如何亲手织出一个双曲平面？

如果我说，你可以用一根钩针和一团棉线，亲手织出一个让数学家痴迷了两千年的几何结构——你信吗？今天，我们就来干这件疯狂的事：织出一个双曲平面。

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大自然里的几何大师

你有没有仔细端详过一朵银耳？

它的表面布满了柔软的褶皱，一层叠着一层，像是一片微缩的珊瑚礁。

再看看生菜的叶边——那波浪般的起伏，是不是也带着某种规律？

图：海底扁虫

还有海底扁虫，它的躯体好像带褶皱的裙边，蠕动时灵活自如，却从不扯坏自己。

这些生物形态各异，颜色、质地、生活环境都截然不同。但是数学家看到他们，可能会惊呼：它们都是“双曲几何”的化身！

没错，它们的形状，竟然暗藏着同一个几何秘密——双曲几何，一种与我们熟悉的平面世界截然不同的几何结构。

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一段被尘封了两千年的“异端几何”

要理解这个秘密，得先回溯一段曲折的数学史。

公元前300年，欧几里得在《几何原本》中提出了五条公设。前四条简洁明了，第五条却不那么显然：“过直线外一点，能且只能作一条直线与已知直线平行”。这条“第五公设”让数学家们耿耿于怀两千年——它真的无法被证明吗？

1763年，德国数学家克吕格尔（Georg Simon Klügel，1739-1812）首次明确指出：第五公设可能根本无法证明，它其实是一种独立的假设。他的同代人兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728－1777）进一步探讨了放弃第五公设后的几何，但突破两千年的欧氏几何根基，需要更大的勇气。

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图：吕格尔

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图：兰伯特

到了19世纪初，三位数学家几乎同时独立揭开了非欧几何的面纱——高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、鲍耶（Farkas Bolyai，1775-1856）和罗巴切夫斯基（Никола́й Ива́нович Лобаче́вский，1792－1856）。

图：高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基

高斯虽早已洞察，却因害怕世俗嘲笑而将手稿锁进抽屉，终生未公开发表。匈牙利的鲍耶满怀激情地将研究成果寄给高斯，却收到冷淡回应，从此对数学心灰意冷。

最坚定的人是俄国的罗巴切夫斯基。他从1826年起系统建立了非欧几何理论，遭受冷嘲热讽和诬蔑攻击依然潜心研究，发表了一系列论文和著作，在晚年双目失明时仍口授完成《泛几何学》阐述自己的几何思想。他还精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文测量方案，坚信这种新几何学终有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”。

真是一段可歌可泣的动人故事！

这几位先行者的步履维艰，当时人们的普遍怀疑，其核心原因都在于：在现实世界里，找不到任何非欧几何的实体模型啊！没有模型，新几何就像空中楼阁，难以被接受。

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今天，我们用钩针把它“织“出来

现在，我们不再需要仰望星空，也不必深陷复杂公式，只需一团棉线、一根钩针，就能亲手创造一个可触摸、可观察的非欧几何模型——双曲平面！

方法很简单，我们只需要掌握三个基本针法：环形起针、短针、短针加针。

1. 环形起针，第一圈织6针。

2. 第二圈：在每1针上都加1针，一共12针。

3. 第三圈：仍然在每1针上加1针，一共24针。

4. 继续织下去：每一圈的针数都是上一圈的2倍。织完第七圈后钩引拔针，收线。

这里的关键就在于每一圈的针数都加倍。（注：文末有织法参考视频链接）

你会惊奇地发现——织着织着，织物开始自动起皱、卷曲，形成像珊瑚、像银耳那样的立体结构。

图：笔者钩织的成品

图：调整加针比例产生的不同效果

恭喜你，你刚刚亲手创造了一个双曲几何模型！

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它真的”非欧“吗？来做个实验

现在，让我们像数学家一样，用这个织物做一些小实验：

step1：找一条“直线”：在织物上，什么可以看作直线？怎么找到它？

直线是什么

在这个世界里，连接两点的“直线”被定义为连接两点的最短曲线。

怎么寻找直线

抓住两点，拉直，就得到了这个空间里的直线。但不要拽太用力，过度拉扯会产生误差。

曲面对折

还能发现，正像白纸能沿着直线对折一样，这个曲面也可以沿着“直线”完美对折！

step2：画个三角形：它的内角和是多少？还是180°吗？

观察三角形内角和是多少度？

观察发现，明显小于180°

step3：试试第五公设：过“直线”外一点，能画几条“平行线”？

图：平行线不唯一

step4：量量圆的周长：半径增大时，周长增长得有多快？

可以发现：第一圈6针，第二圈12针，第三圈24针，…，第七圈384针！周长指数级增长！

step5：揉一揉它：变形的时候，织物上的距离改变了吗？

基本没有改变，织片不允许撕扯，距离是它的内部结构！

你会发现，这是一个有着内蕴稳定结构的几何世界，而且完全不符合欧几里得的规则！

进一步，如果引入一点专业的黎曼几何知识，我们可以定量地研究这个模型的特性：根据旋转对称性，它的黎曼度量是（在极坐标系下）

其中根据织的针数规律（并假定每一针是一个“长度单元格”），可得

从而计算出它的曲率

——曲率处处相等，而且是一个负常数。

这正是双曲几何的“真身”——负曲率空间。如果罗巴切夫斯基在天有灵，他看到这个模型，一定会热泪盈眶吧！

【事实上，在罗巴切夫斯基之后，黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）、贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900）、克莱因（Felix Christian Klein，1849-1925）、庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854-1912）等数学家经过许多努力，构造出了伪球面、克莱因圆盘、庞加莱圆盘等非欧几何模型，非欧几何逐渐被人们所接受。】

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双曲几何的奇妙应用

说回开头的银耳、生菜叶和海底生物，你知道大自然中为什么有这么多双曲几何结构吗？这不是巧合，这是因为大自然早就把双曲几何的特点为自己所用了。

银耳、生菜叶、珊瑚“选择”双曲几何，是为了让自己表面积最大化，提高吸收养分或光线的效率。

海底扁虫“选择”这种结构，是为了让身体既能灵活扭动，又不易撕裂，完美适应海洋生活。

人类认识了双曲几何后，也开始在多个领域应用双曲几何：脑科学、数据科学、复杂网络、艺术设计……

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双曲几何已经深刻地渗透进许多学科和人类活动中。

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结语

今天我们用一根钩针和一团棉线，触摸到了这门奇特几何学的温度。发明双曲平面钩织模型的数学家Daina Taimina说：

What I hear I forget,

What I see I remember,

What I touch I understand.

图：Daina Taimina

这句话道出了学习的秘诀。把抽象的概念变成可见、可亲、可感的具体对象，让眼睛和双手带着大脑去思考，让直观和直觉引领理性去发现。

你也来试试吧！ 动手织一朵“数学银耳”，在针线的起伏中感受非欧几何的奇妙。

织法可参照下面视频圆形的织法，唯一需要改变的就是每圈的针数：

【【钩针基础】真綫坊钩针-零基础短针圆形教程（crochet circle）】 https://www.bilibili.com/video/BV1gt411j7er/?share_source=copy_web

来源：数学经纬网

编辑：LogicMoriaty

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