他是如何发现无穷大的不同层次，以及如何窃取了它

在1874年的一篇论文中，格奥尔格·康托尔证明了无穷大有不同的大小，从此永远改变了数学。一批新近出土的信件表明，这同时也是一种剽窃行为。

来源 | QuantaMagazine及网络公开报道

编译 | 數學家编译小组

校对 | 慧玲

去年3月12日，当德米安·戈斯跟随卡琳·里希特走进她的办公室时，他首先注意到的是那个半身像。它矗立在房间角落的一个高底座上，刻画着一位表情坚忍、谢顶的老绅士。戈斯丝毫看不出那个让他痴迷了一年多的焦虑、孤独之人的影子。

相反，这是历史眼中的格奥尔格·康托尔。一位知识巨人：坚定不移、意志顽强，决心不顾同侪的强烈反对，发起一场数学革命。

正是在这里，在德国哈勒大学，康托尔于150年前发起了他的革命。1874年，他在这里发表了数学4000年历史上最重要的论文之一。那篇论文将长期以来被视为数学毒瘤、必须不惜一切代价回避的概念——无穷——具体化了。它迫使数学家质疑他们一些最悠久的假设，动摇了数学的根基。它催生了一个新的研究领域，并最终导致整个学科被重写。

现在，35岁的数学家兼记者戈斯来到哈勒——从他位于美因茨的家坐火车需要五个小时——是为了查阅康托尔遗留下来的一些信件。他见过其中一封的扫描件，并且相当确定其他信件会说些什么。但他想亲眼看看原件。

里希特——像康托尔一样，她的整个职业生涯都在这里度过，先是作为研究数学家，退休后则担任数学史讲师——示意戈斯坐下。她从堆满散乱书籍和论文的桌子上拿起一个薄薄的蓝色活页夹。里面是几十张塑料保护页，每张都夹着一封手写的旧信件。

戈斯开始翻阅，像考古学家进入一座失落已久的古墓那样，饶有兴味地审视着这些信件。然后他翻到某一页，呆住了。他几乎屏住了呼吸。

不是因为笔迹。在他对康托尔的研究中，他已经习惯了那种奇怪的、几乎无法辨认的、被称为哥特手写体（kurrentschrift）的字体，这是德国人一直使用到1900年左右的一种字体。

也不是因为签名。他知道德国数学家理查德·戴德金在康托尔理解无穷和巩固数学基础的探索中扮演了关键角色，并且两人交换过许多信件。

是日期：1873年11月30日。

他以前从未见过这封信。没人见过。据信它已经丢失，可能在第二次世界大战的动荡中被毁，或者被康托尔本人销毁了。

正是这封信有能力改写康托尔的遗产。这封信最终证明了康托尔那篇著名的1874年论文——那篇后来重塑了整个数学的论文——是一次剽窃行为。

思想的相遇

康托尔于1845年出生在俄罗斯的圣彼得堡。他11岁时，父亲生病了，全家为了躲避俄罗斯危险的冬天移居德国。康托尔将在那里度过余生，并最终完全失去任何口音。但他从未在这个收养他的家乡感到完全自在。

随着康托尔父亲的病情持续恶化，他把所有希望都寄托在六个孩子中的长子身上。在康托尔的坚信礼上，父亲给这个15岁的男孩写了一封信，警告他许多有前途的人才都因为那些抵制他们想法的人而失败了——只有坚定不移的宗教信仰才能防止他成为另一个“所谓的被毁掉的天才”。为了发挥他作为“科学地平线上的闪耀之星”的潜力，他必须在诋毁者面前坚持不懈。

康托尔余生都随身带着父亲的这封信。他将这种英雄式的知识反抗观内化于心，并很快找到了施展自己才华的地方：数学。正如他所说，数学是“一种未知的、秘密的声音召唤他”的领域。18岁时，父亲去世，他用继承的遗产进入了柏林大学，这是当时数学的伟大中心之一。

