小乐数学科普：从莫德尔猜想到法尔廷斯定理

★置顶zzllrr小乐公众号（主页右上角）数学科普不迷路！

格尔德・法尔廷斯（Gerd Faltings）刚刚获得2026年阿贝尔奖，他是算术几何领域的泰斗级人物。其学术思想与研究成果重塑了整个领域，不仅攻克了多项悬而未决的重大猜想，更构建了全新的理论框架，为后续数十年的相关研究指明了方向。本文简单介绍格尔德・法尔廷斯的学术成就。

图源：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

作者：阿贝尔奖官网（abelprize.no）2026-3-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-3-20

从数学发展历史来看，这门学科的建立依托两大核心支柱：数论与几何学。数论的研究核心是自然数，以及由其拓展而来的有理数。小学阶段，孩子们便会学习加法与乘法的运算规则，以及二者间的关联——乘法可被看作是重复的加法。

但这种浅显的理解方式，掩盖了数字背后更为神秘的特质。将加法与乘法结合所产生的复杂问题，一个经典例证便是那个古老的数学问题：两个完全平方数相加，其和是否仍为一个完全平方数？这一问题与勾股定理密切相关，勾股定理描述了直角三角形三边的平方关系，而其背后的数论问题，实则是求解方程a²+b²=c²的整数解(a, b, c)，这类解也被称作勾股数。

自古以来，人们便知晓勾股数有无穷多组，最经典的例子便是木匠常用的“3-4-5法则”：基于3²+4²=5²这一结论，木匠们用该方法判定一个角是否为直角。从概率论角度可对勾股数的无穷性作出解释：完全平方数在自然数集中是一个密度足够大的子集，因此，能表示为两个完全平方数之和的自然数集合，与完全平方数集合之间存在无穷多个交集。

当研究对象从完全平方数拓展到完全立方数时，这类数在自然数集中的出现频率远低于完全平方数，此时再探讨与勾股数类似的问题，其答案是否为肯定便不再直观。事实上，由阿贝尔奖得主安德鲁·怀尔斯证明的费马大定理给出了明确答案：这是不可能的。费马大定理研究的是方程xᵈ+yᵈ=zᵈ在d≥3时的整数解问题。1922年提出的莫德尔猜想则指出，对于所有特定形式的高次方程，其有理数解的数量仅有有限个。

椭圆曲线

插图由牛津大学珍妮弗·巴拉克里希南JenniferBalakrishnan博士绘制

三次方程的解在几何层面可解释为椭圆曲线上的点。椭圆曲线的亏格为1，亏格是描述曲线几何形状的一个重要特征。亏格≥2的曲线在几何上更为复杂，由次数更高的方程定义。曲线的所有点中，部分点的坐标为有理数，这类点被称为有理点。

莫德尔猜想的核心内容为：亏格≥2的曲线上，有理点的数量仅有有限个。莫德尔本人仅证明了一个稍弱的结论：椭圆曲线上可能存在无穷多个有理点，但只需其中有限个有理点，便可构造出其余所有的有理点。这一构造方法的理论基础是，椭圆曲线具备一种自然的加法运算，这使得曲线上所有点的集合构成了数学家口中的阿贝尔群。阿贝尔群以尼尔斯·亨利克·阿贝尔的名字命名，阿贝尔奖也正是为纪念这位数学家而设立。

亏格≥2的曲线所对应的莫德尔猜想，在提出后的六十余年间始终未被证明。在这一时期，数学家们得到了一些与该猜想相关的研究成果，其中便包括沙法列维奇提出的、关于曲线族有限性的猜想。借助帕尔申技巧这一数学结论，上述曲线族与该曲线族背后的一条曲线之间建立了紧密关联。上世纪80年代初，数学家们发现，若能证明沙法列维奇猜想，便可直接推导出莫德尔猜想的正确性。

1983年，格尔德·法尔廷斯成功证明了沙法列维奇猜想。其证明过程中的关键一步，是引入了如今被称作曲线的法尔廷斯高度的概念。法尔廷斯不仅证明了法尔廷斯高度有界的一类曲线，其数量具有有限性，还证明了法尔廷斯高度本身的有界性。将这两个结论相结合，便可得到所研究曲线族的数量有限的结论，沙法列维奇猜想也由此得证。再借助帕尔申技巧，莫德尔猜想便不再是一个猜想，而是成为了被证实的法尔廷斯定理。

伊戈尔·沙法列维奇（1923-2017）

照片：康拉德·雅各布斯Konrad Jacobs，埃尔朗根

专业术语注释

1. 亏格（genus）：代数几何中描述曲线/曲面拓扑结构的核心不变量，直观反映曲线的“孔洞数”，椭圆曲线亏格为1，亏格≥2的曲线为高亏格曲线。

2. 阿贝尔群（abelian group）：满足交换律的群，是抽象代数的基础概念，也是算术几何的核心研究对象之一。

3. 沙法列维奇猜想（Shafarevich conjecture）：算术几何领域的重要猜想，聚焦数域上阿贝尔簇的好约化性质与曲线族的有限性。

4. 帕尔申技巧（Parshin’s trick）：由数学家帕尔申提出的数学方法，建立了沙法列维奇猜想与莫德尔猜想之间的逻辑关联。

5. 法尔廷斯高度（Faltings height）：法尔廷斯为证明沙法列维奇猜想引入的重要几何不变量，用于刻画曲线的算术性质。

参考资料

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/From%20Mordell%E2%80%99s%20Conjecture.pdf

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate

小乐数学科普近期文章

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及

欢迎评论、点赞、在看、在听

收藏、分享、转载、投稿

查看原始文章出处

点击zzllrr小乐

公众号主页

右上角

置顶★加星

数学科普不迷路！