《人类科学技术史-246》第二次数学危机的发生

第二次数学危机的发生

17世纪中后期，当早期近代科学的发展出现以英国为中心的全面兴盛的景象时，曾在16世纪中期至17世纪初期受到天文学革命和解剖学革命冲击的神学思潮，此时已在这种兴盛景象的背后重新泛起。在这股重新泛起的神学思潮的影响下，波义耳、莱布尼茨以及牛顿等一些著名科学家在自然观上却纷纷转变到神学方面。

尽管牛顿竭力证明上帝的存在，并在他生活的后35年始终表现了对上帝的虔诚，但是正统神学家对牛顿并不满意。到了1734年，即牛顿死后的第七年，一场由正统神学家向牛顿发起的攻击发生了。这场攻击就是由当年升为大主教的正统神学家贝克莱(1685-1753年）向牛顿的微积分发起的。

贝克莱在阅读了牛顿的《自然哲学的数学原理》后，1734年，他向牛顿生前的好友、天文学家哈雷写了一封奇特的公开信：《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则和推断是否比之宗教的神秘与信条的构思更为清楚，或推理更为明确》。信中所说的"分析学者"、"不信教的数学家"，均指哈雷而言。贝克莱的公开信的内容要点，是企图以牛顿的无穷小量中的自我矛盾为突破口，既对数学进行"神学的批判"，又对神学进行"科学的论证"。在对数学进行"神学的批判"时，贝克莱抓住了牛顿在无穷小量的表述上的混乱以及在此基础上运用流数法的矛盾，批判牛顿所一直信奉的"基本的和最终的比"这一命题，认为渐近于零的两项之间不可能存在着有限的比，于是，贝克莱对牛顿的流数进行猛烈的抨击。他说："这些流数是什么？是渐近于零的增量的速度，那么这些相同的渐近于零的增量又是什么呢？他们既不是有限量，也不是无穷小量，可也不是虚无。难道可以把它们称为死去的量的幽灵吗？"贝克莱对牛顿的微积分的基本原理的攻击，虽然出于一个正统神学家对科学的反对立场，但是他也确实揭示了微积分在创立初期尚未解决的内在矛盾。正因为贝克莱在对微积分的攻击中揭开了微积分的内在矛盾，所以微积分本身即由此陷入理论危机之中。由贝克莱的发难所造成的这场数学危机，就是数学史上的著名的第二次数学危机。

牛顿和莱布尼茨在创立微积分时，虽然他们都发现了微积分的基本原理和主要方法，但是，在对于微积分的基本概念无穷小量的表述上，他们都未能给予确切的数学的定义。他们时而说无穷小量是"零"，时而说无穷小量"非零"；他们时而说无穷小量"消逝为零"，时而说无穷小量"趋向于零"。总之，没有严格的数学定义。正因为如此，尽管微积分在运算方法上是正确的，但是，从逻辑上看，它违背了形式逻辑的基本规律；从常量数学来看，它是错误的，而从变量数学来看，它也缺乏充分的理论依据。这说明，牛顿和莱布尼茨在最初发明微积分时，确实都还缺乏严密的数学理论基础。也正因为如此，才使贝克莱这位敏锐的神学家终于从中看出了他所说的那种"严重的空虚、黑暗和混乱。"

贝克莱的公开信立即在数学家中产生了影响。哈雷此时已近80高龄，并未理会这位神学家的挑战，但是，其他一些数学家相继进行了反击。1734年，即在贝克莱公开信发表的当年，英国数学家朱允(1684-1750年）即发表《几何学，非不信教的朋友》这一公开的批驳信，首先对贝克莱的公开信进行反击。朱允认为，对于精通几何学的人来说，流数的概念是清楚的，并按照他的理解对牛顿的流数作了解释。对此，贝克莱在1735年发表了题为《捍卫数学中的自由思想》一文，予以反击，为此，朱允又另著文反驳。

1735年，英国另一数学家罗宾斯(1707-1751年）也参加了论战，他发表了几篇论文，并出版了《论牛顿的流数法以及最初比与最终比方法的本质与可靠性》的专著，试图对牛顿的流数进行数学解释，批驳贝克莱对流数的神学解释。

此后，英国另一著名数学家马克劳林(1698-1746年）也参加了反击贝克莱的论战。1742年，马克劳林出版《流数论》一书。在这一著作中，马克劳林除了驳斥贝克莱对微积分的攻击外，还试图建立起微积分的严密的数学理论基础。

但由于当时历史条件的限制，直到19世纪初法国著名数学家柯西的极限理论建立前，微积分在数学理论方面所发生的危机一直未能从根本上结束。

但第二次数学危机的发生，使人们认识到微积分本身还不够完善。这样，微积分就开始了试图克服自身危机的革命。此后，经过近一个世纪的几代人的相继努力，微积分终于在19世纪初建立起了严密的数学理论基础。