金融学的“维数灾难”被破解？数学家用深度学习打开新途径

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编者按：
一个真实的金融市场，可能同时受到几十、上百甚至上千种因素的影响，从资产价格、利率变化、市场波动、投资者行为、时间跨度，到投资组合中成百上千只股票的联动、瞬息万变的市场环境，这些情况，使得金融学核心问题的解决，往往像是在一场多维空间的迷宫中寻找出口，动辄成千上万维度的变量交织在一起，构成了金融工程中最为坚硬的堡垒——“维数灾难”。
在金融工程中，被称为“母方程”的 Hamilton-Jacobi-Bellman equation（HJB方程），正是这一困境的集中体现。它是随机最优控制理论的核心工具，用于刻画跨期最优决策问题，例如动态资产配置、风险管理等。然而，高维、强非线性以及粘性解等数学特性，使得HJB方程长期以来难以被有效求解。本文将带您了解一些令人振奋的新进展。

撰文｜汤涛

责编｜李珊珊‍

在过去半个多世纪的科学探索中，人们曾发展出一系列成熟而可靠的科学计算方法，例如有限差分法、有限元法、谱方法、蒙特卡洛法以及离散傅里叶变换等。在这些方法的基础上，诞生了众多功能强大的科学计算软件：从基于有限元的工程仿真平台，到基于快速傅里叶变换的信号处理工具，极大推动了科学与工程仿真的发展与完善。如今，无论是飞机、汽车、火箭、高铁等先进装备的研制，还是信号处理、图像处理、人脸识别与手机设计等关键技术的实现，都离不开这些科学计算软件的助力，它们已成为推动人类科技进步、提升生活质量和探索宇宙奥秘的得力助手。

这些科学与工程的进步都建立在牛顿力学、量子力学，以及芯片设计、材料科学与化学等基础学科的持续突破之上。然而，传统数值计算方法的发展也遭遇一个根本性瓶颈——“维数灾难”：由于它们通常依赖网格剖分或傅里叶展开，计算成本随问题维数呈指数级增长，因此大多只适用于低维情形。面对金融学中动辄成百上千维的复杂问题，这些方法就显得捉襟见肘、举步维艰了。

01 金融问题的高维特性与难解的HJB方程

金融问题为什么会有这么大的“维数”？

核心原因在于金融系统本身是多因素驱动的复杂动态系统：研究者往往需要同时刻画资产特征、市场环境、参与者行为、时空维度等多层级变量，单一或仅依赖少数变量难以解释或预测金融现象。因此，高维性是对现实金融世界的客观映射，也由金融研究的目标和应用需求所决定。简单来说，金融问题的“维数”可以理解为分析时需要纳入的独立变量数量。比如在投资组合管理中，需要同时刻画多支股票各自的特征及其相互相关性，使得需要纳入分析的变量数量显著增加。正是这些维度的叠加与交织，构成了金融问题天然的高维特征。

此时，便出现了HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman方程），它得名于哈密顿、雅可比和贝尔曼三位学者，本质上是贝尔曼的动态规划原理在连续时间、含随机性的决策场景中的数学表达，与经典力学中的哈密顿–雅可比方程有密切联系。HJB方程既是随机最优控制理论的核心方程，也是动态经济分析中刻画最优决策的基础数学工具。因它能统一描述经济学中各类跨期最优选择问题，被称为金融工程的“母方程”。

最优控制理论的一个相关例子是投资组合管理中的动态资产配置问题。该问题的目标是在给定的时间范围内对收益与风险进行权衡：在既定风险水平下最大化预期收益，或在目标收益水平下最小化风险。这里的风险通常用量化指标（如投资组合方差或风险价值）来衡量。该问题的被控系统即是投资组合本身，它的状态由各类资产（如股票、债券、现金）的配置比例及其各自的价值共同决定，这些资产价值会随着市场动态的变化而变化。而控制的手段则是通过动态调整资产配置比例，从而更好地权衡收益和风险。

最优控制理论为动态资产配置问题提供了强有力的数学工具。它能够确定如何以及何时对投资组合进行再平衡，并在决策过程中综合考虑交易成本、市场影响、流动性约束以及不断变化的市场环境等多重因素，从而实现既定的控制目标。在实际应用中，这一过程可归结为对HJB 方程的求解，进而获得最优的反馈控制策略：根据当前市场状况和资产价格的预测随机演变，制定何时以及如何重新平衡投资组合的规则。

