【解题研究】寻找消失的线——构全等、用勾股定理

【解题研究】寻找消失的线——构全等、用勾股定理

在从特殊图形到一般图形的过程中，特殊图形的条件通常会被更一般化的条件代替，在解这一类压轴题的时候，我们需要认真研究特殊图形中的数量关系是怎样产生关联的，而不仅仅满足于得到答案，把特殊图形的内在关联弄清楚了，再到一般图形中，至少大方向是正确的。

海淀区一模第27题，总体上比较简单，但这也只是针对找到思路的学生，若依然停留在手拉手模型的机械模仿上，仍然会被它难倒。

题目

在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=α，D为BC的延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2α得到线段AE，连接CE.

(1)如图1，α=30°，点E在直线BC上，求证：CE=2CD；

(2)如图2，用等式表示线段AB，CD和CE的数量关系，并证明.

解析：

0 1

(1)当α=30°时，则180°-2α=120°，我们一起找图1中的特殊三角形，分别是Rt△ABC，Rt△ACE，它们都含30°角，△ACD是等腰三角形，数量关系已经能够找到了；

CE=2AC，而AC=CD，故CE=2CD；

0 2

(2)图2中的AB，CD和CE“天南海北”并不方便寻找数量关系，我们需要将它们“集结”一下，考虑到旋转变换时，我们可以认为AE绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AD，因此将线段AC也进行同样的旋转变换，如下图：

将线段AC绕点A逆时针旋转180-2α得到线段AF，连接DF，对于△ACF，它是一个等腰三角形，顶角为180°-2α，则底角为α，即∠ACF=α，所以∠ACF=∠BAC，推导出AB∥CF，而∠ABC=90°，所以∠FCD=90°；

接下来观察AB与CF的关系：

方法一，过点A作AG⊥CF于点G，如下图：

我们可以很容易得到矩形ABCG，再由三线合一得到CF=2CG=2AB，最后在Rt△CDF中，由勾股定理得CF²+CD²=DF²，所以(2AB)²+CD²=CE²，即4AB²+CD²=CE².

方法二，延长FA交DB延长线于点G，如下图：

与方法一类似，只不过构造了△GCF的中位线AB，同样可以得到CF=2AB，结论不变即4AB²+CD²=CE².

解题思考

探索线段间的数量关系类的几何压轴题，从特殊图形到一般图形，一定存在关联，特殊的数量关系是如何得到的，会受哪个特殊条件的影响，不受影响的结论又是什么，这道题在辅助线画出来之后，学生会觉得十分简单，但问题是如何想到这样画？

题目中的旋转180°-2α，在历次月考中都有涉及，这需要对等腰三角形三个内角间的关系十分熟悉，即底角为α，则顶角一定是180°-2α，而当旋转角为180°-2α时，旋转前后的线段可构成等腰三角形，旋转变换过程中，也容易构造全等三角形，这就是本题辅助线思路的由来.

当所要探索的线段位置比较“分散”时，需要我们通过转换将它们“集中”，特殊三角形、特殊位置都是可以考虑的方向，即一般图形下的特殊关系.