在那里，一场冲突开始酝酿。

格奥尔格·康托尔不断寻求在数学领域留下自己的印记。但到了19世纪90年代，他的野心使他陷入了严重的抑郁症。

问题是无穷。数学家们在几千年前发明了这个抽象概念来处理这样一个问题：对于你命名的任何数字，你总能命名一个更大的数字。但无穷本身也带来了问题。古希腊哲学家芝诺用它来编造各种悖论。当无穷进入画面时，像大小和加法这样直截了当的概念似乎就失效了。

无穷也带来了宗教上的挑战。基督教神学规定，上帝必须比他的任何创造物都伟大——唯一的真无穷，比任何数字都大。如果普通数学家能够掌控这种不可量化的量，那将是对上帝的侮辱，从而也是对教会权威的侮辱。

数千年来，数学家们通过同意无穷只是一种有用的技巧，而不是一个有效的数学实体来规避这些危险。正如伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯在1831年的一封信中所说，无穷不过是一种“说法（façon de parler）”——一种修辞方式。

但在几十年内，无穷变得越来越难以忽视。

数学家们开始重新审视他们最基本的概念，希望使其更加精确。他们开始意识到，即使他们对数字是什么的理解，也建立在摇摇欲坠的基础之上。

在那之前，他们只把数字看作是在代数中解方程得到的答案：整数、分数、平方根。现在，他们中的一些人想探索这些不同的种类如何相互关联，以及是否有其他种类的数字有待发现。

理查德·戴德金花费了数十年时间试图理解数学最基本的对象。他最著名的论文之一是：《数字是什么，它们应该是什么？》

在这些探索者中，有一位名叫理查德·戴德金的性格安静的德国数学家。1858年，他找到了一种严格定义实数的方法——实数就是数轴上出现的任何数字。但他没有分享他的发现。作为一个思维缓慢而严谨的人，他更愿意与他人讨论他的结果，直到他确信自己是对的。

与此同时，在1870年，康托尔还不知道戴德金的工作，他完成了研究生学业，并开始研究关于某些方程如何表现的实践性问题。他对关于数字本质的哲学问题还不感兴趣，但他的工作使他得出了自己对实数的定义。

1872年初，戴德金和康托尔分别发表了他们的成果。

他们都做了一些激进的事情：他们重新定义了数轴。

在他们的论文之前，数学家们认为，尽管数轴看起来可能是一个连续的对象，但如果你放大得足够远，你最终会发现间隙。

以零和一之间的那段数轴为例。它包含无穷多个分数：对于任意两个分数，你总能放大找到介于它们之间的另一个分数。但无论你放大多少倍，总有一些数字，比如，是你永远也达不到的。这里有间隙——无穷是断裂的。

然而，在他们1872年的论文中，康托尔和戴德金找到了一种方法来构建一个完整的数轴。无论你把它任意一段放大多少倍，它仍然是无穷多个实数连续连接、不间断的广阔领域。

突然间，长期被数学家们恐惧的无穷这个怪物，再也不能被归到数轴上某个无法触及的部分了。它藏匿于数轴的每一个缝隙之中。

那年夏天，康托尔和戴德金都在瑞士风景如画的湖畔村庄格绍度假，在那里他们第一次相遇，并一起长谈，讨论了他们的想法。

一张19世纪90年代的印刷品，描绘了瑞士村庄格绍，康托尔和戴德金在那里偶然相遇并迅速成为朋友。

在任何一个旁观者看来，这两个在湖边漫步的男人似乎很不相配。27岁的康托尔高大、肩膀宽阔且充满热情。他陶醉于同侪的关注，但在这一切之下，他对自己在他们眼中的看法深感焦虑。这使他工作迅速，试图频繁快速地发表成果。另一方面，戴德金比康托尔大13岁，但矮得多，也更加内向。他完全没有康托尔那种急于发表成果的紧迫感。事实上，在他的一生中，他发表的东西相对较少。

