ChatGPT助业余数学爱好者攻克60年埃尔德什差异问题

据《科学美国人》4月24日报道，23岁的业余数学爱好者利亚姆·普赖斯在没有接受高等数学系统训练的情况下，借助ChatGPT Pro中可用的最新大语言模型，意外推动解决了一道困扰数学界约60年的埃尔德什问题，这一进展已引起多位知名数学家的高度关注。

报道称，这项成果之所以格外受重视，不仅因为相关问题曾让多位顶尖数学家久攻不下，更因为AI给出的证明思路并非对既有套路的简单复述，而是引入了一种此前无人想到可用于此类问题的方法。

此次被解决的问题，讨论的是一种被称为“原始集合”的特殊整数集合。 所谓原始集合，是指在同一个集合中，任意一个数都不能被另一个数整除；从这个意义上说，它把“素数不可再分”的性质，从单个数字推广到了整个数字集合层面，因此与素数有密切联系，任何素数集合天然都属于原始集合。

匈牙利传奇数学家保罗·埃尔德什曾为这类原始集合定义一个“埃尔德什和”，可以理解为衡量集合某种“权重”或“得分”的指标。 他此前已经证明，这个和的最大值大约为1.6，并猜想所有素数组成的无限集合也恰好达到这一上界；斯坦福大学数学家贾里德·利希特曼已于2022年在博士论文中证明这一猜想成立。 但更难的一道相关猜想是：当一个原始集合中的数都变得非常大时，它的这个“得分”会不断下降，而其理论上的最低极限应当正好是1。 也就是说，这道题要证明的是，随着集合元素趋向无穷大，这个分数会逼近1，而且1正是不能再低的下界。

报道指出，利希特曼本人也曾尝试证明这一猜想，但与此前其他研究者一样未能成功。 普赖斯则表示，他最初并不了解这道题的来龙去脉，只是在一个普通的周一下午，像平时那样把埃尔德什问题随手输入ChatGPT，看看模型能否给出思路，结果AI返回了一份“看起来是正确的解答”。

随后，普赖斯把结果发给了自己的合作伙伴凯文·巴雷托，后者是剑桥大学数学专业二年级本科生。 两人此前已因把公开的埃尔德什难题随机投喂给ChatGPT而受到关注，一名AI研究者后来甚至向他们赠送了ChatGPT Pro订阅，以支持他们这种带有实验性质的“氛围数学”尝试。 巴雷托在审阅这份结果后意识到事情并不寻常，随后通知相关专家，而学界很快对此作出反应。

加州大学洛杉矶分校数学家陶哲轩表示，过去研究这道题的人几乎都会沿着一套相对标准的起手路径展开推导，但这次大语言模型走的是完全不同的路线。 报道称，AI调用了一个在相关数学分支中早已为人熟知的公式，但此前从未有人想到可将其应用到这种问题上。 陶哲轩认为，这说明人类研究者在最初方向选择上可能集体出现了某种“思维偏置”，从而错过了一条实际上更直接的突破路径。

不过，专家也强调，ChatGPT最初输出的证明文本本身并不算成熟。 利希特曼表示，原始输出的质量其实“相当差”，必须由专业数学家进行梳理、筛选和重写，才能真正理解其想表达的核心逻辑。 目前，他与陶哲轩已经把这份证明压缩整理成更清晰的版本，以更准确地提炼AI方案中的关键洞见。

比起“这道题被做出来了”本身，数学界更看重的是这次AI似乎打开了一条新的思考通道。 陶哲轩表示，这项工作可能意味着研究者发现了一种理解“大数及其内部结构”的新方式，而这种连接未来或许能迁移到更广泛的问题中；不过，这一突破的长期意义究竟有多大，目前仍需时间检验。 利希特曼则认为，这一结果印证了他自研究生时期以来的直觉——不少相关问题之间也许本就存在某种共同结构，而ChatGPT此次提出的新方法，恰恰为这种统一性提供了新的证据。