《人类科学技术史-281》非欧几何学的发现与几何学的发展

非欧几何学的发现与几何学的发展

在这一历史时期，数学中最为引人注目的工作之一应当说是非欧几里得几何学(简称非欧几何学）的创立，欧几里得(约公元前330年——公元前275年，古希腊人）在他的《几何原本》中以所谓的公设和公理的形式给出了几何学的一些基本前提，其中平行公理(在《几何原本》中称之为第五公设，在《几何原本》的另外一些版本中称之为第十一公理）现在通常是这样叙述的："通过不在已知直线上的一个点，不能引多于一条的直线，平行于已知直线"。由于欧几里得平行公理的陈述不够自明，又更像一条定理，因而引起人们的极大关注，所以数学家试图用更为自明的命题代替它，或试图从欧几里得的其它公设与公理中将其推导出来。从希腊时代起，将欧几里得平行公理作为定理从其它的公设与公理推导出来的尝试，使数学家忙碌了两千多年，提出过了这样或那样的证明。但是最终发觉在每一证明中或早或迟都使用了等价于欧几里得平行公理的一条命题。换句话说，所有的这种证明都无法逃脱循环论证的错误。

尽管如此，然而在一些研究工作中还是蕴涵了积极的思想，在这里首先应当提到的是萨开里(1667-1733，意大利）的研究工作。萨开里于1733年出版了一部书名为《排除任何谬误的欧几里得》的著作。在这部著作中萨开里考虑一个四边形ABCD，其中∠A＝∠B，它们都是直角，并且AD＝BC。容易证明：∠C＝∠D。此二角的大小只有三种可能，即为钝角、直角与锐角，萨开里称它们分别为钝角假设、直角假设与锐角假设。由于欧几里得平行公理等价于直角假设，因此萨开里考察了另外两种可能的选择。在钝角假设的基础上，应用欧几里得的其它公理，萨开里很容易地推导出矛盾。在锐角假设下，萨开里证明了一系列有趣的结果，得到了现今非欧几里得几何学中许多经典定理。最后，在讨论已知直线与过这直线外一点的直线族的位置关系时，萨开里推导出两条渐近直线在无穷远必有一条公垂线。他虽然没有得到任何矛盾，但却断言这一结论与通常观念显然不合情理，于是判定锐角假设不真实。所以，萨开里坚信欧几里得平行公理可以证明，并且自认为完成了欧几里得平行公理的证明。在萨开里那里，虽然直观的合理性和逻辑的必然性被混为一谈，但是他所开创的方法毕竟开辟了一条通向非欧几里得几何学的途径。

后来，兰伯特(1728-1777，德国）于1766年完成了题为《平行线论》的研究报告(1786年出版），他沿用萨开里的方法，从考察一个有三个角都是直角的四边形出发，讨论第四个角是锐角、直角或钝角的可能性，并且相应地作出三种假设。兰伯特否定了钝角假设，但是在锐角假设下得不出矛盾时，他对欧几里得平行公理的可证明性提出了怀疑。兰伯特认识到任何一组几何假设，如果不导致矛盾，则一定可以提供一种可能的几何学。兰伯特的思想是先进的，这是认识上的一个突破，没有这种认识上的突破，非欧几里得几何学就不可能被发现。直到19世纪开始时，虽然欧几里得平行公理的证明问题还是没有解决，但是在兰伯特之后关于欧几里得平行公理的不可证明的思想在许多数学家的思想中萌发出来了。诚然，坚持兰伯特的思想，沿用萨开里开创的方法，必将导致非欧几里得几何学的发现。

非欧几里得几何学的发现应归功于高斯(1777-1855，德国）、罗巴切夫斯基(1793-1856，俄国）和波尔约(1802-1860，匈牙利）三位数学家。

罗巴切夫斯基大约在1815年开始研究欧几里得平行公理问题。最初，罗巴切夫斯基与许多数学家一样相信欧几里得平行公理是可以证明的。在1823-1826年期间，罗巴切夫斯基曾试图用与萨开里相同的方法证明欧几里得平行公理。后来，罗巴切夫斯基果断地放弃了这种想法，他清楚地认识到在不同的公理基础上可以建立不同的几何体系，附加欧几里得平行公理是建立欧几里得几何学所必需的，以及由欧几里得平行公理的否定命题出发而得到的结果将代表一种新的几何学。1826年2月23日罗巴切夫斯基在喀山大学的一次学术报告会上以《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》为题宣读了他的关于非欧几何学的论文，第一次公开了导致几何学革命的新思想。但是，这篇论文中所阐述的思想没有被人们理解。1829年罗巴切夫斯基把这一伟大发现写进了《论几何学基础》的论文发表在《喀山通报》上，这是关于非欧几里得几何学的最早发表的文献。