但他们一拍即合。在他们后来写的信中，两人都一次又一次地回忆起那个在湖边讨论数学的美好日子。他们在彼此身上找到了伙伴，找到了朋友。

然而，这段友谊没能持久。

追寻一个故事

德米安·戈斯从小就非常在意规则。2008年，17岁的他和家人从他长大的德国搬到了他母亲的原籍国阿根廷。在那里，戈斯决定开始做裁判。“我喜欢和朋友一起踢足球，”他说——但比起踢球，“我总觉得体育运动中的不公正令人恼火。当我看比赛时，如果裁判判罚错了，我就想为纠正错误出份力。”

这让他有机会将自己的信念付诸行动。在接下来的15年里——从他在罗萨里奥国立大学读本科、研究生、做博士后研究员和讲师期间——他一直为一个重要的地区性足球锦标赛担任职业比赛的裁判。他回忆说，有一次，人群中的一名球迷向他挥舞着砍刀，这是一种隐晦的威胁。但当该球迷的球队在接下来的比赛中犯规时，戈斯没有退缩。他只是深吸一口气，掏出了红牌。

“做裁判真的是一段塑造性格的经历，”他说。“当人们试图恐吓我时，我不会退缩。”

德米安·戈斯，一位德国阿根廷裔数学家和记者，在阿根廷感觉最自在。图中他正在喝马黛茶，一种南美洲的传统草本茶。

尽管戈斯喜欢数学研究，但他更被定理背后的故事所吸引。他利用空闲时间阅读数学思想史，并在大学咖啡馆为他的同学们绘声绘色地讲述他学到的故事，同学们把这个咖啡馆称为他的“办公室”。做博士后时，他有时会带学生到户外，通过解释性舞蹈来阐释数学概念，比如优化算法或混沌系统。他说，许多学生喜欢这种方式，但一些教授警告他不要使用这种非正统的方法。“他们大概以为能吓到我，”戈斯说。“他们没听过砍刀的故事。”

2020年，还在做博士后的他病倒了，不得不经常回德国治疗。几年后，他彻底搬回了德国。博士后结束后，身体也好转了些，他决定是时候离开学术界，去追寻他对讲故事的喜爱了。于是，在2023年初，他在柏林自由大学开始了一个科学新闻学的研究项目，专注于开发一个播客。他想讲述数学史上最扣人心弦的故事。

他有了一个想法，知道从哪里开始。

“因为我是一个情感丰富的人，所以我关注的是有史以来最情感化的故事，"他说——这个故事就是无穷如何变成现实，并催生了集合论（set theory），而集合论为整个现代数学提供了新的基础。"它将我们对数学的理解推向了极限，”戈斯说。“你必须告别数学直觉，只是开放和接受你将在那里遇到的所有不可思议的事情。”

戈斯制作了一个关于数学和科学史的播客。正是这个播客的工作让他发现了关于康托尔和戴德金之间真实故事的新证据。

他在学校学到的是，康托尔是集合论的唯一创始人——而这一切都始于他1874年发表的一个证明。在那个证明中，康托尔展示了无穷大有不同的大小，终结了无穷只是数学花招的观念。

戈斯开始为一个关于康托尔发现的播客做研究。但他很快发现，真实的故事比他被告知的要复杂得多。

“我最初的方法是讲述每个人都讲的那个故事。那是一个美丽的故事，”他说。“但这是一个错误的故事。它不是真实发生的事情。”

特洛伊木马

真实的故事是，康托尔不是一个孤独的天才。他有一个伙伴——至少在一段时间内是这样。

每当康托尔遇到志同道合的数学家，他都会热切地追求他们。他会在黎明时分出现在合作者的住所，兴奋地讨论他想到的新想法，有时会等上几个小时直到他们醒来。与戴德金的关系也是如此。1872年在格绍相遇后，康托尔抓住一切机会向这位年长的数学家请教。

1873年11月，康托尔开始了一次将永远改变人类知识进程的通信。“请允许我向您提出一个问题，”他在一封匆忙写就的信中告诉戴德金。“这对我有某种理论上的兴趣，但我自己无法回答；也许您可以。”

