单调马尔可夫模型中的平稳分布：理论与应用

单调马尔可夫模型中的平稳分布：理论与应用

STATIONARY DISTRIBUTIONS IN MONOTONE MARKOV MODELS:THEORY AND APPLICATIONS

https://arxiv.org/pdf/2604.03979

摘要

许多经济模型在可能非紧的状态空间上具有单调马尔可夫动态。在此类设定中确立平稳分布的存在性、唯一性与稳定性，一直依赖于一系列拼凑而成的充分条件，且每个条件均针对特定应用量身定制。本文提供了一个单一的充要条件：单调马尔可夫过程具有全局稳定的平稳分布，当且仅当它是渐近压缩的且具有紧轨迹。该刻画同时涵盖紧与非紧状态空间、离散与连续时间，并可推广至依赖于总体状态的非线性马尔可夫算子。我们通过在工资动态、带有信念冲击的贝叶斯学习以及生成帕累托尾部的收入过程中的应用，展示了该结果。

1. 引言

经济学与金融学中的许多模型关于状态变量具有单调性。Hopenhayn和Prescott（1992）被广泛引用的论文为在马尔可夫设定下研究此类模型的动态提供了一般方法，该方法进而扩展了Stokey和Lucas（1989）以及Razin和Yahav（1979）的早期结果。该论文中使用的单调混合条件已成为在广泛应用中建立稳定性性质的标准方法，应用领域涵盖国际贸易、人力资本、商业周期、不平等、代际流动与劳动力市场，所用模型从世代交叠与竞争性搜索到平均场博弈不等（参见，例如，Chatterjee和Shukayev（2010），Hidalgo-Cabrillana（2009），Samaniego（2008），Marcet等（2007），Antunes和Cavalcanti（2007），Morand和Reffett（2007），Le Grand和Ragot（2022），Light和Weintraub（2022），Balbus等（2025），以及Kam等（2025））。

然而，Hopenhayn和Prescott（1992）中的条件并非普遍适用，因为它们要求状态空间是紧的且具有最小元与最大元。这一设定损害了对经济数据重要特征的分析，例如横截面分布中的厚尾特征。此外，许多时间序列模型自然会生成无界状态。扩展Hopenhayn和Prescott（1992）的需求催生了大量后续文献。后续研究削弱了其混合条件，并用现代马尔可夫过程理论文献中的“紧性”类条件替换了状态空间的紧性，同时还处理了部分单调模型（参见，例如，Kamihigashi和Stachurski（2012），Kamihigashi和Stachurski（2014），Kamihigashi和Stachurski（2016），Foss等（2018），Kamihigashi和Stachurski（2019），Foss和Scheutzow（2024），Light（2024），以及Light（2026））。

在本文中，我们通过为定义于紧或非紧状态空间上的单调马尔可夫模型中的全局稳定性——即平稳分布的存在性、唯一性与稳定性——提供简单的充要条件，使该领域的文献研究形成完整闭环。这些条件建立在本文所证明的一个新不动点定理之上。该不动点定理表明，在任何度量满足对角性质的完备预序度量空间中，一个保序（即单调）算子具有唯一不动点，当且仅当它是渐近压缩的且至少生成一条序有界轨迹。

在马尔可夫设定中，我们证明了在弱混合条件下渐近压缩性成立，这些条件可理解为对Hopenhayn和Prescott（1992）中著名的单调混合条件的推广。我们还证明，在使用随机占优偏序时，序有界轨迹的存在等价于紧轨迹的存在。这是概率有界性的一种弱形式，而概率有界性是马尔可夫过程文献中与稳定性相关的标准条件（参见，例如，Meyn和Tweedie（2009）；Hahn等（2024）；Ma和Toda（2025））。紧轨迹的存在也远比假设状态空间本身是紧的（如Hopenhayn和Prescott（1992）中那样）要弱得多。

此外，我们在一个抽象半群框架中证明了所有这些结果，该框架（i）同时包含连续时间与离散时间，且（ii）允许非线性马尔可夫算子以及线性算子。第（i）点意味着，在建立我们充要条件的过程中，我们也将Hopenhayn和Prescott（1992）及大量后续相关文献扩展到了处理连续时间模型。第（ii）点意味着我们的结果可应用于非线性马尔可夫分布动态，其中个体的马尔可夫更新依赖于一个分布，而该分布又由个体的马尔可夫法则决定（参见，例如，Light（2026））。

