《人类科学技术史-244》莱布尼茨

莱布尼茨
1.非凡的才能

莱布尼茨生于德国的莱比锡。1664年，莱布尼茨在莱比锡大学毕业，以一篇有关逻辑学的论文获哲学学士学位。1666年，他又以一篇有关方法论的论文《论组合的艺术》获阿尔特道夫大学的哲学博士学位。同年，获阿尔特道夫大学教授席位。此后，莱布尼茨即任教于该校，开始进行哲学、数学、力学等方面的科学研究。

青年时代的莱布尼茨就十分关注应用数学的发展。当时，在应用数学的发展中最引人注目的进展是机械式计算机的发明。早在1649年，法国著名数学家巴斯噶就发明一种可进行加减运算的机械式计算机。自此之后，法国曾一度成为计算机技术的研究中心。正是在这一背景之下，莱布尼茨也来到巴黎，研究了以巴斯噶计算机为基础的计算机技术。

在巴斯噶计算机的基础上，莱布尼茨进行了两方面的改革。其一，莱布尼茨把巴斯噶计算机中的十进制改为由他发明的二进制。当时，在明末清初来华的法国传教士曾把中国阴阳八卦与自然哲学思想带回法国。在中国阴阳八卦中的朦胧的二进制观念的影响下，莱布尼茨最先发明了二进制，并立即把这种二进制运用到他的计算机中。对于早期的那种机械式计算机来说，虽然莱布尼茨的二进制未能显示出明显的优越性，但它对后来计算机技术的发展产生了重要的影响。其二，莱布尼茨对巴斯噶计算机的机件设备也进行了一些改革，如加装了梯形轴等装置。由于进行了上述二进制和机件两方面的改革，莱布尼茨终于在1671年发明了一台新的机械式计算机。

由于莱布尼茨在哲学和科学上的才华，1672年3月，作为梅因兹选帝侯的大使，出使巴黎。在出使期间，莱布尼茨结识了在巴黎科学院任职的荷兰科学家惠更斯，由于惠更斯的影响，莱布尼茨进一步产生了对数学的兴趣。

虽然在此之前，莱布尼茨也读过一些数学著作，但对于当时的数学的最新进展，莱布尼茨基本上还不熟悉。正是在惠更斯的引导之下，莱布尼茨开始研究笛卡尔、费尔玛和巴斯噶等人的著作，通过对笛卡尔等人的著作的研究，莱布尼茨得以迅速地走向当时数学的最前沿。

1673年，莱布尼茨又以梅因兹选帝侯的外交官员的身分出使英国。在伦敦期间，他结识了英国皇家学会的许多知名人士。在这些知名人士中，对莱布尼茨影响最大的是英国皇家学会的联络秘书欧登堡，由于欧登堡与英国科学界有广泛的联系，因此他为莱布尼茨广泛了解英国科学的进展提供了极大方便。同年，莱布尼茨在英国皇家学会演示了他所发明的二进制的机械式计算机，并因此在同年被选为英国皇家学会会员。在英国期间，莱布尼茨除了继续研究笛卡尔、费尔玛等人的数学著作之外，他还研究了英国著名数学家华里斯及巴罗等人的数学著作，特别是巴罗的《几何讲义》，对莱布尼茨的影响最大。通过上述研究，他开始认识到求曲线的切线问题的重要性。这样，莱布尼茨也就在英国产生了微积分思想的最初萌芽。

2.微积分的发明

不久以后，莱布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命为汉诺威选帝侯图书顾问而被召回德国。

在巴黎期间，莱布尼茨继续研究笛卡尔的解析几何，从中吸取了笛卡尔在《几何》中所用的求曲线的切线方法。同时，莱布尼茨还继续研究巴罗的《几何讲义》，从中吸取了巴罗的微分三角形法，并从巴罗的著作中意识到微分与积分的互逆性质。与此同时，他还通过欧登堡继续了解英国数学方面的最新进展，根据莱布尼茨的自述，经过一年多的努力，他在1674年发明了微积分的基本原理和主要方法。

莱布尼茨发明微积分的起点，是求曲线的切线作法及其计算问题。在研究过程中，莱布尼茨从巴罗在解决这一问题时所用的微分三角形法中得到启发，创立了他自己的一种新方法——纵坐标差分法。莱布尼茨所创立的这种新方法的基本特点，按照他自己的说法，乃是把曲线及其切线置于笛卡尔坐标系中，求切线的问题即可相应地转变成求横坐标与纵坐标变化率之差。