康托尔为他父亲灌输的热情驱动力找到了一个出口：数轴的无穷本质。“他有非常强烈的使命感，”西班牙塞维利亚大学的数学史家和哲学家何塞·费雷罗斯说。“他深信，真实无穷（actual infinity）的引入不仅会改变数学，还会改变整个科学。”对康托尔来说，这种无穷并不与上帝的至高无上相矛盾。它只意味着上帝不是遥远和不可知的，而是无处不在，存在于万物之间。

他开始把实数作为一个单一的、无穷的包来研究，提出了以前没有人想过要问的问题。1, 2, 3, … 中的三个点所表示的无穷，与隐藏在神秘连续的数轴本身中的无穷，两者之间有区别吗？换句话说，实数是否比整数多？

从表面上看，这个问题似乎毫无意义。说这些无穷集合有不同的大小，到底是什么意思？

康托尔想找出答案。

他问戴德金，这两组数是否可以建立“一一对应”——即每个实数都能与一个独特的整数配对。他写道，他已经成功地对另一组数做到了这一点：他证明了每个有理数（可以写成分数的数）都可以分配一个唯一的整数，没有剩余任何数。也就是说，尽管有理数看起来比整数多得多，但这两组数实际上大小相同。因此，两者都是数学家后来称之为“可数的（countable）”集合。

但康托尔无法想出如何以同样的方式比较整数和实数。戴德金很快回信说他也不能——但他已经想出了一个证明，证明代数数（作为代数问题解得到的数字）是可数的。“我不会写所有这些，”戴德金在信的结尾对康托尔写道，“如果我不认为这个或那个评论可能对您有用的话。”

从那以后，数学上的交流继续进行。受到戴德金进展的鼓舞，康托尔在接下来的日子里继续攻克剩下的问题——实数。他能否最终证明，与代数数不同，它们是一个比整数更大的无穷大？

1873年12月7日，他写信给戴德金，说他认为他终于成功了：“但如果我是在自欺欺人，我肯定找不到比您更宽容的评判者了。”他阐述了他的证明。但它很笨拙，复杂难懂。戴德金回信提出了一种简化康托尔证明的方法，构建了一个更清晰的论证，同时没有失去任何严谨性或准确性。与此同时，康托尔在收到戴德金的信之前，也给他寄去了一个类似的想法，关于如何简化证明，尽管他没有像戴德金那样把细节弄出来。

康托尔思考着他手中掌握的东西：两个集合，都是无穷的，但其中一个在某种意义上比另一个更大。其含义是革命性的。他开始梦想不只是有一个无穷，而是有一个完整的无穷层级。如果无穷可以如此具体地比较，那么它们一定是真实的，而不仅仅是修辞方式。

他意识到，他的证明有可能撼动数学界的核心。但这也必然会激怒一些最杰出的人物。

其中一个人物是利奥波德·克罗内克，一位厌恶无穷的数学理论家。他不相信数轴上那些紧密堆积的角落和缝隙。根据证明了π不是代数的（你永远无法提出一个普通的代数问题以π为答案）的数学家费迪南德·冯·林德曼的说法，克罗内克曾告诉他，他的工作毫无价值，因为这种“超越数（transcendental）”根本不存在。

对利奥波德·克罗内克来说，无穷在数学中没有位置。当康托尔挑战这一信念时，克罗内克开始着手摧毁他的声誉，并阻止他发表。

克罗内克也是数学界的一个重要把关人。他是世界上最著名的数学出版物之一《克雷勒杂志》（Crelle's Journal）的编委。而且他从不犹豫利用自己巨大的影响力来推行他的保守议程。他常常会决定哪些成果能迅速——或者根本不能——传到其他数学家手中。

康托尔在与他的导师卡尔·魏尔斯特拉斯讨论后，想把这些发现发表在《克雷勒杂志》上。他想，在那里，他能够将无穷带入主流。向全世界揭示上帝的思想。成为数学地平线上的一颗闪耀之星。

