方法比结果更重要——七年级数学操作“稳定状态”

方法比结果更重要

七年级数学操作“稳定状态”

刚刚从小学步入初中，很多学习习惯需要进行调整，方法要修改，小学阶段允许不求甚解，初中可不行，知其然，更要知其所以然，学生在面对数学操作类活动的时候，经验很重要，但归纳经验，形成数学思维更重要，我们追求的不仅是一个结果，更要学会数学方法。

题目

现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为：将相邻的两个数作差再取绝对值，图1是小欢两次操作的示意图：

(1)图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全：

(2)在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0，我们就称其进入了“稳定状态”，请将2，4，6，8以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；

(3)1，2，4，m这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上，如果通过三次操作进入“稳定状态”，请直接写出所有满足条件的m值.

解析：

01

(1)先理解每一步操作所需要的数学运算，如下图：

所以这个小题就很简单了，结果如下：

02

(2)理解“稳定状态”，我们借助上题的操作，继续下去，如下图：

会发现在上个小题中，经过3次操作，结果就是“稳定状态”，这需要我们研究一下，怎样才会进入“稳定状态”，从倒数第二次操作的结果来看，正方形周围的4个数相等；从倒数第三次操作结果来看，相邻两个数的差相等；

有了以上操作活动经验，再来看第2小题，2，4，6，8这四个数，每相邻两个数相差2，但要注意最小数和最大数之间相差为6，如果按顺序排列，我们可以尝试下，看行不行，如下图：

总共进行了5次操作，经验告诉我们，这并不是次数最少的操作，原因在于按这四个数大小顺序排列，会出现一个较大的差值，即2和8之间，而“稳定状态”要求相邻两个数的差尽可能相等，这样才能保证最后两次操作后进入“稳定状态”，从稳定两个字也能发现，需要稳定，不要出现过大的差值，基于这个认知，我们调整这四个数在正方形边上的位置，如下图：

将2和8分别旋转在正方形的对边上，即可保证相邻两数差的绝对值尽可能接近，于是后两次操作就进入了“稳定状态”；

03

(3)不妨按操作进行，只不过结果用含m的代数式表示，如下图：

观察第1次操作后的结果，已知2和3作差的绝对值是1，则我们需要让3和|1-m|作差的绝对值结果也是1，2和|2-m|作差的绝对值结果也是1，而|1-m|和|2-m|作差的绝对值结果是1；

因此可得|1-m|=2,|2-m|=3，又由于m是正整数，所以分别求出m=3或5.

解题思考

学生在解这道题的时候，我留意观察了他们的草稿纸，几乎都在进行穷举，因为在第2小题过程中，他们先尝试过按顺序，再调整之后成功得到了结果，所以在第3小题时，他们也打算用同样的方式，去蒙下运气，有几个运气不错的恰好得到了结果，运气不佳的则还在换数尝试中；

这并不是我想要的数学活动，挨个试，这种很笨的方式下，学生的数学思维是得不到锻炼的，必须引导他们去寻找其中的规律，所以在第2小题结束之后，不急着进入第3小题的操作，而是复盘，为什么2，4，6，8这几个数要这样排列？在经过数分钟的讨论之后，学生得到了那两条关键经验，再进入到第3小题，用字母来表示结果之后，整个操作才有了数学味道。

七年级数学操作中，作为教师，应该多观察学生的操作过程，结果不重要，怎样得到的很重要，如果仅以结果导向数学活动，容易让学生生成错误的经验，这种经验严重依赖试题匹配度，一旦题目条件不太像，或者图形位置换了，学生立刻抓瞎，而教师如果不专业，试图以大量类似题型进行所谓变式训练，会更加重这些错误经验的积累，长久下去，就会出现我们经常见到的现象“一讲就会，一做就错”，为什么？因为学生始终没有掌握方法，只是记住了结果，然后用结果去碰死耗子。

数学操作，重在操作，重在过程，不要只看重结果。