掌握二次函数的三种表达式，中考让你多拿二十分

之前和大家聊过二次函数里的“颜值担当”——字母a，它不仅决定了抛物线的开口方向（a>0向上，a<0向下），还掌控着抛物线的宽窄（|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽），而且a≠0是二次函数的前提，这一点可千万别忘啦！

今天咱们顺着这个思路往下延伸，把二次函数的3种核心表达式、顶点坐标求解方法，以及“什么时候该用哪种形式”讲清楚，不管是求最值、求对称轴，还是求函数解析式，都能快速选对方法。

一、 先搞定核心：二次函数的3种表达式（含顶点坐标关联）

二次函数有3种常用表达式，每种都有专属“优势场景”，记住它们的结构和顶点坐标求解方式，做题时能少走很多弯路！

1. 一般式：y = ax² + bx + c（a≠0）

✅ 结构特点：包含二次项（ax²）、一次项（bx）、常数项（c），是最基础的表达式形式。

✅ 顶点坐标：需要通过公式计算，记住这两个核心式子：

- 对称轴：x = -b/(2a)（先求对称轴，再代入求y值）

- 顶点坐标：(-b/(2a)， (4ac - b²)/(4a))

✅ 优越性：

- 形式最完整，能直接看出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，方便求抛物线与y轴的交点（令x=0，y=c，交点为(0,c)）；

- 适合题目中没有明确给出顶点、交点，只给了3个任意点坐标的场景，代入即可解出a、b、c。

✅ 举例：若已知抛物线经过(0,1)、(1,3)、(2,7)三个点，直接设一般式，代入列方程组就能求解。

2. 顶点式：y = a(x - h)² + k（a≠0）

✅ 结构特点：以顶点坐标为核心，(h, k)就是抛物线的顶点！

✅ 顶点坐标：直接读取即可——(h, k)（无需计算，这是它的最大优势）

- 对称轴：x = h（从顶点坐标直接得出）

- 最值：当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k

✅ 优越性：

- 一眼看出顶点和对称轴，求最值、对称轴时无需复杂计算，直接套用；

- 适合已知顶点坐标、或已知对称轴、或已知最值的场景，只需再找一个点的坐标，就能快速求出a的值，进而写出解析式。

✅ 举例：若已知抛物线顶点为(2, -3)，且经过点(3, 1)，设顶点式y = a(x - 2)² - 3，代入(3,1)得1 = a(3-2)² -3，解得a=4，解析式瞬间得出。

3. 两点式（交点式）：y = a(x - x₁)(x - x₂)（a≠0）

✅ 结构特点：以抛物线与x轴的两个交点为核心，x₁、x₂是交点的横坐标（即当y=0时，x的两个解），交点坐标为(x₁, 0)、(x₂, 0)。

✅ 顶点坐标：先求对称轴，再代入求y值：

- 对称轴：x = (x₁ + x₂)/2（两点横坐标的中点）

- 顶点坐标：((x₁ + x₂)/2， f[(x₁ + x₂)/2])（将对称轴x值代入表达式，求出对应的y值）

✅ 优越性：

- 直接体现抛物线与x轴的交点，求交点坐标时无需解方程，一目了然；

- 适合已知抛物线与x轴两个交点坐标的场景，再找一个任意点，代入即可求出a，解题效率极高。

✅ 举例：若已知抛物线与x轴交于(1,0)和(3,0)，且经过点(2, -1)，设两点式y = a(x - 1)(x - 3)，代入(2,-1)得-1 = a(2-1)(2-3)，解得a=1，解析式快速得出。

二、 关键总结：3种表达式适用场景速查表（直接对照用）

表达式类型 核心优势 适用场景

一般式 形式完整，能求y轴交点 已知3个任意点坐标，无顶点/交点信息

顶点式 直接得顶点、对称轴、最值 已知顶点坐标/对称轴/最值，加1个任意点

两点式 直接得x轴交点，求对称轴简便 已知抛物线与x轴两个交点坐标，加1个任意点

三、 易错提醒（避免踩坑）

1. 无论哪种形式，都要满足a≠0，否则就不是二次函数；

2. 顶点式中是“x - h”，若顶点横坐标为负数，要注意符号：比如顶点为(-2, 3)，表达式是y = a(x + 2)² + 3（不是x - 2）；

3. 两点式中x₁、x₂是交点的横坐标，代入时要带符号：比如交点为(-1, 0)和(2, 0)，表达式是y = a(x + 1)(x - 2)；

4. 三种表达式可以相互转化：一般式可通过配方法转化为顶点式，一般式可通过因式分解转化为两点式（前提是能分解）。

四、 小练习（趁热打铁）

1. 已知抛物线顶点为(1, 4)，且经过点(0, 3)，选______（顶点式），解析式为______（y = -(x - 1)² + 4）；

2. 已知抛物线与x轴交于(2, 0)和(4, 0)，且经过点(3, -1)，选______（两点式），解析式为______（y = (x - 2)(x - 4)）；

3. 已知抛物线经过(0, 2)、(1, 3)、(2, 6)三点，选______（一般式），解析式为______（y = x² + 0x + 2，即y = x² + 2）。

五、 写在最后

二次函数的表达式选择，核心就是“缺啥补啥”——有顶点就用顶点式，有交点就用两点式，啥都没有就用一般式。记住每种形式的优越性和适用场景，再结合之前讲的a的作用，二次函数的基础题型基本都能轻松拿下！

快把这篇干货收藏起来，做题时对照着选表达式，效率会大大提升～ 有任何疑问，评论区留言讨论呀！

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