英国皇家学会汇刊：为什么我们走路不用“算”？藏在腿部结构里的力学智能

导语

不论哪种动物，都能够行走，奔跑甚至攀爬。当腿部受伤导致失能，动物的生存往往受到威胁，人的生活质量也会严重下降。理解动物行走背后的原理，即是关键的基础研究，又能对治疗及机器人设计都有帮助。2007年英国皇家学会的一篇综述，讲述了行走和跑步的基本物理学原理，并解释涉及的因素对腿部系统全局特性、几何形状和控制的影响，特别是对于稳定性和穿越粗糙地形时的影响。该研究揭示了与腿式机器领域相关的结构和控制原理，可指导类人机器人的设计，展现了仿生带来的智慧。

关键词：生物力学 (biomechanics)、稳定性 (stability)、分段 (segmentation)、冲击 (impact)

郭瑞东丨作者

赵思怡丨审校

论文题目：Intelligence by mechanics 论文链接：https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/17148057/ 发表时间：2007年1月15日 发表期刊：Philos Trans A Math Phys Eng Sci

类似弹簧的腿部运动

对于像人体或机器人这样具有多个自由度的复杂系统，直接控制每一个关节是非常困难的。因此，需要一个更高层次的、简化的模型来指导整体的运动控制，就像驾驶员通过控制方向盘来控制汽车，而不需要关心每个轮胎的具体转动一样。对于行走，弹簧-质量模型就是这样一个理想的模板。

对运动的理解，源自上世纪60到70年代，一群拿着压力感应板（力台）的科学家。他们发现，走路的时候，身体的总机械能（势能+动能）的变化节奏是错开的——当动能攒满爆发时，势能正躲在谷底歇着呢。

为了解释上述现象，科学家搬出了“倒立摆”模型。你可以脑补一个马戏团的高手，单脚稳稳顶着一根长杆，杆子尖儿上再放个保龄球。走路时，你那条落地的腿，就相当于那根又长又硬的长杆，而你的上半身和脑袋，就是那个岌岌可危的保龄球。

你迈开左腿，左腿瞬间“石化”成一根铁棍，把身体这个“保龄球”支在半空。右腿悬着，像钟摆一样荡出去。当“保龄球”从左腿顶端滑到右腿顶端时，左腿负责把身体“抡”起来（增加动能），右腿则负责接住并稳住重心（增加势能）。这一抡一接，就完成了一次能量错峰。

然而，上述模型无法准确预测地面反作用力随时间变化的完整曲线（即“足迹”），在行走的站立中期，测力台数据显示地面反作用力曲线呈独特的 “双峰”或“骆驼背”形状——即有两个明显的波峰。僵硬的倒立摆模型预测的地面反作用力是单一、平滑的驼峰状，无法复现“双峰”特征（图1c）。

对此，科学家提出的针对运动的下一个模型是弹簧-质量（spring-mass）模型。该模型将身体视为一个质点，将腿视为一根弹簧。着地时弹簧被压缩，储存能量；离地时弹簧释放能量，将身体推离地面。

行走时，腿并非完全僵硬。它表现出一种“拟弹性（quasi-elastic）”，当一只脚（如右脚）刚着地时，身体重量仍部分由另一只（左脚）支撑。随着右腿“弹簧”被压缩，负荷逐渐转移到右腿，左腿被卸载。这个动态的加载过程产生了第一个力峰（图1a）。在步态中期之后，右腿“弹簧”继续运动，经历一个轻微的卸载和再加载过程，产生第二个力峰，此时左脚即将着地开始新的双支撑期。由此形成了图1c的双峰。

与行走时不同，在跑步中，势能和动能是同相波动的（同时达到最大和最小值）。身体在弹跳的最高点，势能和动能都最小；在着地压缩的最低点（图1d），势能和动能（在水平方向上）的转换也符合弹簧的物理规律（图1d）。

图1：行走（a，c）和跑步（b，d）的单次接触从顶点到底部的弹簧质量模型。

在弹簧-质量模型中，行走和跑步共享同一个“弹性模板”。它们并非由不同的控制算法支配，而只是同一套弹性机制在不同能量和参数（如刚度和触地角）下的不同表现。这简化了我们对步态的理解和控制，无论是昆虫还是大型的脊椎动物，当不同尺度的动物腿部被放到一起比较时，通过对体重和腿长进行标准化后，发现它们奔跑时采用的腿部刚度是相似的。这表明自然选择在截然不同的尺度上“发现”了相似的力学最优解。