罗巴切夫斯基将欧几里得平行公理改为它的否定命题，同时保留其它公理不变，在这一基础上建立了一个新的几何体系。罗巴切夫斯基称之为虚几何学，后人称之为罗巴切夫斯基几何学，或简称为罗氏几何学，也称之为双曲几何学。当然，在这一新的几何学中不少结果将不可避免地与萨开里等人的工作一致。根据罗巴切夫斯基几何理论，给出一条直线l与这条直线l外的一点C，则通过C点的所有直线关于直线l将被分成两类，一类直线与l相交，另一类直线不与l相交，构成两类直线之间的边界直线p与q属于后一类，称为平行线。换言之，若记C点到直线l的垂直距离CD为a，则存在一个角π(a)，称之为线段CD的平行角，使得所有过C点与CD所成的角小于π(a)的直线将与直线l相交，过C点的其它直线将不与直线l相交。在罗巴切夫斯基几何学中，除平行线外，过C点而不与直线l相交的直线称为分散线，或超平行线。但是在欧几里得意义下这些直线与直线l平行，所以从这意义说，在罗巴切夫斯基几何学中过C点有无穷多条直线平行于直线l。

与罗巴切斯基同时，波尔约也独立发现了非欧几里得几何学，他把研究结果写成题为《绝对空间的科学》的论文，附录于他父亲的一部讨论数学基础的著作之后，在1832年出版。

高斯约在1816年期间就获得非欧几里得几何学的基本思想，他已认识到欧几里得平行公理不能在欧几里得几何学的其它公理、公设的基础上证明，并且得到了在逻辑上相容的一种非欧几里得几何学，在其中欧几里得平行公理不成立。然而高斯始终没有把这些研究结果发表出来，在一封信中他解释说，是因为害怕这一思想不能被人们理解。

诚然，作为非欧几里得几何学发现的直接结果是欧几里得平行公理的问题被最终解决，即欧几里得平行公理被证明是独立于欧几里得几何学的其它假设。两千多年来，欧几里得几何空间一直被认为是反映现实世界的唯一正确的几何空间，但是非欧几里得几何学的发现使得这种根深蒂固的观念动摇了，从而为后世创造不同的几何体系开辟了道路。

非欧几里得几何学的创立在数学中导入了富有革命性的思想，但是由于它背叛了传统观念，因此在它创立之初并未引起人们的重视。1866年贝尔特拉米(1835-1899，意大利）发表了《论非欧几何的解释》的论文，给出了罗巴切夫斯基几何学的第一个模型——伪球面模型，从而罗氏几何学在数学上得到了确认。

1854年，黎曼(1826-1866，德国）作了题为"关于几何学基础的假设"的讲演，提出了一种更为广泛的几何学，后来被称为黎曼几何学。黎曼推广了高斯曲率概念，提出以非欧几里得的黎曼空间的曲率概念作为欧几里得空间以及各种非欧几里得空间之间差异的量度。在一般的黎曼空间中，空间中每一点的曲率是不同的，所以黎曼空间的本质是不均匀的。在特殊情况下，黎曼空间可以具有常曲率。常曲率空间有三种类型，①零曲率空间，即欧几里得空间；②负曲率空间，即罗巴切夫斯基空间；③正曲率空间，即狭义的黎曼空间，或椭圆几何空间。于是欧几里得几何学与罗巴切夫斯基几何学都成为一般的黎曼几何学的特例。黎曼的讲演于1868年刊行出版，黎曼的研究工作是几何学发展上的一次突破，从而使人们逐渐认清了非欧几里得几何学发现的革命意义。后来，由于凯莱(1821-1895，英国）与克莱因(1849-1925，德国）等成功地将各种度量几何学归入射影几何学，以及代数学中新概念的确立，从而导致在19世纪70年代实现了几何学的一次大综合，即用群论的观点来刻划各种几何学的特征。

1872年，克莱因在德国埃尔朗根大学的教授职位就职时作了题为《近代几何学研究的比较评述》的讲演，克莱因在演讲中阐述的基本观点是，每一种几何学都是由变换群所刻划，并且各种几何学所要做的实际上就是在这个变换群下讨论其不变量。在这次讲演中克莱因论述了变换群在几何学中的重要作用，从变换群的观点对各种几何学进行了分类，将各种几何学看作为某种变换群的不变量理论，以群论为基础统一几何学。根据克莱因的观点，各种几何学都化为统一的形式。克莱因在这次演讲中所表述的处理、研究几何学的观点和方法，后来以"埃尔朗根纲领"之称闻名于世，它对于几何学与物理学的发展产生了重大的影响。