康托尔的使命感，他内心那种“秘密的声音”，开始膨胀。

康托尔与克罗内克关系良好。但几年前，戴德金曾在一个重大成果上抢在克罗内克之前发表，而克罗内克对他的厌恶是众所周知的。如果康托尔提交一篇与克罗内克的宿敌合著的论文——一篇公开宣称存在多种大小的无穷的论文——它可能永远无法发表。

于是他做了两个决定。

第一个是建造一个数学上的“特洛伊木马”。

魏尔斯特拉斯对代数数可数的证明最为兴奋。（他后来会用这个结果来证明他自己的一个定理。）所以康托尔选择了一个误导性的标题，只提到了代数数。

但他把这个证明——戴德金的证明——看作是诱饵，是他可以用来撬开被禁止的无穷之门的一个楔子。在撰写论文时，康托尔把关于代数数的证明放在前面。在它下面，他加上了他自己关于实数不可数的证明——也就是戴德金的简化版本。康托尔淡化了第二部分真正的重要性。“他特意选择了一种不会引起克罗内克和所有那些憎恨无穷的人怀疑的措辞，”戈斯说。

康托尔的第二个决定是声称自己是唯一的作者。他小心翼翼地抹去了他合作者贡献的每一丝痕迹，包括那些知情人会认出是戴德金风格的术语的零星使用。

以典型的康托尔风格，他在一天之内就把论文拼凑起来，提交给了《克雷勒杂志》。第二天早上，也就是1873年的圣诞节，他给戴德金寄了一封信，告诉他魏尔斯特拉斯说服了他发表。“正如您将看到的，”他写道，“您的评论，我高度重视，以及您阐述某些要点的方式，对我帮助很大。”

书写故事

康托尔欺骗行为的第一个证据是在20世纪初由另一位伟大的德国数学家发现的。埃米·诺特是戴德金的追随者。她常常诗意地谈论他的数学先见之明。正如她喜欢告诉学生的：“一切都已经在戴德金那里了。”1930年，她正将他所有的数学著作收集成四卷出版时，偶然发现了他保存的一些与康托尔的通信。她与法国哲学家让·卡瓦耶合作，也把这些信件收集并出版。

著名数学家埃米·诺特帮助收集了康托尔不当行为的第一个证据。

那时戴德金和康托尔都已去世十多年了。诺特和卡瓦耶花了接下来几年时间追寻戴德金遗产中的信件。1933年，阿道夫·希特勒上台后，身为犹太人的诺特从德国逃往美国，两年后因癌症在那里去世。但卡瓦耶在1937年完成了他们的项目。

书中呈现的通信很奇怪。它始于1872年康托尔和戴德金相遇后不久的一连串信件。这些来自戴德金遗产的信件，只包括他收到的那些，不包括他寄给康托尔的。然后通信在1874年1月突然中断，随后是几年的沉默。当通信在1877年恢复时，戴德金自己写给康托尔的信也出现了。戴德金显然决定把他寄给这位数学同行的一切都留一份副本。

还有一张似乎是戴德金在看到康托尔1874年在《克雷勒杂志》上发表的文章后给自己写的便条。在便条中，他叙述了他如何把论文中的第一个证明和第二个证明的修订版寄给康托尔——结果仅仅几个月后，它们就“几乎逐字逐句”地以康托尔一个人的名义出现在出版物上。

戴德金从未公开提出这一指控，诺特和卡瓦耶也没有对此发表评论。“我认为对他们来说，这是一个非常刻意的决定，什么都不说，只是让信件自己说话，”塞维利亚的历史学家费雷罗斯说。“那是当时的荣誉准则。”

其他人也没有注意到这一点——至少没有公开指出。最早由康托尔的数学弟子们撰写的传记，只是赞美了他的天才。

戈斯拿着康托尔和戴德金通信的首次出版记录。

几十年后，像艾弗·格拉顿-吉尼斯这样的历史学家重新审视了康托尔-戴德金的通信。格拉顿-吉尼斯拼命试图找到戴德金在1873年寄给康托尔的那些信——那些可能证明康托尔不当行为的信。据推测，它们在他死后被留在了哈勒大学的办公室里，但现在却无处可寻。格拉顿-吉尼斯得出结论，它们很可能在第二次世界大战期间丢失了，或者在1945年美国及苏联军队占领哈勒后随之而来的破坏中遗失了。

