统一晶界网络与晶体图：材料科学的超图与超超图视角

统一晶界网络与晶体图：材料科学的超图与超超图视角

Unifying Grain Boundary Networks and Crystal Graphs: A HyperGraph and SuperHyperGraph Perspective in Material Sciences

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摘要

图论通过顶点和边为离散元素之间的关系建模提供了基础 [26, 27]。超图通过允许边——超边——连接两个以上的顶点来扩展这一框架，而超超图引入嵌套幂集层以捕捉层次性和自引用连接。网络类比物——超网络和超超网络——将这些思想应用于实证数据结构。 在材料科学中，基于图的模型诸如晶界网络将晶粒表示为顶点，并将其界面表示为边 [31,100,106]，而晶体图编码晶格结构内的原子和键 [95,104,129]。然而，这些表示缺乏描述复杂微观结构固有的多尺度和层次特征的能力。 本文研究了材料科学中超图和超超图的理论基础，它们通过允许超边、超超边或超顶点同时连接多个顶点，从而推广了经典图。它通过引入并形式化晶界超网络、晶界超超网络和晶体超超图的概念，进一步考察了图论方法在材料科学中的相关性。对于每种结构，我们提供精确的数学定义，基于多晶和晶体材料系统构建详细示例，并分析基本性质，如多级连通性、嵌套深度和组合复杂性。通过将超结构理论与材料架构建模相结合，这项工作为材料科学中的多尺度和层次分析建立了一个鲁棒框架。

关键词：超超图，超图，晶体图，超网络，超超网络，晶界网络

1 引言

1.1 基础图论

图论是数学的一个分支，研究节点（称为顶点）通过链接（称为边）连接的网络 [26, 27]。图已在广泛学科中得到广泛探索和应用，包括社会科学 [83, 89]、化学图论 [35, 53, 124]、生物网络 [56, 57, 82, 128]、图神经网络 (GNNs) [52, 62] 以及电信 [105]。鉴于应用范围广泛，图论研究具有重要意义。

1.2 超图理论与超超图理论

本文专注于超图理论和超超图理论的框架。与这些结构相关的是更广泛的数学概念——超结构和超超结构，它们利用幂集构造及其第 n 次迭代形式扩展经典数学系统（参见 [117–119]）。这些扩展框架特别适合对层次化和多层系统进行建模，无论是在抽象理论表述中还是在实际应用中。此类推广的例子包括：

• 超超代数 [50, 71, 116]，它扩展经典代数结构以允许嵌套代数操作；

• 超超模糊集 [48, 49]，它推广模糊集以表示跨越多个层次级别的复杂不确定性；

• 超超中性集 [39, 112]，它将不确定性和高阶逻辑纳入中性框架中。

这些发展说明了超图和超超图背后的原理如何可以扩展到广泛的数学领域，为建模嵌套、互联和多尺度系统提供了表达工具。

经典结构、超结构和 -超超结构的概述呈现在表 1 中。此处， 被假设为一个自然数。

当应用于图论时，这些扩展产生了两个众所周知的推广：超图和超超图 [33, 43, 44]。超图允许每条边——称为超边——同时连接两个以上的顶点，从而能够表示复杂的多对多关系 [13, 15, 29]。超超图在此基础上构建，通过纳入递归嵌套的幂集结构，允许超边组之间的层次性和自引用相互作用。

图、超图和超超图的概述呈现在表 2 中。此处，n 被假设为一个自然数。

并且图通常被用于表示网络，在此语境下，超网络和超超网络分别作为超图和超超图的网络对应物出现（参见 [40, 64]）。除了超网络和超超网络之外，文献中已提出许多其他类型的网络，包括多网络 [23, 28, 51] 和有向网络 [86, 91, 134]。这些变体可能反映了基于网络的建模在众多学科中的通用性和广泛适用性。 网络、超网络和超超网络的概述呈现在表 3 中。

1.3 材料科学中的图和网络

材料理论是使用数学和计算模型研究支配材料属性、结构和行为的基本原理 [18, 19, 78, 90]。图和网络表示法在材料理论中被广泛用于建模材料的结构和物理属性。在本文中，我们专注于两个关键示例：晶界网络和晶体图。 晶界网络通过将晶粒表示为节点并将它们的共享界面表示为边来建模多晶结构，捕捉材料的拓扑和几何特征 [31, 100, 106]。晶体图将原子表示为节点并将原子间键表示为边，由周期性晶格内的空间邻近性定义 [95, 104, 129]。该结构编码了预测材料属性所必需的局部配位环境。 除了这些之外，材料理论中还有几种其他基于图的框架是熟知的，包括扩散网络 [30]、位错网络 [6,123] 和断裂网络 [1,17]，每个都提供对特定物理机制的见解。

