放弃无穷，我们能收获什么？——译自量子杂志Quanta Magazine

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超有限主义（ultrafinitism） —— 一种拒斥无穷的哲学，长期以来被斥为数学异端。但它也正在数学及其他领域带来全新洞见。

图源：Kristina Armitage | Quanta Magazine

作者：Gregory Barber（量子杂志特约撰稿人）2026-4-29

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-2

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多隆・泽尔贝格（Doron Zeilberger）是一位坚信万物皆有尽头的数学家。他认为，正如我们是有限的存在，大自然同样存在边界 —— 数字也不例外。望向窗外，当别人眼中的现实是连续延展、一刻不停向前流淌时，泽尔贝格看到的宇宙却是一格一格跳动的。它是一台离散的机器。在周遭世界看似连续的运动中，他捕捉到了翻页书般细微的模糊感。

对泽尔贝格而言，相信无穷就像相信上帝。这是个诱人的想法，迎合我们的直觉，也帮我们理解各类现象。但问题在于，我们无法真正观测到无穷，因此也无法真正言说它究竟是什么。方程定义的直线延伸出黑板，可究竟伸向何方？证明里满是引人遐想的省略号。在这位罗格斯大学资深教授、组合数学领域知名学者看来，这些方程与证明既 “极其丑陋”，又虚假。他用沙哑、仿佛因反复阐述观点而疲惫的嗓音一字一顿地说，这 “完全是无稽之谈”。

他主张，从实用角度出发，无穷完全可以被剔除。“你其实根本不需要它。” 比如，数学家完全可以构建一套不依赖无穷的微积分，把无穷小极限彻底排除在外。曲线看似光滑，实则藏着精细的粗糙感；计算机只用有限位数就能把数学运算处理得很好。（泽尔贝格把自己的电脑命名为 “沙洛什・B・埃哈德”——Shalosh B. Ekhad，并列为论文合作者。）他说，剔除无穷后，唯一丢掉的只是那些 “根本不值得做” 的数学。

大多数数学家的看法恰恰相反 —— 认为是泽尔贝格在胡说八道。不仅因为无穷对描述宇宙如此有用、如此自然，更因为把数集（比如整数）当作真实的无穷对象，是数学的核心所在，根植于其最基本的规则与预设。

退一步说，即便数学家不愿把无穷当作真实实体，也承认数列、形状等数学对象拥有无限增长的潜能。两条平行线理论上可以永远延伸；数轴上总能再添一个数。

多隆・泽尔贝格（Doron Zeilberger）或许是主张将无穷彻底逐出数学领域最直言不讳的支持者。他表示：“无穷或许存在，或许不存在；上帝或许存在，或许不存在。但在数学当中，无穷和上帝都不该有立足之地。”

图源：多隆・泽尔贝格（Doron Zeilberger）

泽尔贝格对此不以为然。在他看来，重要的不是理论上是否可能，而是现实中是否可行。这意味着，不仅无穷可疑，极大数同样可疑。以斯克维斯数（Skewes number） e^e^e^79 为例：这是一个异常庞大的数，从未有人能把它完整写成十进制形式。那么我们对它究竟能说些什么？它是整数吗？是素数吗？我们能在自然界中找到这样的数吗？我们能把它写出来吗？或许，它根本就不算一个数。

这自然引出一个问题：终点究竟在哪里？泽尔贝格答不上来，没人能答上来。这也是很多人否定他这套被称为超有限主义哲学的首要原因。哥伦比亚大学哲学家贾斯汀・克拉克 - 多恩（Justin Clarke-Doane）说：“第一次听人提超有限主义，会觉得像江湖骗术 —— 比如‘我认为存在最大的数’之类。”

“很多数学家觉得整个提议荒谬至极，” 圣母大学集合论学家乔尔・大卫・哈姆金斯（Joel David Hamkins）说。超有限主义在数学学会晚宴上登不上台面。研究它的人寥寥无几（或许可以说是 “超有限个”），像泽尔贝格这样公开宣扬观点的铁杆支持者更是少之又少。这不仅因为超有限主义离经叛道，更因为它倡导的数学本质上更小，某些重要问题将不再能被提出。

但这仍让哈姆金斯等人陷入深思。从某个角度看，超有限主义可被视为更贴近现实的数学。它更贴合人类创造与验证的能力边界，甚至可能更贴合物理宇宙。我们倾向于认为时空无限延展、无限可分，但超有限主义者会指出，这些预设正不断被科学质疑 —— 用泽尔贝格的话说，就像科学曾对上帝的存在提出质疑一样。

