数学难题进展速递：解读《量子杂志》报道偏微分方程领域正则性理论成功拓展至非一致椭圆型偏微分方程

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偏微分方程（PDEs）领域长达百年的难题获得突破 —— 椭圆型偏微分方程正则性理论，成功拓展至非一致（不均匀）椭圆型偏微分方程范畴。

为了研究飞机机翼周围的空气流动、桥梁上的应力分布或其他各种情况，研究人员使用椭圆偏微分方程。这些方程因难以理解而著称。

图源：Kristina Armitage; Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

一、原文大意

2026年2月6日， Paulina Rowińska 撰写的《量子杂志》文章 https://www.quantamagazine.org/long-sought-proof-tames-some-of-maths-unruliest-equations-20260206/ ，核心讲述了意大利数学家朱塞佩·明吉奥内（Giuseppe Mingione）与克里斯蒂亚娜·德·菲利皮斯（ Cristiana De Filippis）合作，攻克了偏微分方程（PDEs）领域长达百年的难题：

将波兰数学家绍德尔（Juliusz Pawel Schauder，1899—1943）于1930 年代建立的椭圆型偏微分方程正则性理论，成功拓展至非一致椭圆型偏微分方程（nonuniformly elliptic PDE）范畴。 https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short

数学家用椭圆偏微分方程来模拟空间变化但时间不变的系统——如平衡时熔岩流的温度、组织中营养物质的分布、肥皂膜的形状。

图源：Giles Laurent/Creative Commons; Mikael Häggström/Creative Commons; Ted Kinsman/Science Source

偏微分方程是描述时空域中各类变化现象的核心数学工具，其中椭圆型偏微分方程（elliptic PDE）用于建模仅随空间变化、不随时间变化的稳态现象（如熔岩平衡态温度、岩石中水压力、桥梁应力分布），但这类方程难以直接求解，数学家通常通过证明解的正则性（regularity，即解无物理上不可能的突变、折点）来近似分析。

尤利乌斯·绍德尔（Juliusz Pawel Schauder，1899—1943）的经典理论仅适用于描述均匀介质的椭圆型 PDE，而现实世界的现象多为非均匀介质主导，对应的非一致椭圆型 PDE 的正则性证明长期处于瓶颈。

朱塞佩·明吉奥内（Giuseppe Mingione）帮助证明了他20年前提出的一个猜想。他说，最终的证明是“绝望中的奇迹”。

图源：Giampiero Palatucci

朱塞佩·明吉奥内（ Giuseppe Mingione）早在 2000 年便发现 Schauder 理论需补充新条件 https://www.researchgate.net/publication/238855470_Sharp_regularity_for_functionals_with_p_q_growth 才能适配非一致椭圆型 PDE，并提出了一个刻画介质非均匀性阈值的不等式猜想，但因证明难题搁置近 20 年。

克里斯蒂亚娜·德·菲利皮斯（Cristiana De Filippis） 一直在发展一个广泛的理论，以更好地理解偏微分方程的解，她将目光投向越来越复杂的案例

图源：Giampiero Palatucci

2017 年，研究生 Cristiana De Filippis（克里斯蒂亚娜·德·菲利皮斯，参阅：） 主动与其合作，二人通过创新的数学方法推导幽灵方程（ghost equation）、精准估计解的梯度（gradient），最终在 2022 年预印本中完成大部分证明 https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-023-01216-2 ，并最终证实了 Mingione 提出的非均匀性阈值的精确性 https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short ，其成果于 2025 年夏季发表，首次实现了对现实中非均匀介质稳态现象的精准数学建模，也为其他类型 PDE 的分析提供了新范式。

明吉奥内说：“那一瞬间仿佛时光回溯，就像遇见了 20 年前的自己，叩响了自己曾经的思维之门。” 在他看来，是德・菲利皮斯身上 “全新的活力、热忱，以及坚信问题能够被解决的信念”，说服他重新拾起这项搁置已久的猜想证明工作。

二、核心数学思想

1、解的正则性是 PDE 分析的核心前提

椭圆型 PDE 难以直接求解，数学家的核心思路并非计算精确解，而是证明解的正则性 —— 即解在定义域内连续、无突变或折点，只有解具备正则性，才能通过各类数学工具对其进行有效近似，进而分析对应物理现象的规律；若解缺乏正则性，所有近似分析方法均会失效。

2、Schauder 经典理论的核心条件

波兰数学家尤利乌斯·绍德尔（Juliusz Schauder，1899—1943）试图理解物理系统模型何时能和不能呈现出真实的美好图景。

图源：公域

1930 年代尤利乌斯·绍德尔（ Juliusz Schauder） 提出，对于描述均匀介质的椭圆型 PDE，只需证明方程蕴含的物理规则（如热传导速率）在空间中无剧烈突变，即可保证解的正则性，这一条件为均匀介质 PDE 的分析奠定了基础。