1.4 我们的贡献

本小节概述了本文的主要贡献。鉴于上述，很明显图论和材料科学之间存在深刻的联系，并且在这个交叉点的研究具有重要意义。因此，我们定义了晶界超网络、晶界超超网络和晶体超超图的概念，并考察了几个具体示例及其数学属性。值得注意的是，本文不包括任何实验研究；我们的工作纯粹是理论性质的。通过这些贡献，我们旨在推进晶界网络、晶体图和图论整体的研究，即使只是以微小的力量。

1.5 本文结构

本小节简要概述了论文的内容。第 2 节介绍了经典结构、超结构和 -超超结构的数学基础，以及图、超图、超超图、超网络、超超网络、晶体图和晶界网络的简明定义。第 3 节展示了晶界超网络的说明性示例和基本属性。第 4 节探讨了晶界超超网络的示例和结构特征。第 5 节研究了晶体超超图的示例和数学属性。第 6 节以总结结束论文并讨论未来研究的方向。

2 预备知识与定义

本节概述了本文讨论所需的基本概念和定义。在全文中，我们假设所有图都是简单的、无向的和有限的。

2.1 经典结构、超结构和 n-超超结构

经典结构代表一般的数学概念，而超结构可以使用幂集来定义，n-超超结构可以使用 n 次幂集来定义 [120]。直观地，n 次幂集是幂集运算的重复应用。相关定义和简单示例如下所述。

定义 2.1（集合）。[76] 集合是不同对象的明确定义的集合，称为元素。集合通常用大写字母表示，如 A, B, S 等。

定义 2.2（子集）。[76] 设 A 和 B 为集合。如果 A 的每个元素也是 B 的元素，我们称 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

定义 2.3（空集）。[76] 空集，记作 ∅，是不包含任何元素的唯一集合。

定义 2.4（全集）。全集，记作 U，是在特定上下文或讨论中包含所有被考虑元素的集合。

定义 2.5（基集）。基集 S 是导出幂集和超结构等复杂结构的基础集合。其形式化定义为：

S = {x | x 是指定域内的元素}。

像 P(S) 或 P_n(S) 这样的构造中的所有元素都源于 S 的元素。

定义 2.6（幂集）。[37,101] 集合 S 的幂集，记作 P(S)，是 S 的所有可能子集的集合，包括空集和 S 本身。形式上，它表示为：

例 2.7（复合材料相的材料科学幂集）。材料相是材料系统中不同的物理形态，例如固体、液体、气体，或像纤维这样的结构组分（参见 [55,65,70]）。设基本材料相的集合为

定义 2.10（经典结构）。（参见 [108, 120]）经典结构是一个定义在非空集合 H H 上的数学框架，配有一个或多个满足指定经典公理的经典运算。具体而言：

经典运算是一个形式为的函数：

因此，H 模拟了铁的现实世界氧化行为：结合铁和氧气可以产生几种氧化物相，并且试剂的混合物在超结构框架内产生所有可能产物的并集。

2.2 超超图

在经典图论中，超图通过允许边——称为超边——连接两个以上的顶点，扩展了传统图的概念。这个更广泛的框架使得能够对元素之间更复杂的关系进行建模，从而增强了其在各个领域的实用性 [13,29,59,60]。超超图是超图概念的高级扩展，将递归幂集结构整合到经典模型中。这个概念最近被引入并在文献中得到了广泛研究 [39,40,45,115]。注意，在 n -超超图中的 n 是一个整数。这些概念的定义和示例如下所示。

与仅表示成对晶界的标准图不同，该超图直接编码了对于理解晶粒生长、扩散路径以及三叉结处力学行为至关重要的三晶粒交界处。

2.3 超网络与 n-超超网络

超网络通过允许超边连接多个节点来扩展图，从而对实体间复杂的多路关系进行建模。n-超超网络利用节点的嵌套幂集来表示复杂系统中的层次化多级相互作用和分组。这些概念的定义和示例如下所示。