“我们所描述的世界必须彻头彻尾地诚实，” 克拉克 - 多恩说。他在2025年4月组织了一场罕见的专家会议，探讨超有限主义思想。“如果世间万物可能只有有限个，那我们最好也用一套从一开始就不预设无穷存在的数学。” 在他看来，“这无疑应该成为数学哲学菜单上的一个选项。”

贾斯汀・克拉克 - 多恩（Justin Clarke-Doane）近期组织了一场会议，让超有限主义者可以围绕自身观点展开交流与辩论。他认为，超有限主义 “理应成为数学哲学领域的主流研究选项之一”。

图源：Jennifer McDonald

不过，要让数学家认真对待，超有限主义者首先得明确自己在讨论什么 —— 把哈姆金斯所说的那些听起来像 “虚张声势” 的论证，变成一套正式理论。数学浸淫在形式系统与通用框架之中，而超有限主义至今仍缺乏这样的结构。

零敲碎打解决问题是一回事，重写数学的逻辑基础则完全是另一回事。“我认为超有限主义被否定，并非因为人们有充分的反驳理由，” 克拉克 - 多恩说，“大家的感觉是：唉，这事儿没希望。”

这正是部分超有限主义者仍在试图解决的问题。

与此同时，泽尔贝格甘愿放弃数学理想，拥抱一种本质上充满混乱的数学 —— 就像现实世界一样。他更少钻研基础理论，更多发表个人观点，个人网站上列出了 195 条主张 https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/OPINIONS.html 。“不做这些疯疯癫癫的研究，我就当不了终身教授。” 他说。但他补充道，总有一天，数学家会回头发现，这位 “疯子” 和那些曾经质疑神明与迷信的先驱一样，是正确的。“幸好，异端不再被绑在火刑柱上烧死了。”

异端数学

亚里士多德将无穷视为只能趋近、无法抵达的东西。他写道：“分割过程永无止境这一事实，确保了这种活动潜在存在，但无穷并非独立存在。” 数千年来，这种潜无穷观念占据主导地位。

但19世纪末，格奥尔格・康托尔（Georg Cantor）等数学家证明，无穷确实可以存在。康托尔的方法是把一列数（比如整数）当作完整的无穷集合。这套方法后来成为数学基础理论策梅洛 - 弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）集合论的核心，至今仍被数学家沿用。他证明，无穷是真实对象；而且无穷可以有不同大小（参阅小乐数学科普：）；通过操作与比较这些不同的无穷，数学家能证明一些表面与无穷毫无关系的惊人结论。哈姆金斯说，如今几乎每位数学家都是实无穷论者，无穷是默认预设。

但现代数学的这一基础自提出起就引发激烈争论。原因之一是，接受无穷这一核心预设会催生怪异悖论：比如，有可能把一个球切成五块，再用它们拼出五个新球，每个体积都与原球相等（参阅：）。

另一种反对意见更偏哲学。康托尔的理论问世后几十年里，部分数学家主张：不能直接断言数学结构存在 —— 必须通过心智构造过程证明其存在。在这种直觉主义哲学中，圆周率与其说是拥有无限不循环小数展开的数，不如说是代表生成数位算法过程的符号。

倘若世间万物或许仅有有限之多，那我们理应选用一套不会从一开始就默认存在无限事物的数学体系。 ——贾斯汀・克拉克 - 多恩（Justin Clarke-Doane）哥伦比亚大学

但直觉主义只要求理论上可进行心智构造：它禁止实无穷，但允许潜无穷。一些数学家仍不满足，他们对斯克维斯数这类大到无法写下的数值感到不安，于是试图把直觉主义推向极端。

牛津大学哲学家奥夫拉・马吉多（Ofra Magidor）说：“按这种观点，存在的数必须是我们现实中能构造的数，而非仅仅理论上能构造。”

1960—70年代，苏联数学家、诗人亚历山大・叶赛宁 - 沃尔平（Alexander Esenin-Volpin）的工作，让一种重视现实约束的新版直觉主义逐渐成型。

叶赛宁 - 沃尔平首先是一名政治异见人士。因领导抗议、传播反苏言论与诗歌，他多次被关进精神病院。纽约城市大学逻辑学家罗希特・帕里克（Rohit Parikh）在70年代苏联迫使他移民后收留过他。“他说：‘我是人，我拥有基本权利。’” 帕里克回忆。叶赛宁 - 沃尔平是个古怪的房客，整夜在帕里克的阁楼踱步，还把帕里克妻子心爱的陶瓷当烟灰缸，同时钻研一套怪异理论：它不仅拒斥潜无穷，甚至拒斥那些无法在人脑中构造的极大数。