弹簧-质量模型还为机器人设计提供了蓝图。不必为机器人的每个关节设计极其复杂的控制算法，而是可以先确保其腿部在整体上能像一个弹簧一样工作（即实现“模板”），然后再用“锚定”控制去精细调节细节。这种基于简单物理原理的控制策略往往更强大、更高效。

行走 vs 奔跑：

分段腿的“双簧戏”与“弹簧协奏曲”

图2：分段腿在跑步机以 2 米/秒速度行走和跑步时的运动学。

腿部分段并非被动地跟随运动，而是主动适应不同步态力学需求的智能设计。行走时，节段间复杂的时序差创造了高效的倒立摆与轮缘机制；奔跑时，节段则协同工作，构成一个高效的弹簧质量系统。腿部分段的第一个好处——“复用性”由此显现。通过调度不同关节的“戏份”，同一套机械结构就能在“节能滚动的倒立摆”（行走）和“高效弹跳的弹簧”（奔跑）两种模式间无缝切换。

大腿，小腿和脚的比例之间有关系

人的脚相比大腿及小腿之间的比例因何而定？脚的长度是由站立的需求决定的，还是有其他因素在起作用？例如，在跑步时使用人体腿部几何形状是否也有利？该文通过实际观察到的数据，指出人类这种“大腿-小腿-脚”的不对称三段式设计，是个“力学作弊器”，能产生更高的“有效机械效益”。

理论计算得出，当一个较短的、未与腿轴对齐的脚部（长度约是大腿的0.4倍）参与工作时，整个腿的力学优势最大。这种不对称设计使得在支撑身体时，关节所需的扭矩更小，也就更节能（图3a）。

图3：一个长度为大腿长度 0.4 倍的有效脚，有助于避免结构不稳定。

不对称的设计（脚短，大腿长）提供了极高的有效机械效益。这意味着，你的肌肉只需花较小的力气，就能在腿部产生强大的支撑力，就像用一根杠杆轻松撬动重物一样。

此外，大腿，小腿以及脚部的长度不同也有妙用。对称的腿部设计（图3b）在受压时容易发生“结构失稳”（突然弯曲），而人类的不对称设计（图3c）能巧妙避开这个陷阱，工作起来更稳定。

腿部的不对称设计将复杂的控制难题，通过身体本身的机械结构“硬件”解决了。这让大脑这个“软件”得以解放，我们才能一边悠闲地散步，一边思考晚上吃什么这种人生大事。这完美诠释了论文标题“Intelligence by mechanics”的精髓，最高级的算法，往往被直接编码在硬件设计之中。这其中的仿生学原理，值得机器人设计借鉴。

藏在硬件里的自我稳定性

想象一下，你正骑着一辆自行车快速下坡，突然路上出现一个小石子。你的车把猛地晃了一下，但还没等你的大脑发出“握紧车把！”的指令，你的身体和车子已经自动调整，恢复了平衡。这种不靠主动思考、而是靠系统自身物理特性实现的稳定能力，就是“自我稳定性Self-stability”的精髓。而在行走和奔跑中，我们的身体也通过自身硬件设计实现了自我稳定性。

图4a中的一个弹簧质量模型（代表跑步者）遇到一个台阶（地面高度变化）。它既没有改变腿的刚度，也没有特意调整落地的角度，却成功地吸收了冲击，并在下一步恢复了正常节奏。

图4：弹簧质量模型在消除阶跃冲击时不改变刚度或触地角度

当“弹簧腿”以正确角度踏上台阶时，冲击本身会改变系统的状态（如缩短了腾空时间），但这个变化恰恰会引导系统在下一步自动调整起飞角度，从而补偿刚才的高度差，最终回归稳定循环（图4b）。整个过程无需传感器探测台阶，也无需大脑发出纠偏指令。

在脚触地前，我们的腿会有一个向后“扒地”的动作。这个动作妙就妙在：如果地面突然升高（台阶），回撤动作会自然导致一个更平的落地角；如果地面降低，则会导致更陡的落地角。这种基于回撤的“预适应”机制，极大地拓宽了自我稳定的角度范围，让我们能更从容地应对不可预测的地形。上述回撤程序可以仅用一步就完全抵消地面的扰动。

