为什么13日经常是星期五？这是一场数学的“诅咒”

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撰文 | Mannon Bischoff

编辑 | 二七

无论是电影、小说还是各种恐怖传说，“13号星期五”总被视为一种不祥的信号。

历史上也不乏这样的“黑色星期五”：1940年9月13日星期五，纳粹军队轰炸了英国伦敦白金汉宫；1996年9月13日星期五，图派克·夏库尔（Tupac Shakur）因6天前遭受的枪伤不治身亡；2012年1月13日星期五，意大利游轮“歌诗达协和”号（Costa Concordia）触礁倾覆，导致共计32人遇难。

实际上，一个恰好落在星期五的13号不过是个普通的日子，关于它的迷信可以通过数学破除。事实上，很容易就能证明，没有哪一年能够避开这样一个“不祥之日”。而且，一个月中的第13天落在星期五的概率，比一周中的其他任何一天都要高。

数论与历法

为了简化问题，我们首先关注平年（一年有365天）的情况。根据各月份的天数，可以依次计算出每月13日是当年的第几天——1月13日是第13天，2月13日是第44天，3月13日是第72天，以此类推，就可以得到下表展示的结果：

每个星期都是固定以7天为一循环的模式，这意味着，每月的1日、8日、15日、22日等日期总会对应着相同的星期几。因此，我们完全可以计算出某个月份的13日会落在星期几——具体方法就是将这一天是全年第几天除以7，余数就是这一天与第一周的哪一天的星期数相同。

这样讲听起来可能有些复杂，但让我们举个例子：比如用一年的第13天除以7，得到的结果是商1余6。这意味着每年的第13天与第6天会对应着同一个“星期几”。如果我们按照这个原理，计算每个月的13日，就能得到以下结果：

第0天意味着这一天数可以被7整除，即这天与当年第7天是同一个“星期几”

每周的各天分别标记为0到6，这些数字在列表中都出现了至少一次。这意味着在365天构成的一年里，每星期的某一天都至少会成为一次某个月的第13日（其中标记为0、1和3的日子各只出现一次）。而某些星期几还可能成为两个不同月份的第13日（标记为4、5、6的日子）。还有一个特定的星期几（标记为2的日子）甚至会成为3个不同月份的第13日。

换句话说，如果在平年中，1月2日是星期五，则当年就会出现三个“13号星期五”——2026年就是这种情况。

说到闰年

那么，如果是全年有366天的闰年呢？计算方法大同小异，唯一的区别在于2月份有29天。

同样，我们也需要研究这些日期分别对应星期几。方法依旧是将天数除以7，然后计算余数。

在闰年，虽然2月之后每个月13日对应的星期几会变化，但一周中各天的分布规律依然保持不变：每周的某一天都至少会成为一次某个月的第13日（标记为0、1和4的日子）。同时仍会有两组星期几会作为某月13日出现两次（标记为2、3、5的日子）。还有一个特定的星期几（标记为6的日子）会成为3个不同月份的第13日。

也就是说，如果闰年中1月6日恰好是星期五，那么这一年就会出现三次“黑色星期五”。

看完这些分析，我们可以证明每年至少有一个，最多会有三个星期五恰逢当月13日。如果你真的迷信“黑色星期五”的诅咒，那很遗憾，数学证明你每年都无法回避这样的日子了。

13日星期五

从统计学角度来说，一个月中的13日落在星期五的频率会比其他星期数都要高。这看似出人意料，但同样可以用数学原理证明。

要证明这一点，我们需要考虑历法的特殊性。如果每年都是365天，那么星期的分布会每7年重复一次。或者说，每7年就会开启一个新的周期循环。7年之后，每个日期对应的星期数将与起始年份完全一致。在这个7年为周期的模型中，每月13日落在每个星期几的次数均等：在这七年间，每个星期一都会在13日出现12次，星期二也会出现12次，以此类推……

然而我们使用的公历更加复杂。众所周知，每四年会迎来一个闰日，这就打乱了7年的循环，导致星期的分布要经历28年才会重复一次，在此期间我们会遇到7个闰日（第0、4、8、12、16、20和24年）。

且慢——我们使用的历法系统还有更多奇特之处。原则上来说，每4年都会有一次闰年，但每逢“世纪年”（能被100整除的年份）则会跳过闰日。除非是能被400整除的世纪年——这是一个例外的例外，能被400整除的年份依然会添加闰日。所以2000年依然是闰年，但1900年不是。

根据所有这些信息，我们可以计算出一个完整的周期循环需要足足400年。这个周期包含365天/年×400年=146 000个平年的天数，再加上97个闰日（400÷4-3=97，其中3代表被跳过的100年、200年和300年）。

遗憾的是，这些闰日分布并不均匀，因此不能拆分成更小的周期。举例说明依然更加直观：在2000-2099年间将出现25个闰年（含2000年），而在之后的三个世纪里，每个世纪都只会出现24个闰年。

好在计算机可以替我们计算，给出一个与前文类似的表格。公元2000年是闰年，1月1日是星期六。根据这一信息，就可以计算出之后的400年间，每个月的13日会对应星期几。

结果如下：

换句话说，一个月中的13日出现在星期五的次数会比其他星期数更多——尽管只是多几天。

但值得记住的是，这一切其实有多么偶然：如果2000年1月1日突然变成了一个星期日，那么与13日对应更频繁的就会变成另一个星期几。

在我们的生活中，总有一些看似奇怪，但可以用数学计算解释的谜团。例如，《环球科学》3月刊的“数学”专栏就能够解释，为何你总会觉得朋友比你更受欢迎——这并不是你的错觉。

用同样的原理，也可以解释为什么你总会遇上等得更久的公交车，或是为什么你打客服电话时对方永远处于“繁忙中”，以及许多其他类似的日常烦恼：

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中国最早与人类一起生活的猫科动物，可以追溯到5400年前的新石器时代。然而古DNA证据显示，家猫在唐代才沿着陆上丝绸之路进入了中国。《家猫为何不是它？》一文不仅讲述了中国科学家追溯中国家猫来历的故事，还为我们介绍了另一种亚洲特有的小型猫科动物——豹猫。它们曾与中国古人共同生活了3500年，却从未被驯化：

https://www.scientificamerican.com/article/why-friday-the-13th-is-a-mathematical-inevitability/

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