亚历山大・叶赛宁 - 沃尔平（Alexander Esenin-Volpin）是苏联异见人士、数学家兼诗人，曾因倡导人权活动多次遭到监禁。

图源：Irene Caesar

逻辑学家哈维・弗里德曼（Harvey Friedman）曾问叶赛宁 - 沃尔平，能否明确一个界限 https://gwern.net/doc/math/2002-friedman.pdf ：多大的数算过大？比如表达式 2ⁿ，n 取何值时数不再存在？2⁰ 真的是数吗？2¹、2²…… 一直到 2¹⁰⁰ 呢？叶赛宁 - 沃尔平逐个回答：是，2¹ 存在；是，2² 存在。但每次回答的间隔越来越长，对话很快变得没完没了。

叶赛宁 - 沃尔平想表达的观点很明确：用帕里克等人后来的话说，数的边界根植于证明其存在所需的有限资源 —— 比如时间、可用计算机内存、证明的物理长度。“大多数超有限主义者认为，有限与无穷的界限本质上是模糊的。” 克拉克 - 多恩说。

对叶赛宁 - 沃尔平而言，一个命题对 n 成立，对 n+1 也成立 —— 直到某一刻不再成立。孩子不断长大，直到有一天不再是孩子。不必明确具体终点，重要的是终点就在那里，某个地方。

叶赛宁 - 沃尔平的工作呼吁一种能容忍模糊性的新型数学。此后，超有限主义者继承他的事业，探索如何把他这套模糊、近乎无厘头的数学变得坚实可靠。

危机控制

有一天，爱德华・纳尔逊（Edward Nelson）猛然醒悟：无穷或许并非真实存在。这一认知让他陷入了存在主义危机。

图源：Mariana Cook

1976年的一天早晨，普林斯顿数学家爱德华・纳尔逊醒来，经历了一场信仰危机。“那一刻，我强烈感受到一种存在，它谴责我傲慢地相信无穷数字世界真实存在，” 数十年后他回忆道 https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/faith.pdf ，“让我像襁褓中的婴儿，只能掰着手指头数数。”

数学有基本规则，即公理。纳尔逊知道，即便支撑简单算术的极简公理，也包含对无穷的预设 —— 比如，我们总能给一个数加 1 得到新数。他想从头开始，构建一套完全禁止无穷的新规则。如果只基于这些新公理构建数学，会是什么样子？

结果是弱得惊人。纳尔逊研究了多套禁止无穷的公理，发现用它们做基础算术时，连 a+b=b+a 这样简单的命题都无法证明。幂运算这类基本操作不再总是可行：你或许能构造 100 或 1000，却构造不出 100¹⁰⁰⁰。数学家最强大的工具之一 —— 数学归纳法（若命题对一个数成立，则对所有数成立）—— 也彻底失效。

对纳尔逊而言，这种薄弱恰恰折射出一丝真理。他希望证明，数学家习以为常的更强算术公理（允许无穷的皮亚诺公理）存在根本缺陷 —— 会导致矛盾。“我相信，很多我们视为既定的数学结论终将被推翻。” 他曾说。

然而，纳尔逊未能推翻它们。2003年，他宣布用自己的弱公理找到了皮亚诺公理的不一致性，但这一轰动结果很快被证伪。

罗希特・帕里克（Rohit Parikh）的超有限主义思想，已在理论计算机科学领域得到应用。

图源：Lauren Fleishman

纳尔逊的受限算术，以及帕里克等人发展的相关非标准算术，在计算机科学领域被证明很有用：研究者想知道算法能高效证明什么、不能证明什么。这些超有限主义数学方法被转化为计算效率语言，用于探究算法能力的边界。

对纳尔逊来说，数学关乎 “你选择相信的真理”—— 即你认定正确的公理。即便你选择默认公理，也是如此。当然，作为缺乏稳固基础的异端，超有限主义者需要证明的东西要多得多。

耐心的实践

2025年4月，一群形形色色的人齐聚纽约哥伦比亚大学，参加一场关于废除无穷的会议。参会者包括物理学家、哲学家、逻辑学家、数学家；有泽尔贝格这样铁杆的超有限主义者，有信奉各类无穷的集合论学家，也有单纯好奇的听众。会议组织者克拉克 - 多恩回忆，这场讨论 “对所有人都是一场耐心的考验”。哲学家通常习惯课堂上激烈争论，课后聚在一起喝杯啤酒；数学家则不然 —— 通常意见不合，就意味着有人犯了大错。