没有这些信件，格拉顿-吉尼斯和他同时代的人决定不指控康托尔有道德失当行为。一些人认为他的行为得到了戴德金的许可；另一些人则原谅了他的选择，因为是他开始了这次通信，并且想出了那个更重要的第二个证明的初版。

但当戈斯在2024年制作播客时了解到这段历史，他感到愤慨。他只能找到一篇明确讨论康托尔不当行为的文章。在1993年的一篇论文中，费雷罗斯指控康托尔剽窃并发表了戴德金的工作而未署名。但其他康托尔传记作者立即对费雷罗斯的说法提出反驳，认为这是对所发生事情的过于极端的解释。而且，没有戴德金丢失的那封信，就没有所谓罪行的真正证据——只有戴德金事后写的便条。谁能那么肯定其说法是真的呢？

何塞·费雷罗斯，塞维利亚大学的数学史家和哲学家，是第一个在出版物中指控康托尔剽窃的人。

这仍然是数学史家之间一场不起眼的争论，康托尔作为孤独天才的神秘感得以延续。

戈斯想在他的播客中讲述真实的故事——并且用证据支持它。他看到了一个方法。但这希望渺茫。

“他们总是说这些信件在战后丢失了，”他说。这让他耿耿于怀。“毫无疑问，很多东西丢失了，但这并不意味着没有别的东西幸存下来。”

许多伟大的历史学家都曾寻找过这些信件，但都一无所获。戈斯才刚刚开始他的研究。但所有专家都可能漏掉了什么吗？

孤独的生存

康托尔在《克雷勒杂志》上的论文并没有引起巨大轰动，因为数学家们大多没有注意到他隐藏在字里行间的内容。但他打响了第一枪，开启了他对数学现状的终身攻击。他在数学界最重要的期刊上发表了一个证明，证明无穷有不同的大小。这最终将迫使数学家们重新思考该领域的基础——决定其最基本的规则及其后果。

与此同时，戴德金不再回复康托尔。他们几乎有三年完全没有通信。然后，出于不完全清楚的原因，戴德金谨慎地重新接触。但这一次，他保存了每封寄出信的草稿：一份留作记录。

两人又开始讨论无穷。康托尔计划跟进他关于无穷有多种大小的工作，并希望得到建议。他的信现在更带有恳求的意味，而戴德金则更加谨慎。但通信是富有成果的，康托尔很快向《克雷勒杂志》提交了一篇新的、更大胆的论文——这次没有伪装。

克罗内克强烈反对。他利用自己在柏林圈子的所有影响力，尽可能地拖延审稿过程。但几个月后，魏尔斯特拉斯和其他人代表康托尔出面干预，论文最终出现在杂志上。

又一次，戴德金写给康托尔信中的想法未经署名就出现在论文里。又一次，戴德金中断了他们的通信。

康托尔或许最终会后悔与他仅有的知识盟友之一决裂。他一直努力想把哈勒这个数学的偏僻之地变成从他工作中发展出来的新领域——集合论——的中心。他实现这一目标的最佳机会是聘请戴德金。1882年，他试图招募他，好像什么都没发生过一样。戴德金礼貌地拒绝了。

随着康托尔继续发表关于无穷的成果，克罗内克致力于让数学界反对他。他称康托尔为“青年的败坏者”和“叛徒”。当康托尔试图离开哈勒，于1883年申请更负盛名的柏林大学的职位时，那里的教授克罗内克阻止了他的任命。其他数学家，包括康托尔的一些朋友，也开始劝阻他发表成果。

康托尔将所有这些抵制都视为针对个人的。“他渴望得到认可，”戈斯说。“但做与别人不同的事情，其本质就是他们会不喜欢。”1884年，康托尔因一次严重的抑郁发作而住院。随着时间的推移，他变得越来越孤立。“有一种模式，”费雷罗斯说。“他与许多同事的关系都以糟糕的结局告终。”

