未竟的圣杯：一场跨越百年的数学追寻

大卫·希尔伯特

1900年的巴黎，夏意正浓。第二届国际数学家大会上，38岁的大卫·希尔伯特（David

Hilbert）——这位后来被誉为“数学世界的亚历山大”的巨人——走上讲台，做了一件前人未曾做过的事：他没有报告自己的某项突破，而是向新世纪抛出了23个问题。这像是一幅精心绘制的地图，预言了接下来一百年数学探险的主要疆域。

有意思的是，由于时间限制，他现场只阐述了其中10个。我们今天熟知的第12问，那份关于“一般代数数域的阿贝尔扩张”的精确表述，其实是会后才以文字形式公布的。这种幕后细节或许暗示着，希尔伯特自己都觉得这个问题太过深邃，需要更严谨的措辞。

它听起来格外抽象，可恰恰是这个表述严谨的问题，后来被一代代数学家视为数论领域的圣杯。它追问的不仅是“是否存在”，更是“如何亲手构造出来”。这种对具体构造的执着，让它在众多问题中显得尤为苛刻，也尤为迷人。

说起来，这个故事的开端，还得再往前推半个多世纪，从一个男孩的梦想讲起。

始于一个未竟的梦

十九世纪中叶，普鲁士的李格尼茨，一个名叫利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）的犹太男孩渐渐长大。他生长的城市历经沧桑，或许正是这种历史厚重感，滋养了他对永恒知识的好奇。他广泛涉猎科学、历史与哲学，还是个不错的游泳健将。在恩师兼终生挚友恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）的引导下，他对数学产生了浓厚兴趣，尽管他一度先选择去管理家族银行，把数学当作夜间消遣。

利奥波德·克罗内克

直到法国数学家刘维尔将伽罗瓦（Évariste

Galois）那些革命性的遗稿公之于世，克罗内克的热情被彻底点燃。伽罗瓦的天才在于，他把解方程这个古老问题，转化成了对“域扩张”及其对称性“群”的研究。简单说，就是研究数字王国如何以一种保持结构美感的方式长大。

克罗内克特别痴迷于其中一类结构最规整的扩张——阿贝尔扩张。他观察到一个美妙的现象：如果我们从熟悉的有理数出发，想要构造它的阿贝尔扩张，似乎总也绕不开一组特殊的数字——单位根。什么是单位根呢？就是方程 xⁿ = 1的那些复数解，它们在复平面上均匀地排列在单位圆上，像时钟的刻度一样整齐。

克罗内克隐约感觉到，这些单位根就像是一套完美的数学积木。通过加减乘除的组合，几乎就能搭出所有有理数域上阿贝尔扩张的样貌。证明这个猜想，成了他“青年时代最热切的梦想”（liebster Jugendtraum）。1853年，他发表了证明，可惜很快被找出漏洞。此后40年间，这个定理的证明几经波折，直到1896年，才由一位年轻的数学家给出干净利落的终结。那个人，就是希尔伯特。

希尔伯特之问：为圣杯塑形

站在前人终点上的希尔伯特，看到的却是更辽阔的未知。他想：单位根是有理数域的“积木”，那么对于其他更复杂的数域王国——比如在有理数中添上√-2这类虚数后构成的“虚二次域”——它们的“阿贝尔积木”又该是什么样子？能否找到一种普适的、像说明书一样的构造方法？

大卫·希尔伯特

于是，在第12问中，他正式发出了邀请。他甚至为虚二次域的情况指了一条明路：或许与椭圆模函数有关。这个具体的猜想后来被证明需要修正，但它点燃的火把，却照亮了此后数十年的探索方向。一个好问题，有时价值胜过十个答案。

那时他大概不会想到，自己提出的问题会分化出两条截然不同的路径，而最终答案会以一种他未曾设想的方式呈现。

来自东方的解答者与存在性地图

历史的趣味常常在于巧合。当希尔伯特在哥廷根思考这些抽象问题时，一位名叫高木贞治（Teiji Takagi）的日本青年，正远渡重洋来到他门下学习。彼时的日本数学尚在起步阶段，高木的留学，仿佛一场孤独的求知远征。

回到日本后，正值一战，国际交流几近中断。高木贞治在相对孤立的环境中，完成了一项里程碑式的工作：类域论。这个理论精妙地揭示了数域的阿贝尔扩张与其理想类群（一种衡量其内部算术复杂度的尺子）之间深刻的对应关系。