显而易见，超有限主义通用理论的进展迟缓，部分原因在于这场运动缺乏清晰动机，也没有统一方法确定其底层逻辑。或许，像纳尔逊那样执着于基础规则并非正确路径。“我认为这是浪费时间，” 帕里克告诉我，“你得把形式系统当作望远镜，多关注你看到的东西。如果一开始就研究望远镜本身，你就输了。”

当别人眼中的现实是连续延展、一刻不停向前流淌时，泽尔贝格看到的宇宙却是一格一格跳动的。

泽尔贝格乐于透过这面（可能扭曲的）镜子看世界，即便身处无穷依然大行其道的环境。他不指望从零重建一套无无穷的数学，而是选择自上而下工作。以实分析为例：它研究实数与函数的性质。泽尔贝格称其为离散分析（研究离散对象而非连续对象）的 “退化情形” https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf 。他说，可以用一串 “离散数珠” 替代实数的连续图景，数珠间只有微小（而非无穷小）的差值；再用这套框架重写微积分与微分方程（改称差分方程），剔除其中所有隐蔽的无穷用法。他承认过程艰难，但可行，尤其有计算机辅助。结果或许不如经典数学优雅，但他认为更美 —— 因为它如实反映了他眼中的物理现实。

布鲁塞尔自由大学数学哲学家让 - 保罗・范本德热姆（Jean Paul Van Bendegem）的超有限主义之旅，并非始于数字，而是小学几何。他看着老师在黑板上画一条据称无限延伸的线。“伸向哪里？” 他回忆自己当时发问。如果右端无限延伸、左端也无限延伸，它们会抵达同一个地方吗？黑板边缘外藏着不同的无穷吗？老师让他别再提问。

让 - 保罗・范・本德赫姆（Jean-Paul van Bendegem）构建了一种有限几何体系，其中点与曲线均具备宽度。

图源：Inge Kinnet

后来，成为超有限主义逻辑权威的范本德热姆回应了这些疑虑：他构想了一套有限几何，其中点、线、曲线都有宽度，既有限又有限可分。它们可被拆分为一组点，这些点极小，但绝非无穷小。用这些点、线、曲线构建的任何结构也必然有限，构成经典几何的离散对应物。尽管这些工具仍有局限，但过去几十年里被深入研究 —— 不仅为了超有限主义，也因为厘清物体形状对发展有限物理学至关重要。

我们常想象物理宇宙既无限广袤、又无限可分，但物理学家自己也在质疑这一预设。存在诸如普朗克尺度（有时被称为宇宙的像素大小）这样的基本极限，超越它，距离概念本身就失去意义。而无穷出现在物理学家方程中时，往往会带来麻烦，是他们想要避免的东西。“要对一个无限膨胀、自我重复的宇宙做出预测，这类事情真的非常、非常困难。” 约翰斯・霍普金斯大学物理学家肖恩・卡罗尔（Sean Carroll）说，他曾尝试构建量子力学的有限模型 https://arxiv.org/abs/2307.11927 。“大多数宇宙学家处理这个问题的方式，就是假装它不存在。”

德国不来梅康斯特大学与日内瓦大学量子物理学家尼古拉・吉辛（Nicolas Gisin）认为，直觉主义数学为思考物理学核心谜题提供了思路：大尺度下物理系统行为是确定的、可预测的；但在量子领域，随机性主宰一切；粒子拥有多种量子态，以不可预测的方式坍缩为其中一种。过去一个世纪，物理学家一直试图理解这种不匹配的根源。

尼古拉斯・吉辛（Nicolas Gisin）提出，物理学中最深层的谜题之一，或许源于人类对无穷的错误预设。

图源：Carole Parodi

吉辛提出，根源在于错误预设。他说，研究者默认：从宇宙诞生起，粒子的量子态就能用拥有无穷多位小数的实数无限精确地定义。但吉辛认为，使用实数是个错误。转而用直觉主义数学就会发现：决定论只是不切实际的完美信息带来的假象。物理系统大尺度的确定行为自然变得不精确、不可预测，经典与量子领域的鸿沟随之消解。吉辛的理论引发其他物理学家的兴趣 https://www.quantamagazine.org/does-time-really-flow-new-clues-come-from-a-century-old-approach-to-math-20200407/ ，部分原因是它有助于化解大爆炸等现象相关的悖论。