然而，实际金融问题的高维特征直接导致了HJB方程的高维性，使得传统数值方法不可避免地遭遇维数灾难。不仅如此，HJB方程本身属于强非线性偏微分方程，其解通常不具备经典的光滑性，而是以粘性解的形式存在。要对粘性解进行稳定且可靠的数值逼近，算法必须具备良好的数学性质（如单调性等）。同时，经济学的现实建模需求：包括非光滑约束、内生边界等，进一步提升了对计算方法的要求。因此，高维HJB方程的求解非常困难，长期以来一直是数学家、经济学家和金融工作者望而却步的大难题。

随着人工智能时代的到来，机器学习和深度学习方法给求解金融学母方程带来了曙光！最近的进展是通过深度学习，可以在人类长期无法想象的上万维高维空间中，寻找出最优控制策略。

02 深度学习方法应对金融问题的维数灾难

有限元数学理论的创始人、中国计算数学的奠基人冯康先生有两句名言：“一个科学家最大的本领就在于化复杂为简单，用简单的方法去解决复杂的问题”，“对同一个物理问题可以有许多不同的数学形式，它们在理论上等价，但在实践中未必等效”，后一句话也可以表述为“数学上等价，但计算上不等效”。这一思想的最新例证，可参见美国数学家、2014年高斯奖得主Stanley Osher及其合作者的近期工作（arXiv:2602.05124）。他们将一类Hamilton-Jacobi方程等价地改写为一个确定性的最优控制问题，后者可通过优化算法直接求解，从而避免对高维偏微分方程进行显式的数值离散，巧妙地避免了维数灾难问题。

HJB方程与最优控制问题同样密切相关，但相较于经典的Hamilton-Jacobi方程，HJB方程还进一步刻画了决策过程中的随机性。正是利用这一随机性，中国科学院数学与系统科学研究院周涛（2025年中国数学会陈省身奖获得者）、美国南卫理公会大学蔡伟（2005年冯康科学计算奖得主），以及中国科学院数学与系统科学研究院的博士后方水鑫，借助概率论中的“鞅”理论，将HJB方程等价转化为随机问题，然后采用基于“随机”方法的深度学习方法，“化复杂为简单，用简单的方法去解决复杂的问题”，使得成千上万维数的HJB方程的数值解在几十分钟之内得到（见本文后参考文献）。

通过随机模型研究偏微分方程的思路由来已久，尤其在科学计算领域，伴随深度学习技术的快速发展，这一思想正焕发出新的活力。早在20世纪中叶，诺贝尔物理学奖获得者理查德·费曼（Richard Feynman）与波兰裔美国数学家马克·卡茨（Mark Kac）提出著名的费曼–卡茨公式，将线性抛物型偏微分方程的解表示为相应随机过程的条件数学期望。 20世纪90年代，法国数学家埃蒂安·巴赫杜（Étienne Pardoux）与中国数学家彭实戈奠定了倒向随机微分方程（BSDE）的理论基础，建立非线性费曼–卡茨公式，从而揭示了非线性抛物型方程与BSDE之间的深刻联系。在此基础上，中国科学院院士鄂维南及其合作者提出deep BSDE方法，借助深度学习对BSDE进行数值求解，实现了高维抛物型方程的有效计算。基于随机思想设计深度学习方法，从而克服维数灾难，这是近年来科学计算领域的一个重要发展趋势。

周涛、蔡伟等人将随机方法与深度学习相结合求解HJB方程的工作，正是沿着这一脉络的自然延伸。值得一提的是，他们对算法进行了充分优化，使其能够高效利用现代GPU强大的并行计算能力，这也是为什么上万维数的方程可以被短时间内成功求解。并行计算是一种同时使用多个计算资源协同解决某个计算问题的计算范式，核心是把复杂任务拆分成多个可同时执行的子任务，分配给不同处理器并行处理，最终汇总结果，以此提升计算速度、处理更大规模数据。周涛、蔡伟等人的方法还被应用于金融数学中著名的布莱克–舒尔斯（Black-Scholes）模型，这些工作为快速求解金融市场中的复杂问题带来了新的可能性。

参考文献：

• [1] Wei Cai,Shuixin Fang and Tao Zhou,SOC-MartNet: a martingale neural network for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation without explicit inf_u(H) in stochastic optimal controls, SIAM J. Sci. Comput., 47(4), C795-C819, 2025.
• [2] Wei Cai,Shuixin Fang, and Tao Zhou, Deep random difference method for high-dimensional quasi-linear partial differential equations, J. Comput. Phy.,Vol. 555,114767, 2026.