一个看似“疯狂”的骰子实验揭示了物理学一条基本定律的新内涵

一对怪异的骰子，竟然解开了物理学中一个持续一个半世纪的谜题。加州理工学院的经济学家们通过数学证明揭示了一个令人震惊的结论：在描述不相关系统的所有可能理论中，玻尔兹曼分布是唯一正确的选择。

这项发表在数学顶级期刊《数学年鉴》上的研究，源于一个看似简单的经济学问题。当消费者在超市选择麦片品牌时，这个决定不应该受到他购买的洗涤剂品牌或当天衣服颜色的影响。但在现有的数学模型中，如何确保这种独立性始终成立呢？

从经济学困惑到物理学突破

加州理工学院经济学和数学教授奥默·塔穆兹与普林斯顿大学经济学助理教授费多尔·桑多米尔斯基都拥有物理学背景。他们意识到，经济学中的多项logit模型与物理学中的玻尔兹曼分布本质上是同一回事。

玻尔兹曼分布由19世纪奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼创立，最初用于描述热平衡状态下气体分子的能量分布。这个定律不关心每个粒子的精确位置，而是告诉我们系统处于各种可能状态的概率。

就像你无法预测掷一次骰子的结果，但掷足够多次后，每个点数出现的频率会趋近六分之一。这种从随机到规律的转变，正是统计物理学的核心思想。

奥默·塔穆兹和他那“奇特”的骰子。图片来源：加州理工学院/惠特尼·克拉文

一个多世纪以来，玻尔兹曼分布被广泛应用于人工智能、神经网络、金融市场乃至生态系统模拟等诸多领域。然而一个根本问题始终悬而未决：是否还存在其他数学模型也能准确描述这类系统？

塔穆兹和桑多米尔斯基决定彻底解决这个问题。他们的策略充满创意：用一对特殊的骰子来检验所有可能的替代理论。

西赫尔曼骰子的魔法

研究的关键工具是1977年由谜题发明家乔治·西赫尔曼上校创造的"疯狂骰子"。这对六面骰子的数字配置古怪至极：第一枚骰子的面上分别标着1、3、4、5、6、8，第二枚则是1、2、2、3、3、4。

神奇的是，虽然单个西赫尔曼骰子与普通骰子完全不同，但如果同时掷出这两枚骰子并计算点数总和，得到的概率分布与两枚普通骰子完全相同。点数和为2的概率都是三十六分之一，点数和为8的概率都是三十六分之五。

这种看似矛盾的现象为研究者提供了完美的检验工具。如果一个理论能够正确预测普通骰子和西赫尔曼骰子的点数和分布相同，那它就通过了描述独立系统的测试。反之，如果理论给出不同的预测，就如同荒谬地认为肥皂的选择会影响麦片的选择，这个理论必然存在根本缺陷。

研究人员将问题转化为多项式数学。每枚骰子都可以表示为一个多项式函数，两枚骰子点数总和的分布则对应多项式的乘积。通过寻找所有可能的"疯狂骰子"组合，他们构建了一套完整的检验体系。

唯一性的数学证明

在探索过程中，塔穆兹和桑多米尔斯基发现了无穷多对类似西赫尔曼骰子的例子。每发现一对新的"疯狂骰子"，就能排除一批替代理论。当可检验的例子趋于无穷多时，一个清晰的结论浮现出来。

一对“疯狂骰子”，又称西克曼骰子，由谜题发明家兼数学爱好者乔治·西克曼上校于1977年发明。图片来源：加州理工学院/惠特尼·克拉文

经过严密的数学推导，他们最终证明：在所有可能描述不相关系统的概率分布中，只有玻尔兹曼分布能够始终保持系统各部分的独立性。这不是一个近似结果，而是一个绝对的数学定理。

"我们一开始并不知道会发生什么，"桑多米尔斯基坦言。"这些看似矛盾的预测让我们很感兴趣。最终我们发现，能够避免这些矛盾的理论，必然就是玻尔兹曼理论。"

这个结果意味着，玻尔兹曼在140多年前凭直觉和物理洞察力建立的定律，实际上是数学上唯一可能的选择。它不仅在物理学中正确，在经济学、生物学、信息科学等任何涉及独立随机事件的领域都必然成立。

跨学科思维的胜利

这项研究最引人注目的地方，在于它如何跨越学科边界产生突破。两位研究者从经济学问题出发，运用物理学思维，借助纯数学工具，最终深化了对一个基础物理定律的理解。

塔穆兹强调："这正体现了抽象数学思维如何连接不同领域。加州理工学院的跨学科环境孕育了这样的发现。"

从空气中混乱运动的分子，到消费者在超市的随机选择，从神经网络中的信号传递，到金融市场的价格波动，玻尔兹曼分布以同一种数学形式统治着这些看似毫不相关的现象。现在我们知道，这不是巧合，而是数学逻辑的必然结果。

这个发现也提醒我们，即使是已经应用了一个多世纪的成熟理论，仍然可能隐藏着未被探索的深层含义。科学的进步不仅来自发现新事物，也来自更深刻地理解旧知识。

一对古怪的骰子，一个经济学难题，最终揭示了自然界的一个基本真理：在描述独立事件的概率世界里，玻尔兹曼分布不是众多选项之一，而是唯一的答案。

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