在创立纵坐标差分法之后，莱布尼茨又相继在原理和方法上作了一些新的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，莱布尼茨已决定用∫作为求和的符号；11月11日，他又在一篇题为《切线的反方法的例子》的手稿中，进一步对微分和积分的符号进行了探讨。此后，他又在一些数学手稿中证明了微分和积分的互逆性，导出了微分法和积分法的一些基本原则。尽管在无穷小量这一概念上他与牛顿一样含糊不清，但最迟在1676年，莱布尼茨已基本上完成了微积分的发明。

当时，英国科学家牛顿也在研究微积分。因此莱布尼茨作为外交使节出使英国期间，曾通过欧登堡与牛顿有过通信往来。后来，当莱布尼茨返回巴黎留任驻法大使时，以及返回德国任汉诺威图书顾问以后，莱布尼茨仍然通过欧登堡与牛顿保持着一定的联系。1676年，莱布尼茨在与欧登堡的通信中，得知牛顿的微积分研究已有显著的进展时，因此，他要求欧登堡告诉他有关这方面的消息，欧登堡把莱布尼茨的愿望转给牛顿，牛顿即于1676年6月13日，写了一份关于他的流数法的简要说明，请欧登堡转寄给莱布尼茨。

同年8月27日，莱布尼茨收到了欧登堡的信及附寄来的牛顿的关于流数法的简要说明。此后，莱布尼茨直接致信牛顿，向牛顿简述了他自己在微积分方面取得的成果，并要求牛顿能就他的无穷级数的处理方法作进一步说明。同年10月24日，牛顿给莱布尼茨回信，就他的流数法作了较为详尽的说明，此时牛顿估计莱布尼茨也有可能发明了微积分，因此他在回信中写入了一个著名的字谜(以字谜的方式表示自己已作出某一发现或发明的方法起于17世纪初，在1610年，伽利略发现金星的位相之后，他意识到这是证实哥白尼日心说的重要发现，但他也认识到，完全弄清金星的位相变化还需要时间，因此他先发表了一个由35个字母组成的字谜，表示他已经发现了金星的位相。此后，这种以字谜暗示已作出某一发现和发明的方法即流传于17世纪）。

牛顿给莱布尼茨回信中的字谜是：6accdaeff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx，字谜就是由这些字母和数字组成的一个不规则的句子。这个字谜的谜底是：根据所给的方程式，在任意多变数方程求出流数及其逆运算。牛顿所以给莱布尼茨寄去这个字谜，实际上是向莱布尼茨暗示，他已经发明了微积分。

莱布尼茨收到牛顿的回信之后，研究了牛顿对于流数法的说明，也研究了牛顿的字谜。当然，莱布尼茨未能解开牛顿的字谜，但莱布尼茨也估计到，这是牛顿表明他已经发明了微积分的隐语。因此，他在1677年6月21日给牛顿回信时，也向牛顿坦率地介绍了他发明微积分的纵坐标差分法："我长期在用一种更普遍得多的方法来处理切线问题，这就是纵坐标差分法。"并认为："求切线无非就是求相应于已知的(相等的）横坐标之差的纵坐标差。"此后，他们两人各自致力于数学和其他学科的研究，谁也没有公开发表有关微积分的研究成果。直到1684年，即他们彼此都知道对方已经发现了微积分的7年之后，莱布尼茨在德国的《博物者学报》发表了一篇关于他的微积分方法的简要介绍。因为这篇简介实际上只是一篇介绍报道性的文章，因此在当时并未引起人们的注意。

1686年，莱布尼茨在《博物者学报》上发表了一篇有关微积分的内容比较具体的论文：《求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形以及这个方法的一个巧妙的计算》。在这篇论文中，莱布尼茨公开发表了微积分的基本原理和主要方法。

在发表上述论文之前，莱布尼茨已于1675年10月29日的数学手稿中创用积分符号∫。∫是sam(总和）一词的第一个字母的拉长写法。此后，莱布尼茨在1684年发表的那篇简介中创用了微分符号d。在1686年发表的这篇论文中莱布尼茨首次同时使用了dx，dy，∫x，∫y这样的微分符号和积分符号。其中dx表示两个相邻的x之间的差，dy表示两个相邻的y之间的差，而∫x与∫y则相反。

莱布尼茨在1686年发表的这篇论文的标题虽然很长，但篇幅却很短，只有6页。但由于其内容新颖，方法新奇，符号新巧，因此，立即引起欧洲数学界的极大关注，而莱布尼茨亦因此先于牛顿成为人们知晓的微积分这一新数学方法的发明者。