高数里的“无穷小”真的不是0.00…01

如果说高数是一座大厦，那极限就是地基。而地基里最核心的两块砖，就是无穷小和无穷大。.

很多人挂科挂在极限上，不是因为不会算数，而是因为从一开始脑子里的概念就是歪的。比如，你是不是觉得无穷小就是 0.000...01？无穷大就是一个特别大的整数？

停！打住！ 只要你还有这种想法，后面的导数、积分绝对学得一塌糊涂。

今天不整那些晦涩的 ϵ−δ语言（我知道你们看到那个就想吐），就用人话，把这俩货彻底聊透。

一、 无穷小：不是“很小的数”，而是“一种状态”

这是90%的初学者都会掉进去的坑。

记住这句话：无穷小是一个变量，不是一个死数字！

错误理解： 无穷小就是 0.000000001 或者负的很多很多。

正确理解： 一个东西，在变化的过程中，无限趋近于0，但永远不等于0（除了常数0本身），那它就是无穷小。

举个例子：

你想想切西瓜。你手里有把刀，第一刀切一半，第二刀把剩下的一半再切一半，第三刀再切一半……只要你一直切下去，剩下那一丢丢西瓜的大小，就是无穷小。

它一直在变小，目标是0，但只要你切的次数是有限的，它就永远还有渣渣在。

数学语言翻译：

所以，说谁是无穷小，必须先看前提条件（极限过程）！

二、 无穷大：也不是“很大的数”，是“刹不住车”

搞懂了无穷小，无穷大就好理解了。

通俗理解： 它的绝对值在无限增大，你想让它多大，它就能跑多大，根本停不下来。

它俩的关系：互为倒数。

* 无穷小的倒数（分母趋近0），就是无穷大（结果爆表）。

* 无穷大的倒数（分母超级大），就是无穷小（结果趋近0）。

注意： 无穷大虽然不是数，但在计算极限时，它代表一种趋势。

三、 无穷小的阶：谁比谁跑得快？

这一块是考试的重灾区。

既然大家都是趋近于0的，那有没有谁比谁更接近0？或者说，谁“消失”的速度更快？

[抠鼻]

四、 必背干货：等价无穷小替换（做题开挂用）在

的时候，以下这几组简直就是送分童子。背下来，必须背下来！

（这个经常考，别忘了前面的系数1/2）

五、 还有一口气？听我讲完这个致死陷阱！

很多人学会了等价无穷小替换，觉得自己行了，于是遇到什么题都狂换。

然后就死在了加减法上。

【血泪警告】：

等价无穷小替换，原则上只能用于乘除法（积商），不能用于加减法（代数和）！

这道题的正确答案是 1/2。

为什么不能换？

因为加减法中，两个无穷小相减，很可能把“主部”抵消掉了，剩下了更高阶的无穷小，你一替换直接把剩下的精度给扔了，当然算不对。

（解决加减法一般用泰勒公式，那是后话，咱们下次再聊）。

[抠鼻]

1. 无穷小/大是过程，是动态的，不是死数字。

2. 0是唯一的常数无穷小。

3. 等价无穷小替换是计算极限的神器，背熟那几个公式。

4. 乘除大胆换，加减要剁手！

高数其实，难在把这层抽象的窗户纸捅破。搞懂了无穷小，你就算拿到进入微积分大门的钥匙了。