康托尔在后期的照片中常常显得自信而强大。但在他自信的外表下，他是孤独和焦虑的。

最终，康托尔成了他父亲警告过他的那种反对力量的牺牲品。当他一次又一次地被认为理应获得的学术职位和荣誉被拒绝时，他的使命感让位于怨恨。他的抑郁症复发了，在接下来的二十年里，他多次住院。1917年，他最终被送进一家疗养院，在那里他定期给妻子写信，恳求她让他回家。他于次年去世。

康托尔被迫退到了边缘。但他的想法逐渐在年轻一代数学家中获得了关注。他们在康托尔的工作中看到了从头重写整个数学的潜力。

幸运的发现

戈斯也想做一些改写工作。在他2024年的播客中，他报道了康托尔和戴德金之间的冲突。但由于未能发掘出任何新证据，他发现很难改变这场争论。他转向了其他项目。

尽管如此，他无法放下这个故事。

他在空闲时间继续挖掘关于丢失信件的线索。“我不认为还有哪本书是我没有的，”他说。他尽可能地追踪原始资料，仔细查阅大学档案馆。“我指的是那些在一篇文章中只被一行提到过一次的原始资料。”

就这样，在2024年夏天，他偶然发现了一封看起来像是戴德金写给康托尔的信的部分扫描件。它在一个名为“Georg-Cantor-Vereinigung”——格奥尔格·康托尔协会——的网页上。“这是一群试图保持康托尔记忆的人，”戈斯说。这封信是1877年的，远在冲突之后，所以戴德金的草稿已经存在于历史记录中。但从未有过他寄给康托尔的那份副本的任何记录。戈斯尝试联系该组织的多位成员，但没有得到回复。

几个月后，他再次访问该网页。但这一次，他注意到在扫描件下方，网站提到2009年有人捐赠了来自一位继承人的信件。他追查那位继承人可能是谁，在仔细查阅了许多家谱和其他文件后，他终于找到了安格莉卡·瓦伦博士——康托尔的曾孙女，她似乎住在哈勒。

当他打电话给她时，她告诉他，她对数学一无所知（实际上她是位考古学家），但她希望把她拥有的所有信件都提供给历史学家研究。她把它们交给了哈勒大学（现在正式名称为马丁·路德·哈勒-维滕贝格大学），最后它们到了康托尔协会主席、一位名叫卡琳·里希特的数学教授手中。

戈斯找到了里希特。于2025年3月到达她的办公室。打开了她递给他的那个薄薄的蓝色活页夹。

他本以为会看到康托尔协会网站上贴出的那封戴德金的后期信件。这会像他追寻其他原始资料一样——是验证已知信息和或许获得一些新见解的好方法。

但摆在他面前的，是他渴望寻找了一年多的那封信。他确信这一点。尽管戴德金那细致、华丽的笔迹不知何故比康托尔不均匀的潦草字迹更难辨认，戈斯能看到信纸上散布着“algebraischen Zahlen”这个词组：即“代数数”。而在信的末尾，毫无疑问，是署名：“致以最诚挚的问候，您最忠诚的 R. 戴德金——不伦瑞克，1873年11月30日。”

里希特到底知不知道她手里有什么？他要了扫描件。里希特说她会考虑一下。

这是戴德金1873年11月30日写给康托尔的信，遗失了一个多世纪。在信中，戴德金提供了代数数集合与整数集合大小相同的证明——康托尔后来剽窃了这一成果。

在回家的火车上——这是他当天的第二次五小时旅程——戈斯思忖着他所掌握的发现。他知道情况很微妙。当他提起康托尔背叛戴德金的事时，他经历过德国数学家们的不屑一顾。“骄傲是德国人通常不太愿意表露的情感，”戈斯说。“但我们为康托尔感到骄傲。”很难找到比里希特更狂热的康托尔粉丝了，而且她似乎并不急于分享扫描件。