但值得注意的是，他的工作并未废除亚里士多德意义上的潜无穷 —— 即可趋近的无穷。沿袭直觉主义数学家投入时间与精力计算更大、更精确数值的传统，吉辛允许信息被不断创造。总有一天，宇宙会包含完美、无限精确的信息。但这无关紧要，因为那一天永远不会到来。“这里的潜无穷本质上需要等待无限久的时间，这与现实毫无关系。” 吉辛说。重要的是，无穷不再是默认预设。

物理学家肖恩・卡罗尔（Sean Carroll）对宇宙或许为有限的这一可能性深感兴趣。

图源：Larry Canner / 约翰斯・霍普金斯大学

这些基于物理学对无穷的挑战，让超有限主义数学家倍感欣喜，他们将其视为自己的数学更真实描述现实的证据。在2025年的会议上，卡罗尔关于宇宙究竟是无限还是 “仅仅非常大” 的报告，让他在哥大校园里成了名人。但他提醒，举证责任仍在无穷怀疑论者身上。如果能通过实验证明物理宇宙确实有限，即便最坚定支持高阶无穷的人也会停下来反思。他们甚至可能怀疑集合论的一致性 —— 毕竟它允许层层叠叠的实无穷。无论如何，偶尔这样反思是有益的。

即便如此，研究与使用无穷的集合论学家仍有权不受干扰地继续工作 —— 可以说，或许这就是物理学与数学必须分道扬镳的地方。数学与物理不必描述同一事物（尽管很多人认为应该一致），无穷或许在某种更宏大的柏拉图意义上继续存在。

但如果实验证明相反 —— 自然界中确实存在无穷，超有限主义者的回旋余地就小得多了。“如果现实物理世界真的存在无穷，做超有限主义者会很难。” 卡罗尔说。

重塑超有限主义

“我为超有限主义者感到惋惜，因为人们还没理解就否定它，” 卡罗尔后来说，“但另一方面，超有限主义者也没做好推广自己理念的工作。”

在数学内部，更好的推广或许是一套自洽理论 —— 就像纳尔逊所追求的：一套形式规则，像现代数学的底层规则那样，排除无穷，同时又强大到足以支撑有用的数学。

克拉克 - 多恩说，想法并不缺 —— 缺的或许是愿意赌上早期职业生涯去发展这些想法的研究生。在他看来，纽约的这场会议是转变的信号：人们足够好奇，愿意重新审视，也不再那么害怕潜在的反对声。“人们正在讨论这个观点，并积极尝试为它打下严肃基础。” 他说。

大多数数学家置身事外。他们不关心囊括整个数学的形式理论，只关心管用的东西：解决具体问题、构建证明。基础问题 —— 数字是否存在于物理现实之外？数学是发明还是发现？—— 听起来有些尴尬，只有数学家某天陷入危机时才会去琢磨。

但一线数学家或许能与泽尔贝格找到共鸣：他同样不在意集合论学家与哲学家的争论。他的方法是极致的实用主义：拆解数学，逐个追问什么是必要的。他说，或许我们预设得太多，把无穷当成太理所当然的东西，迷信了幻象。不必宣称自己是超有限主义者，也能从中获得启发，把它纳入真实选项的清单。

泽尔贝格喜欢引用自己2010年BBC纪录片中的话 —— 那是他眼中的15秒成名时刻。“无穷可能存在，也可能不存在；上帝可能存在，也可能不存在。但在数学里，既不该有无穷的位置，也不该有上帝的位置。” 这番话是隔空回应顶尖集合论学家、高阶无穷最无畏探索者休・伍丁（Hugh Woodin）。伍丁曾说，他为泽尔贝格感到遗憾，无法仰望天空，领会无穷广袤之美。

“我为他感到遗憾，他需要靠无穷这种精神鸦片才能坚持下去。” 泽尔贝格说，“树木与大地之中有如此多的美，你不必投向虚构。”

“所以我们都为对方感到遗憾，” 他说。遗憾对方困在自己选择的信仰世界里。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/what-can-we-gain-by-losing-infinity-20260429/

https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/OPINIONS.html

https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/

https://www.quantamagazine.org/why-maths-final-axiom-proved-so-controversial-20260429/

https://www.quantamagazine.org/how-a-mathematical-paradox-allows-infinite-cloning-20210826/

https://gwern.net/doc/math/2002-friedman.pdf

https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/faith.pdf

https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf

https://arxiv.org/abs/2307.11927

https://www.quantamagazine.org/does-time-really-flow-new-clues-come-from-a-century-old-approach-to-math-20200407/

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