在绍德尔的证明问世后的数十年里，数学家证实，这一条件足以保证所有描述均匀介质的偏微分方程，其解都具备正则性。在均匀介质中，方程背后的物理规律的变化幅度存在上限。例如，若假设熔岩是均匀介质，那么热的传导速率始终会处于特定范围内，不会过快也不会过慢。

但现实中的熔岩，其实是由熔融岩石、溶解气体和结晶体混合而成的非均匀物质。在这类非均匀介质中，物理规律的极端变化无法被控制，不同位置的热传导速率可能存在极大差异：熔岩的某些区域导热性极佳，而另一些区域的导热性则极差。针对这种情况，研究者需要用 “非一致椭圆型偏微分方程” 来建立模型。

3、非一致椭圆型 PDE 的核心约束

现实中非均匀介质的物理规则（如熔岩不同区域的热传导速率）存在极端差异，因此非一致椭圆型 PDE 的正则性证明，不仅要求物理规则的空间变化是渐进的，还需对这种变化的幅度进行严格控制 —— 介质的非均匀性越强，对规则变化的控制阈值需越严格，Mingione 将这一约束转化为不等式，给出了系统可容忍的非均匀性精确阈值。

4、梯度有界是正则性证明的关键

证明 PDE 解的正则性，本质是证明解的梯度在定义域内有界 —— 梯度描述了解在各点的变化速率，若梯度无界则意味着解存在突变，因此二人的核心思路是通过数学方法还原并估计梯度的上界，确保其始终处于可控范围。

5、间接推导替代直接计算

由于非一致椭圆型 PDE 的解和梯度均无法直接计算，二人采用 “间接推导” 思路，从原方程衍生出 ghost equation（幽灵方程），通过对该辅助方程的精细化处理，间接提取原方程解的梯度信息，实现对梯度的精准估计。

三、主要创新点

1、提出非一致椭圆型 PDE 正则性的充要条件

Giuseppe Mingione 突破 Schauder 理论的均匀介质限制，首次提出非一致椭圆型 PDE 解具备正则性的附加条件—— 将介质的非均匀性量化为一个不等式，明确了系统可容忍的非均匀性精确阈值（当非均匀性在该阈值内时，解必然具备正则性；超出阈值则无法保证正则性。即这一不等式恰好是解从具备正则性到可能失去正则性的临界条件）且最终证明了该阈值的精确性，填补了非一致椭圆型 PDE 理论的核心空白。

2、创新推导 ghost equation（幽灵方程）

针对非一致椭圆型 PDE 的解和梯度无法直接计算的难题，De Filippis 与 Mingione 从原方程中衍生出全新的 ghost equation（幽灵方程），该方程作为原方程的 “影子方程”，可间接反映原方程解的梯度特征；二人通过对幽灵方程的精细化打磨和多步骤推导，成功从其中提取出原方程的梯度信息，这一方法突破了 Mingione 此前的证明瓶颈，是本次成果的核心技术创新。

3、梯度的精细化分块估计方法

为证明梯度有界，二人将梯度拆分为多个子部分，逐一证明每个子部分的上界，且在估计中实现了无误差冗余—— 这项工作耗费了巨大的心血：哪怕其中一个部分出现微小的计算误差，都会导致梯度的估计结果偏离预期，让他们无法证明那个临界阈值。

二人通过反复验证（德・菲利皮斯称，这是一场 “永无止境的博弈”）实现了各子部分的精准界估计，最终证明了整体梯度的有界性，这一方法为高复杂度 PDE 的梯度估计提供了新范式。

明吉奥内数十年前预测的那个临界阈值，恰好是解的正则性的分界点。

四、待解决问题和未来科研攻关方向

1、将理论拓展至时空双变的 PDE 范畴

本次成果仅针对仅随空间变化的稳态椭圆型 PDE，而现实中多数现象是随时间和空间同时变化的（如风暴轨迹、疾病传播、股价演化），对应的抛物型、双曲型 PDE 尚未被该理论覆盖，未来需将本次提出的 ghost equation、梯度分块估计、非均匀性阈值等方法，拓展至同时随空间和时间变化的各类 PDE，实现对动态非均匀现象的数学建模。

2、将理论转化为工程化的近似计算工具

本次成果主要完成了理论层面的正则性证明，但尚未转化为工程界可直接使用的 PDE 近似计算工具，未来需结合数值分析、计算数学，将 ghost equation、梯度估计方法转化为可编程的算法，让工程师、物理学家能直接利用该理论对非均匀介质现象进行定量计算和预测。

3、跨学科的应用落地研究

该理论为非均匀介质的稳态现象提供了精准数学模型，未来需与物理学、地质学、工程学、医学等学科结合，开展具体的应用研究 —— 如利用该理论精准建模熔岩流动的稳态特征、肿瘤内营养扩散的规律、桥梁非均匀材料的应力分布，让数学成果转化为实际的学科研究和工程设计支撑。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/long-sought-proof-tames-some-of-maths-unruliest-equations-20260206/

https://arxiv.org/pdf/2401.07160v3

https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short

https://www.researchgate.net/publication/238855470_Sharp_regularity_for_functionals_with_p_q_growth

https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short

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