这样的边缘网络属于“弱关联”，能否将这张网建构起来，需要平时就养成多思考的习惯，不能被定势思维约束，只有思维是开放的，这张网才足够广。
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