我们通过若干经济学应用展示了我们结果的适用范围。在紧状态空间设定中，我们重新审视了Hopenhayn和Prescott（1992）的单调混合条件，提供了更精确的结果，包括指数收敛率与遍历性，并将该框架扩展至连续时间。我们以一个连续时间的工资动态职位阶梯模型为例进行说明。对于非紧状态空间，我们开发了对分段确定性马尔可夫过程（PDMPs）的应用，这是一类结合平滑确定性动态与随机跳跃的连续时间模型。PDMPs自然出现在财富积累或企业动态模型中，非常适合捕捉连续时间中跳跃与离散冲击的作用。我们的应用包括：一个连续时间的工资动态职位阶梯模型，通过允许状态依赖的工资报价扩展了Burdett和Mortensen（1998）以及Moscarini和Postel-Vinay（2013）的框架；一个受信念冲击影响的贝叶斯学习模型，此类冲击出现在逆周期不确定性与预测偏差模型中（Orlik和Veldkamp，2014；Cogley和Sargent，2008）；以及两个收入动态模型——一个纯跳跃过程和一个具有确定性漂移的PDMP——两者均在平稳分布中生成帕累托尾部，补充了近期关于连续时间异质性主体模型中平稳分布（Gabaix等，2016）以及乘性经济中帕累托指数（Beare和Toda，2022）的研究。

在理论层面，与本文最接近的论文是Kamihigashi和Stachurski（2014）以及Foss和Scheutzow（2024），他们证明了全局稳定性在（a）序理论混合条件与（b）暗示平稳分布存在的附加条件相结合下成立。在对底层状态空间的匹配假设下，这两项结果均为本文定理2.1中抽象稳定性结果的特例，该定理表明渐近压缩性与序有界轨迹的存在足以保证全局稳定性。（Kamihigashi和Stachurski（2014）以及Foss和Scheutzow（2024）的结果均蕴含渐近压缩性以及至少一条轨迹的序有界性。）同时，定理2.1更进一步，允许作用于任意预序空间的算子，提供全局稳定性的必要条件，并同时处理连续时间与离散时间。虽然Kamihigashi和Stachurski（2014）本质上已被本文结果所取代，但Foss和Scheutzow（2024）具有互补性，在时间为离散时提供了关于序有界性与渐近压缩性的有价值的充分条件。

本文其余部分结构如下。第2节发展了保序半群的抽象不动点理论。第3节专门针对概率空间，引入Bhattacharya度量并将紧性与序有界性联系起来。第4节涵盖随机核与转移概率函数。第5节处理紧状态空间上的单调混合条件，并附有工资动态的应用。第6节将研究扩展至离散时间下的非紧状态空间，并附有带有信念冲击的贝叶斯学习应用。第7节发展了连续时间下的对应结果，并附有收入动态的应用。第8节发展了PDMP框架，并将其应用于具有确定性漂移的收入动态。证明汇总于附录A节。

2. 渐近压缩的稳定性

我们首先介绍预序度量空间和对角性质的背景知识。接着引入半群以及渐近压缩性和全局稳定性的概念，最后陈述我们的主要结果。

图 1 有助于说明前两种情况下的对角性质。

3. 概率空间上的稳定性

接下来，我们考虑所研究的半群作用于概率测度空间这一特殊情况。换句话说，我们分析在给定的运动定律下分布随时间向前推移的环境。在这种设定下，我们将能够把稳定性与轨迹上的一种紧性类条件（即胎紧性，tightness）联系起来，这种条件在分布动态的分析中经常被应用。

总之，定理 3.1 和推论 3.1 为分布空间上的保序半群和映射的全局稳定性提供了充要条件：渐近压缩性与至少一条轨迹的紧性相结合。

通常我们要考虑的算子是由转移概率函数生成的马尔可夫算子。此类算子具有其他有用的性质，例如关于分布的线性性。我们在第 4 节讨论这种情况。然而，我们也要注意，定理 3.1 和推论 3.1 可用于研究分布上的非线性映射，这在经济动态中经常出现（参见，例如，Light (2026)）。

4. 概率马尔可夫模型

本节将介绍马尔可夫动态的概率方面背景，以及底层马尔可夫模型与其所生成的算子与半群之间的联系。

为了方便起见，并与大量文献保持一致（参见，例如，Meyn and Tweedie (2009)），算子和随机核都使用同一个符号 P 。此外，我们将省略术语“左”和“右”，假设其含义通常能从上下文中清楚得知，并在必要时加以澄清。

以下结果与一个众所周知的事实相平行：分布之间的全变差距离在通过马尔可夫核后不会增加。它将对我们要进行的连续时间模型分析有用，同时也表明在某些附加条件下渐近压缩性应该是可以达到的，这些条件结果是混合条件。

1. 单调混合

   Hopenhayn与Prescott（1992）的定理2表明，在离散时间下，单调混合条件（MMC）是单调马尔可夫链全局稳定性的充分条件。在本节中，我们通过以下方式扩展了他们的结果：（a）建立了收敛至平稳分布的显式指数收敛速率；（b）证明了对有界递增可观测量的遍历性；以及（c）从离散时间推广至连续时间。我们在第5.1节中陈述了主要结果及其证明，随后在第5.2节中将其应用于一个连续时间的工资动态模型。

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原文链接： https://arxiv.org/pdf/2604.03979