换句话说，网络的顶点和超边均取自基节点集的第 n 次幂集，从而捕捉多达 n 层的层次分组。

例 2.27（多晶微观结构中的 2-超超网络）。多晶微观结构由许多小晶体或晶粒组成，每个晶粒具有不同的取向，并由晶界分隔（参见 [102, 107, 121]）。考虑一种微观结构由五个晶粒组成的多晶合金：

该 2-超超网络既捕捉了合金微观结构中的局部晶界连通性（1 级），也捕捉了高阶簇相互作用（2 级）。

2.4 晶界网络

晶界网络将晶粒表示为节点，将共享界面表示为边，从而对多晶材料的拓扑和几何属性进行建模 [31,100,106]。如果我们用数学方式定义它，可以表述如下。

例 2.29（三叉结微观结构的晶界网络）。三叉结是多晶材料中三个不同晶粒相遇的点或线，它影响着微观结构的演变（参见 [61, 136]）。考虑一个二维多晶域 Ω Ω，它被划分为三个在原点相交的楔形晶粒：

2.5 晶体图和晶体超图

晶体图基于周期性晶格内的空间邻近性，将原子表示为节点，将原子间键表示为边 [95,104,129]。如果我们用数学方式定义它，可以表述如下。

因此， G G 是一个有向 4-环，捕捉了正方晶格的最近邻连通性。

晶体超图将每个原子及其最近邻建模为超边，从而捕捉周期性晶格中的高阶局部结构（参见 [68]）。如果我们用数学方式定义它，可以表述如下。

因此，每条超边编码了两个相等的键长及其之间的直角，从而在超图表示中捕捉了局部正方晶格模体。

3 结果：晶界超网络

晶界超网络是一种超网络模型，用于表示多晶材料中晶粒之间的界面。在该模型中，超边对应于多个晶粒之间的共享边界，并且每条超边根据相关晶界的几何相交测度进行加权。该概念的定义、示例及数学性质如下所述。

4 结果：晶界 -超超网络

另一方面，晶界 n-超超网络是一个层次化推广，它使用嵌套幂集来组织晶界结构。该框架不仅捕捉直接的晶粒相互作用，还捕捉多尺度上晶粒簇之间的高阶结和复杂相互关系。该概念的定义、示例和数学性质如下所示。

5 结果：晶体 n-超超图

晶体 n-超超图使用嵌套幂集对原子结构进行建模，捕捉原子的层次化分组及其多级相互作用。该概念的定义、示例和数学性质如下所示。

在此，单个 4-超顶点 B B 封装了正方晶格中的所有三角形配位模体（3 级簇），而唯一的 4-超边 { B }
突出了第四层次级别的全局自相似元结构。这说明了迭代幂集构造如何在晶体环境中捕捉日益抽象的、大规模的模体关系。

6 结论与未来工作

在本文中，我们定义了晶界超网络、晶界超超网络和晶体超超图的概念，并考察了几个具体示例及其数学性质。

作为未来工作，我们计划通过结合先进的不确定性处理框架来探索这些模型的扩展，例如模糊集 [103, 132, 133]、直觉模糊集 [8–10]、模糊集 [3, 5, 54]、粗糙集 [96, 97]、双极模糊集 [2, 135]、超模糊集 [32, 77, 122]、软集 [84, 87]、超软集 [?, 113]、图像模糊集 [24, 66]、中性集 [109–111]、四划分中性集 [42, 80, 131] 以及植生集 [39, 46, 47]。例如，我们旨在探索模糊集和模糊图的概念在晶界超网络、晶界超超网络和晶体超超图中的应用。这些扩展有望进一步增强我们提出的模型的表达能力和实际适用性，特别是在捕捉材料科学及其他领域中复杂、多层和不确定的现象方面。

此外，基于上述不确定性建模的扩展，我们也希望未来的研究能够通过涉及图神经网络 (GNNs) [52, 62, 67]、人工智能 (AI) [7, 69]、线性规划 [72–74] 和决策 [34, 75, 85] 的方法，探索晶界超网络、晶界超超网络和晶体超超图等框架的应用。

并且作为一个未来方向，我们希望通过结合有向图 [36]、动态图 [11,12, 79]、半图 [88, 98]、双向图 [14, 58,130] 以及多向图 [93, 94] 等结构，来探索本文的扩展概念。如所示，进一步扩展和挑战的许多可能性仍然存在，我们希望专家们未来的研究能够继续推进这一领域。

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