图5：上楼梯时的腿部压缩（a, b）和地面反作用力（c, d），其中楼梯高度不同

图5是在不同高度台阶的粗糙地面上奔跑时，腿部压缩（a, b）和地面反作用力（c, d）。（a, c）为实验结果；（b, d）为无弹性双节段伸肌模型的模拟结果。这张图通过对比人类实验数据和简单机械模型的模拟结果，有力地证明了：即使在不平坦的地面上，奔跑的动物（包括人类）也能通过调整简单的全局参数（如触地时的腿长和角度）来维持稳定的运动模式，而无需复杂的感官反馈和精细控制。

肌肉：不仅是发动机，更是智能减震器

要实现自我稳定，光有弹簧腿的骨架还不够，还需要“执行器”——也就是肌肉。肌肉在维持自稳定性上扮演了三个关键角色：

1. 可调弹簧：通过力反馈机制，肌肉能表现出类似弹簧的性质，但这根“弹簧”的刚度可以根据需要实时调整。

2. 非对称阻尼器：这是肌肉最“智能”的一点。它像是一个非对称的减震器：被拉长时（如落地缓冲）阻力很大，能有效吸收能量；主动缩短时（如蹬地发力）阻力很小，非常高效。这种特性对于瞬间稳定冲击至关重要。

3. 内置的冲击保护：我们的肌肉群是悬吊在骨骼上的。当你脚踏地面时，巨大的冲击能量首先被肌肉组织的粘弹性吸收和缓冲，而不是直接冲击关节和大脑。这就像一个高级的悬架系统，保护着更精密的“车身”结构。

图6：了肌肉的粘弹性悬吊模型。(a) 大腿和小腿上的肌肉质量被模拟为具有粘弹性悬吊。(b) 实测数据显示，小腿表面的加速度（实线）呈现延迟的阻尼振荡，这表明冲击能量被有效地耗散了。

文中还提到双关节肌（如连接膝关节和踝关节的腓肠肌）的特殊作用。在行走时，双关节肌有助于协调膝、踝关节的“推-拉”运动。它们能在关节之间直接传递能量，提高运动效率。例如，在奔跑蹬离地面时，髋部伸展的能量可以通过双关节肌直接传递到踝关节，实现更高效的推进。

肌肉作为一个集驱动、传感、弹簧、阻尼器、减震器于一体的终极智能材料。它的特性被深深地“编码”到了运动系统的力学设计之中。凭借其内在的力-速度特性（负斜率阻尼）和潜在的正力反馈，肌肉为系统提供了应对扰动的瞬时稳定能力，弥补了神经信号传递的延迟。

作为可变弹簧和阻尼器，肌肉实现了行走时的能量循环和奔跑时的弹性储能，极大提高了效率。通过粘弹性悬置的方式，肌肉被动地、高效地吸收了运动过程中不可避免的冲击，保护了身体结构。

因此，建造一个像动物一样奔跑的机器人，不仅需要模仿骨骼的形态，更关键的是要开发出具有肌肉般综合特性的新型驱动器。

仿生学教会机器人设计与控制的准则

将生物学中揭示的力学智能（如弹性、自我稳定性、分段设计）有意识地应用于机器人的“构造”和“控制”中，可以极大地简化控制难题、降低能耗、并增强机器人在复杂环境中的鲁棒性。

具体先看机器人的设计，需要遵循下面7条准则:

