耦合相位振子中的吸引域穿孔

耦合相位振子中的吸引域穿孔

Basin Riddling in Coupled Phase Oscillators

https://arxiv.org/pdf/2603.02135

我们研究了具有公共相移 α 的最近邻耦合相位振子中扭曲态（twisted states）的全局吸引域结构。随着 α 的增加，吸引域边界变得逐渐更加复杂，其分形维数增长并趋向于全环境相空间（full ambient phase space）的维数。我们猜想，当系统趋近于极限
（此时动力学变为保体积的）时，吸引域最终会变成穿孔的（riddled）。我们通过卷绕数（winding number）的稳定时间来表征瞬态动力学，并证明该时间随系统尺寸的增长而增长。这种标度关系（scaling）在较大的相移下会加速，从对数行为转变为幂律行为。我们进一步分析了这些长暂态（long transients）的动力学起源。我们的结果展示了单个相移如何支配分形吸引域的复杂性，并为多稳态但非混沌的耦合相位振子的全局几何结构和瞬态动力学提供了新的见解。

1. 引言

吸引域提供了动力系统行为的全局视图，并在科学和技术中发挥着重要作用。它们决定了系统从给定的一组初始条件出发将达到哪个长期状态，从而反映了鲁棒性、可靠性和功能性。在工程系统 [1]、大脑和神经回路 [2, 3]、气候动力学 [4, 5]、电网 [6, 7] 和生态学 [8, 9] 中，只有当期望状态的吸引域足够大且平滑时，该状态才具有实际意义；否则，微小的扰动就能将系统驱动到非预期的状态。然而，在许多非线性系统中，吸引域高度错综复杂，表现出分形甚至穿孔（riddled）结构 [10–15]。这种敏感性从根本上限制了所得现象的可预测性、可重复性和可控性。在低维动力系统中，分形吸引域结构已被广泛研究 [10, 16]，特别是与分岔和混沌鞍点相关的研究。

在耦合振子系统中，吸引域几何结构在很大程度上仍未被探索 [17]。大多数先前的工作采用了统计物理学的观点，专注于热力学极限下的集体行为、系综平均和渐近状态。这一框架在描述同步转变和宏观相方面取得了显著成功。然而，它自然地掩盖了相空间中的精细几何结构。结果，分形或穿孔吸引域在耦合振子的背景下很少被考察。更一般地说，随着系统参数的变化，吸引域从平滑到分形并最终到穿孔的演变（metamorphosis）在非线性动力学中并不是一个新现象。这里令人惊讶的是，分形吸引域边界出现在一个典型的（paradigmatic）耦合相位振子系统中。它表明错综复杂的吸引域几何结构是自然产生的，并不局限于专门工程化或设计的系统。

在这项工作中，我们在一个耦合相位振子的最小模型中揭示了吸引域边界的精细结构。通过检查高维相空间的低维切片，我们显式地可视化了与不同周期吸引子相关的分形吸引域边界。观察到的分形性质对于一般的局部切片是持久存在的。此外，我们将这种几何复杂性与系统的瞬态动力学联系起来，并通过数值模拟表明，随系统尺寸变化的瞬态时间标度（transient-time scaling）受到吸引域分形性质的强烈影响，揭示了在渐近或平均描述中仍然不可见的特征。

2 分形吸引域边界

3 瞬态时间

1. 展望

我们研究了耦合相位振子中扭曲态的吸引域演变（metamorphosis）。在没有相移的情况下，每个吸引域都表现出简单的章鱼状几何结构，由头部和触手组成 [17]。随着公共相移 α 的增加，我们的数值结果表明，吸引域边界发展出分形结构，直至极限 ；接近该极限时，吸引域呈现穿孔状（riddled），动力学变得近似保体积。

我们进一步研究了瞬态动力学。卷绕数稳定时间随系统尺寸呈幂律标度，其中指数随相移增长。我们还考察了瞬态时间的分布，发现长瞬态时间出现在吸引域边界附近，而内部区域则表现出相对较短的瞬态时间。

这些现象学观察提出了一些未决问题，涉及类孤子波在相移变化下的持久性、其不变流形的几何结构，以及它们与分形吸引域边界的联系。这些问题将在其他地方讨论。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2603.02135