【解题研究】莱洛三角形中的动点轨迹探究——普陀区二模第25题

【解题研究】莱洛三角形中的动点轨迹探究——普陀区二模第25题

莱洛三角形作为一种特殊的曲边三角形，近年来频繁出现在各地中考题中，这和它本身的构造有很大关系，它由首尾顺次连接的三段等弧构造一个封装图形，并且这三段等弧所对的圆心角均为60°，而连接它的三个顶点之后，我们又可以得到一个等边三角形，因此从命题角度，它可以将圆的相关知识与三角形有机结合起来，可创设更多有意思的问题。

题目

解析：

01

(1)正确的是①③；

针对④多解释一下求莱洛三角形面积的方法，较简便的是三个扇形面积减掉两个等边三角形面积，如下图：

02

(2)由条件DE∥BC且DE=1/2BC，多数学生第一个联想到的，是三角形的中位线，其实在草稿纸上画一下，还会有意外收获，如下图：

图中GH是△ABC中位线，分别过两个端点向BC作垂线，于是我们得到本题的两种情况，下列分别来研究：

当点D、E都在弧BC上时，如下图：

我们知道AD=AE，即△ADE是等腰三角形，所以过点A作AF⊥DE于点F，其中DF=a/4，AD=AB=a，由勾股定理求得AF=√15a/4，所以tan∠ADE=√15；

当D、E分别在弧AB和弧AC上时，如下图：

依然过点A作AF⊥DE，延长交BC于点H，连接CD、BE，相交于点G，我们首先来证明A、F、G、H共线，由DE∥BC，AF⊥DE，可知AH⊥BC，因此A、F、H共线，且AH是线段BC和DE的对称轴，若将这两条线段看作一个整体，由轴对称性可知CD、BE的交点一定在对称轴上，即A、F、G、H共线；

图中△DEG∽△BCG，且相似比为1：2，于是可得DG=a/3，在Rt△DFG中利用勾股定理求出FG=√7a/12，所以GH=√7a/6，而AH=√3a/2，所以AF=AH-FG-GH=(2√3-√7)a/4，最后得到tan∠ADE=2√3-√7；

03

(3)如图所示：

由莱洛三角形的概念，连接CM、BN之后，CM=BN=a，如下图：

此时△CBM是等腰三角形，不妨取其底边中点D，再取BC中点E，如下图：

△BMN中，DF是其中位线，所以DF=1/2BN=a/2，△BCM中，DE是其中位线，所以DE=1/2CM=a/2；

∠BGM=∠GBC+∠BCG=∠ACM+∠BCG=60°，所以∠EDF=∠BGM=60°，即△DEF是等边三角形，EF=a/2；

现在我们可以表述点F的轨迹了，它在线段EF的端点，另一端点E为BC上的定点，长度为定长a/2，所以点F在以点E为圆心的圆上，当点M与A重合时，点F是AC中点I，当点M与B重合时，点F是AB中点H，因此我们可作出这条弧，并且我们知道点EHI均为等边△ABC三边中点，则可得弧所对圆心角∠HEI=60°，如下图：

所以，点F的轨迹是以点E为圆心，a/2为半径，圆心角为60°的一段弧HI.

解题思考

对于莱洛三角形，除中间是等边三角形外，它的三条边(弧)是等弧，这对于我们理解等弧概念提出较高要求，在教材中是这样描述的，如下图：

前提条件是同圆或等圆中，要求是互相重合，在平时学习中，我们多数情况下是接触到的同圆，但在莱洛三角形中，我们利用的是等圆，因为它的三条弧半径相同，当我们观察图中的等量关系的时候，需要摆脱传统习惯(同圆).

在探索点F运动轨迹的时候，学生并非一定会按照解析给出的思路走，也可能走一点弯路，但不要紧，有时，必要的弯路会帮助学生更快找到正确的路.

当学生连接CM和CN之后，会出现一个交点D，如下图：

若仔细观察，还能发现其中的一对全等三角形，如下图：

由这一对全等三角形，我们还能证明∠BDC=120°，即点D在某段弧上运动，如下图：

我们通过作草图，可以猜想点F也在某段弧上运动，那么寻找这段弧所在的圆心十分关键，直观上这个圆心应该是BC中点，所以才有后面探究的思路，当作出BC中点之后，对于等腰△BCM，它底边上的中点也属于特殊点，这样，多中点间的关联就好找了，那就是构造中位线.

本题中点F的轨迹是一段弧，这涉及到圆的概念，到定点的距离等于定长，核心就是抓住定点在哪，定长是多少，解决了这两个问题，轨迹问题便不再困难。