1. 速度自适应的腿部柔顺性：腿的刚度应能根据速度自动调整。这确保了从行走跑到奔跑的动态正确性和平稳性，包括平稳的步态转换。

2. 关节刚度与分段的匹配：各关节的刚度必须与腿的几何分段相匹配，以确保（例如膝和踝）共同为整体的腿部柔顺性做出贡献。

3. 人型的分段与取向：类人的分段（大腿、小腿、足）及其相对长度和角度，被证明可以节省能量并支持结构稳定性。

4. 弓形配置作为备选：在无法实现最佳关节特性时，采用更弯曲的、成本更高的“弓形”腿部配置更为合适，这种配置本身更稳定。

5. 可移动旋转轴：由于机械效益会发生剧变，采用可移动的旋转轴（如人类膝关节）有助于在腿部运动范围内保持稳定的负载。

6. 具备特定内在属性的驱动器：驱动器应具备一定的内在柔顺性和力-速度曲线的负斜率特性。这能确保其在面对扰动时做出即时、稳定的响应，并有助于步态周期的自动化。

7. 驱动器的粘弹性悬置：通过粘弹性方式悬置质量较大的驱动器（如电机），可以大幅减少触地冲击的有害影响。

而在控制上，需要遵循以下9条，可降低对复杂传感和实时计算的依赖，提高控制的鲁棒性：

1. 正力反馈：可用于在关节和腿部层面产生稳定的弹跳行为。

2. 柔顺腿作为控制模板：将柔顺的腿部模型作为核心模板，可以简化动态运动的控制，并易于调整运动速度。

3. 探索自我稳定性：应充分利用自我稳定性来降低控制需求，避免传感信息流的瓶颈。

4. 选择合适的触地攻角：只要腿部属性选取得当，一个合适的触地角就足以实现自我稳定的行走和奔跑。

5. 摆动腿回撤：在触地前使腿向后摆动（回撤），能显著增强自我稳定性。

6. 正确的触地姿态：在触地时使腿部各节段保持正确的取向，可以增强结构稳定性。

7. 差异化的节段使用：通过恰当地激活双关节驱动器（模仿生物体的双关节肌），可以在行走和奔跑中实现类似“换挡”的效应。

8. 拮抗肌的共激活：像肌肉那样的拮抗驱动器的共激活，可以增强稳定性。

9. 可调的冲击吸收能力：通过激活水平，可以调节肌肉式驱动器的冲击吸收能力。

图7 耶拿运动科学实验室建造的三个弹性腿机器人实例

上述原则，已有具体的实践，例如图7a中的单腿弹跳器：验证了弹簧-质量模型作为跑步模板的可行性。图7b的 两段腿跑步机：探索了分段设计的影响。图7c的 双足机器人拥有弹性三节段腿，基于单关节和双关节的弹性耦合，该机器人实现了稳定的、具有类人膝踝关节运动学的行走。

类似的机器人设计，在该文出现后的近20年间，也有不少，例如受生物肌肉-肌腱启发，提出一种可控扭簧腿结构，并引入反馈延迟和屈服弹簧。实验表明，该设计能有效降低能耗，提升腿部敏捷性，同时保证动态性能[1,2]。

这些设计表明，与其试图用强大的处理器和复杂的算法去“压制”机器人的自然动力学，不如在设计和构造阶段就“植入”智能的力学特性（如弹性、分段、质量分布）。这样，控制器的任务就从“微管理”每一个关节，转变为“引导”和“利用”系统内在的、稳定的动力学特性。这种基于“力学智能”的方法，是制造出能像动物一样在复杂、不可预测的环境中高效、稳健运动的下一代机器人的关键。

参考资料

1 并联腿四足机器人的参数优化和步态控制 陈明方1，李明1，张永霞1，陈中平2，莫翔1 （1. 昆明理工大学 机电工程学院，昆明　650500；2. 攀枝花市经济和信息化局，四川攀枝花　617000）

2 Yaguang ZHU（朱雅光）, Minghuan ZHANG（张明换）, Xiaoyu ZHANG（张小雨）, Haipeng QIN（秦海鹏）. Dynamic compliance of energy-saving legged elastic parallel joints for quadruped robots: design and realization. Front. Mech. Eng., 2024, 19(2): 13

https://doi.org/10.1007/s11465-024-0784-4

吴金闪：系统科学导引（三）物理部分

本课程是 《系统科学概论》 课程的后续课程。《概论》是系统科学研究的入门课程。学生需要通过《概论》课程来了解什么是系统科学（系统科学的思想），以及了解一些具体的系统科学的研究方法。系统科学后续课程的目标是在此基础上，学会一些研究方法，体会一些系统科学的研究工作的实例。同时，为了给后续的课程做准备，在《概论》课程之后，专业课程之前，在本课程中，我们要学会一些数学物理的基础。

目前课程主要包含两个模块：数学基础、物理学基础。其中，数学模块主要是集合与映射、矢量空间和概率论。物理模块主要是经典力学、统计力学、计算物理学初步和量子力学。

本课程即是上述课程中的物理基础模块。

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.