一张不可能存在的图形-兼论正方形内接长方形的条件

图1 正方形内接长方形

上图是在网上看到的一道几何题，正方形内接一个长方形，其中正方形边长为10，根据图形中正方形与长方形的位置关系，求长方形的面积。这道题，考的是等积代换求面积的掌握程度。熟悉等积代换算法的家长或学生，很快给出了如下答案：

这个答案正确与否，暂且不去讨论。

本文要讨论的，是这幅图合理不合理。为了方便讨论，在图中增加两条线段，图中，4×1的中心小矩形，由于长方形斜置产生的。显然，△EFK≌△HGC，于是得到，AE=HC，AF=GC。

图2

接着，可以标出正方形各部分的长度，如下图：

图3

那么，问题来了，∠FHG=90°吗？这图明显看出来，它不等于90°呀！有网友可能会说，几何图就是示意图，画的不准，你把它当做90°做题，就可以了，只要不影响思考问题，又何必较真。我想告诉大家的是，本题不是画的不准，这图神仙也画不准，因为一个长方形内接与正方形，根本不存在上图这种摆放关系。

接着分析，假如∠FHG=90°，必有∠FHB+∠GHC=90°。若两角的和等于90°，两角的正切函数值的乘积必等于1。咱们来看看这图的∠FHB与∠GHC正切函数值的乘积。

显然，tan（∠FHB）× tan（∠GHC）≠1。所以，按照本题给的数据，四边形EFHG根本就不是长方形。

下面，再深入一步，讨论一下正方形内接长方形，长方形与正方形的关系约束。

图4

作为一般性讨论，设正方形的边长为L，其它线段用a、b表示。当∠FHB+∠GHC=90°时，应有

上述方程的解为：（1） a = b ; (2) a+b = L，也就是说，长方形内接于正方形，必须满足这两种情况之一。

（1）当a=b时，△AEF和△CGH是等腰直角三角形，图中心小矩形的边长L-2a=L-2b，中心小矩形是正方形。

（2）当a +b =L时，内接的绿色长方形是为正方形，此时中心小矩形也是正方形。

综上所述，正方形内接长方形，由于长方形斜置产生的中心小矩形，只能的正方形，不可能是长方形。

所以，图1中，中心小矩形边长分别是1和4，是不可能的。

后记：怎么会想起来讨论这个问题，有什么意义呢？起因是，在拿这道题给孩子讲解时，发现图真的太不像长方形了，就打算重新绘制一图，但发现无论怎么摆都不能按原题数据画出理想的图形。就开始怀疑，是不是数据有问题，深入思考下，发现真是数据有问题。干脆，从理论上分析一下。

结论有什么用呢？纯属兴趣使然，不求有什么用。当然，在网上发题时，注意一下，别发这种数据与图形不恰的题，对发题者，也是善意提示。

也许，很多网友早就发现了此问题，我或多此一举了。