为啥计算机算不出0.1+0.2=0.3？

《夏洛特烦恼》

撰文 | 乌其多

审校 | 刘六七

‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

众所不周知，大部分编程语言都算不出0.1+0.2=0.3。

比如Javascript一通计算下的结果就为：0.30000000000000004！

cloud.tencent

你可能会说：“你先等会儿!”

然后打开windows上自带的计算器，输入“0.1+0.2”,然后拿着计算结果抡圆了准备打我的小脸。

自制

其实，计算器看似正确的结果，只是计算器把存在精度问题的最后几位在显示的时候舍入掉了而已。我们可以理解为这是一种“障眼法”。

自制

那问题到底出在哪儿？

要理解这个现象，得先搞明白计算机是怎么看待小数的。

我们平时用的是十进制，但计算机只懂二进制，也就是那一堆0和1。把十进制小数转成二进制，用的是“乘2取整”法。以 0.1 为例：

自制

看出来了吗？0.1 的二进制是无限循环的：0.00011001100110011……（0011 循环）。

同样，0.2 的二进制也是无限循环：0.0011001100110011……（0011 循环）。

看不出来也不要紧，我们只要记住：我们十进制世界里大部分稀松平常的小数，二进制都是无法精准表达的。

0.1 和 0.2在二进制世界里，就是“无限循环小数”，也就如同十进制无法精确表示 1/3 一样。

除了0.1和0.2以外，π、√2等数学上的无理数（无限不循环小数），二进制下更是超纲了，计算机同样也是无法精确表示的。

弄懂了这个概念，我们再来看计算机的存储法则。

我们现在主流的编程语言，通用的存储法基本都是“IEEE 754浮点数标准”，只要是使用了这个存储标准的语言，比如JavaScript、C/C++、Java、以及曾号称人人都应该掌握的Python等等，都是无法准确计算出“0.1+0.2=0.3”的。

自制

IEEE 754是由电气与电子工程师协会（IEEE）于1985年制定的浮点运算技术标准。

在这部“数字宪法”制定之前，各大计算机厂家都有自己的浮点数存储法则，你不兼容我的，我不care你的，主打一个各论各的，造成了很多混乱。

IEEE 754标准就规定了浮点数在计算机中的存储格式，常见的有32位单精度和64位双精度。每个数被拆分为符号位、指数位和尾数位三部分，尾数位长度是固定的（如双精度为52位），那么遇到无限循环或者无限不循环小数的时候，怎么办？那就是把尾数“一剪没”了。

这样截断或舍入，就给0.1和0.2造成了存储误差。两个近似值相加，误差累积，就导致了0.1+0.2≠0.3的现象。

梅开二度、二度返场｜《夏洛特烦恼》

你可能又得问：浮点数存储为啥非得把尾数截了？计算机这么牛，全存了不行吗？

答案很简单：不是不想，是做不到。

很多人以为计算机存储和计算都是绝对精确的，其实这是个误解。

存整数确实可以——比如数字 42，转成二进制 101010，放进固定大小的空间里，只要空间够大（不溢出），拿出来还是 42，分毫不差。就像把鸡蛋放进仓库，拿出来还是那个鸡蛋。

但问题是，数学世界里的数远不止如此。无限循环和无限不循环的数，远远多于整数。

计算机的存储空间是有限的，无论用多少位，都装不下一个无限长的二进制串。所以，它只能截取前几十位，后面的直接扔掉。

你可能又会想：那能不能把空间做得再大点，存更多位？从几十位变成几百位也行啊！

理论上可以，但实际意义不大。

对绝大多数工程、图形、科学计算来说，“IEEE 754浮点数存储法”所用的 64 位双精度（约 15-17 位有效数字）已经足够精确。

对不同领域来说，计算精度要求是不同的，天文学家能算准光年就很牛了｜网络

如设计飞机、渲染电影、模拟天气，没人需要知道 π 的第10000位是什么（当然，π能不能算到最后一位，在数学上意义重大，可能意味着数学大厦的地基比如微积分、极限理论被动摇）。况且，无理数有无穷多个，再大的空间也装不完。

所以计算机选择了一种“务实”的策略：用有限的存储，近似地表示所有的实数。专业的相关学科就叫做计算机数值分析，研究的就是“近似”的艺术。

对于任何一个数值计算问题，数值分析都会追问：误差有多大？算法快不快？结果稳不稳？能不能算出来？只要这四个问题都能给出满意的答案，那就是合格的计算结果。

回到 0.1 + 0.2。这不是程序的 bug，而是二进制与有限存储共同作用的必然结果。

理解这个“误差”，就是数值分析教给我们的最重要一课：

认识误差，理解误差，最终学会与误差共存，并控制它。

‍‍‍‍

参考资料：

[1]https://bbs.huaweicloud.com/blogs/287063

[2] https://www.puntoflotante.net/FLOATING-POINT-FORMAT-IEEE-754.htm

[3]https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

原创文章版权归微信公众号
“把科学带回家”所有

转载请联系：bd@wanwuweb.com

凡本公众号转载、引用的文章 、图片、音频、视频文件等资料的版权归版权所有人所有，因此产生相关后果，由版权所有人、原始发布者和内容提供者承担，如有侵权请联系删除。

‍‍

▲ 关注我们，点亮在看，分享一下‍