高木贞治

你可以把类域论想象成一张极其准确的世界地图。它明确告诉你，在数域这片广袤大地上，阿贝尔扩张这座宝藏必然存在于某个经纬度交叉点。然而，地图毕竟不是挖掘指南。它指明了“宝藏在此”，却没告诉你该用什么样的工具、以何种步骤把它挖出来。希尔伯特想要的，恰恰是那份详尽的挖掘手册。

分岔路口：复分析、L函数与一条迂回的奇径

进入二十世纪中叶，追寻圣杯的探险队来到了一个分岔路口。

第一条路，是希尔伯特最初指明的复分析之路。数学家们期望用处理复数的经典工具，给出一个优雅的构造。七十年代，哈罗德·斯塔克（Harold Stark）提出一个大胆猜想：也许可以用一种叫L函数的复杂工具的特殊值，来充当那些积木。思路清晰，美则美矣，但证明之路却寸步难行，几十年里几乎停滞不前。它就像沙漠中的海市蜃楼，清晰可见，却又遥不可及。

就在此时，另一条看似绕远的蹊径吸引了目光——p进数之路。

p进数的世界与我们熟悉的实数世界截然不同。在这里，判断两个数是否“接近”，看的不是它们差的绝对值大小，而是它们的差能被一个素数p的多少次幂整除。这套由库尔特·亨泽尔（Kurt Hensel）在十九世纪末发明的算术语言，起初像个数学怪物，少人间津。

库尔特·亨泽尔

直到上世纪七八十年代，数学家如贝内迪克特·格罗斯（Benedict Gross）等人意识到，在这个奇异的算术宇宙里，许多在复数世界里纠缠不清的问题，反而可能变得清晰。格罗斯提出，何不将斯塔克猜想翻译到p进数的框架下，用p进L函数试试看？当时不少人觉得这想法有点离经叛道，但数学探索的魅力，不就在于试试那些看似不靠谱的路吗？

接力棒的终点：当理论遇见代码

真正的突破，往往发生在几代人持久的接力之后。萨米特·达斯古普塔（Samit Dasgupta）——他的学术谱系可以追溯到格罗斯——从博士阶段就开始啃这块硬骨头。2021年3月，他与马赫什·卡克德（Mahesh Kakde）合作发表的论文，在p进数的道路上取得了决定性进展。

他们为一大类重要的“全实域”，找到了构造阿贝尔扩张的显式公式。这不仅再次确认了“宝藏存在”，更是第一次拿出了一份可以按图索骥的详细坐标与施工图。

Mahesh Kakde

然而，这个时代最独特的注脚，恰恰在论文之外。面对这些极度抽象、繁复到令人望而生畏的公式，如何验证它们是对的？达斯古普塔的两名学生做了一件非常“21世纪”的事：他们写了一套计算机程序。

这个程序能够将纸上天书般的公式，转化为针对具体数域的一连串计算指令。当代码运行，屏幕上吐出那些象征着“数学积木”的神秘数字时，百年前的纯粹逻辑之梦，与当代的计算实证之力，完成了一次跨越时空的握手。这枚数字时代的徽记，或许比任何奖项都更能象征这项工作的现代性。

正如格罗斯教授所感叹的：“这是我们期待已久的事情……虽然与希尔伯特的想法完全不同，但这就是数学的魅力。你永远无法预测以何种方式解决问题。”

圣杯为何依然“未竟”？

达斯古普塔和卡克德的突破固然辉煌，但它恰恰凸显了希尔伯特第12问那深不见底的魅力，也让“圣杯”依然处于“未竟”的状态。

首先，他们的工作主要针对“全实域”。而希尔伯特当年心心念念的“虚二次域”，那个他猜想与椭圆函数紧密相连的起点，其完整的构造之谜仍未完全解开。这像是一场登山，我们从南坡登顶了，但北坡最险峻的路线，依然等待着真正的征服者。

其次，也是最富哲学意味的一点：这个里程碑式的解答，是沿着p进数这条“奇径”抵达的。而希尔伯特最初设想的、期望在经典复分析框架下看到的那个优美答案，依然悬浮在远方。我们用一个精妙的平行宇宙的法则，解答了主宇宙的问题，这本身不就是数学最神奇的地方吗？

所以，圣杯依然“未竟”。它或许永远无法被完全捧起，因为每一次触碰，都会照亮一片新的未知之地，催生出新的问题。从克罗内克的梦，到希尔伯特的问，从高木贞治的地图，到达斯古普塔的算法与学生的代码，这趟百年旅程的意义，早已超越了寻找一个终极答案。

它更像一场没有终点的智力狂欢，每一代探险者都在用自己的语言——无论是笔尖的公式、奇异的p进数，还是屏幕上的代码——去理解、去塑造、去无限逼近那个关于数学宇宙根本结构的永恒之谜。