两天后，当他拨打里希特的电话号码时，他的希望沉到了谷底。该号码已停止使用。“你怎么跟人说这事呢？你知道，我跟这位女士谈过，她似乎不太乐意分享这些信件，所以我打电话给她，她的号码却不存在了，”他说。“得了吧，德米安，得了吧！”他责备自己当时太客气，没在里希特的办公室掏出手机开始拍照。

接下来的一个月，他联系了所有他在哈勒认识的人，恳求他们想办法找到里希特。“我开始觉得自己要疯了，”他说。“她真的存在吗？”终于，里希特的一位同事告诉他她下一次上课的时间和地点。他在四月又做了一次十小时的往返旅行，里希特解释说她已经换了电话供应商。她递给他一份扫描件和誊本。虽然只有一封信，但正是那封关键的信。

又过了一个月，又一次长途跋涉，里希特交出了另一封戴德金的信，这次是1873年夏天的。戈斯不知道他是否还能负担更多这样的旅行：“我并不富有，”他说。他认为是时候让世界知道他的发现了。

戈斯阅读那封丢失信件的扫描件。

更真实的遗产

如今，康托尔的声望远超戴德金。

两人都为数学基础做出了重大贡献。但康托尔常常被认为是驯服了无穷并发明了集合论的人，而集合论是现在所有现代数学所使用的语言。他作为历史上最伟大数学家之一的声誉，通过传记和畅销书得到了巩固，他是少数几个在数学界之外也被知晓的数学家之一。

没有英文版的戴德金传记。他的维基百科页面长度是他昔日朋友的四分之一。在数学家中——很大程度上归功于诺特的努力——他保留着作为一位鲜为人知的远见者的声誉。“我对戴德金了解得越多，就越印象深刻，”圣母大学的集合论学家和哲学家乔尔·戴维·哈姆金斯说。“康托尔证明了所有这些伟大的定理，但戴德金可能是更伟大的数学家。”

康托尔1874年论文背后的真实故事已经公开存在了90年。但这并不是人们喜欢讲述的那种故事。“每个科学分支都需要一个英雄，”费雷罗斯说。“化学有拉瓦锡，力学有牛顿，相对论有爱因斯坦。总是有这一个，只有一个。但这总是谎言。”

自从挑战这个谎言以来，戈斯遇到了阻力。当他分享他发现了那封丢失的信件时，数学家们质疑其重要性——尤其是在德国。他很难让人们明白为什么这很重要。他们的反应呼应了30年前历史学家对费雷罗斯论文的反应。

但这确实很重要。数学常常被视为离现实世界及其缺陷最遥远的科学。它的真理是绝对的。它重视美和优雅胜过一切。重要的是工作本身，是被探索的世界。其他一切，包括作者身份和功劳，都是次要的。

但这掩盖了追求科学真理的实际情况。“数学是一项集体事业，”费雷罗斯说。“即使在集合论的情况下，你也没有这样一个绝妙的例子，证明是单个人发明了整个东西。”

这也掩盖了数学是由人完成的事实。不可能将自我、观点和个人缺陷与工作本身分开。“太好了，”戈斯喜欢对那些否定康托尔不当行为的数学家们这样回应。“你下一篇论文，匿名发表。然后我们再看看它是否关乎科学。”当涉及到自己的工作，数学家们非常在意功劳。他们中许多人近乎百科全书式地知道谁提出了哪个定理，谁赢得了哪些奖项。

关于康托尔成果的真相揭示，并没有削弱他的遗产。他仍然是第一个证明实数比整数多的人，这最终开辟了对无穷的研究。“在我看来，真正重要的是第二个定理，”哈姆金斯说。而那个定理的原始证明并不是戴德金的。

但认识到戴德金在数学史上最伟大发现之一中的作用，以及康托尔决定不给他署名，仍然很重要。归根结底，康托尔的选择只是把他从英雄降格为凡人——一个更诚实的形象。“康托尔是个不太容易与人交往的人，”里希特说。“这对康托尔来说非常非常困难。”

“他当时非常年轻，非常充满激情和热忱，”费雷罗斯说。“他犯了一个大错误。”

归根结底，这才是更好的故事——因为它是真实的。

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