人类数学史上三次危机，最后一个危机至今都没有解决！

数学，虽然严格来讲并不属于科学范畴，但它是科学不断发展的基石。很多人牙牙学语时期就拥有最基本的数学概念，到了两三岁时就会从1数到100，甚至开始了简单的加减运算。

不过，人类究竟从什么时候开始用了数的概念，并无从考究。人类甚至不知道数学是随着文明的崛起而出现的，还是人类意识中通过经验总结出来的逻辑基础。

从人类古代文献来看，最早的计数工具其实很简单，比如说结绳计数，这种方式是一种相当简洁的数学表达方式。

从结绳计数这种计数方式也能看出，人们对于大自然的认知是很古朴的，抱着一种朴素简洁的方式去认知大自然，人们一开始就相信简洁的整数就可以代表并描述万事万物。

不过，当人们对直角三角形的三条边进行仔细研究时，发现了非常不协调的地方，而这个发现也促使了人类对数学的认知发生了第一次变革。具体怎么回事呢？

假设有一个直角边都为1的等腰直角三角形，它的斜边长是多少呢？

我们现在知道，斜边长是根号2，这个数是无理数。但是古代人们并不知道这些，当他们试着计算根号2的具体数值时，变得抓狂起来。在计算的过程中，古人发现这个数非常长，而且不管他们计算多久，好像都看不到尽头。

而根号2也是人们发现的第一个无理数，而无理数的出现，也酿成了第一次数学危机。

无理数的出现，彻底击碎了古人之前对“简洁自然美”的认知，人们一度很难接受这个事实，在他们看来，根号2简直太“邪恶”了。

但不管如何，根号2这个数确实存在，古人不可能掩耳盗铃视而不见，于是开始对物理学进行深入研究，在研究的过程中，人们也第一次有了无穷的概念，也因此诞生了著名的四大悖论之一：芝诺悖论。

相信很多人都听说过这个悖论，具体是这样的。

你和一只乌龟赛跑，由于乌龟的速度很慢，你和乌龟的出发点并不一样，乌龟在你前方100米的地方。你的速度是乌龟的10倍。

那么，你有没有可能追上并超越乌龟呢？答案现实是可以的，很快你就可以追上并超过乌龟，毕竟你的速度比乌龟快很多。

但是按照芝诺悖论的设想，你不可能追上乌龟。为什么这样说？

因为乌龟一开始就领先你100米，当你跑100米，正好跑到乌龟的出发点，这时候乌龟跑10米。而当你跑10米，乌龟跑1米。当你再跑1米的时候，乌龟又跑了0.1米......

按照这种方式进行下去，乌龟永远在你前面，你跑过的路程刚好是乌龟之前跑过的！这意味着你永远追不上乌龟。

可现实中我们知道你很快就可以追上并超越乌龟，为何会出现这种“矛盾”？问题到底出在哪里？

古人对芝诺悖论进行了深入思考，延伸出了无穷的概念，并发现了芝诺悖论的漏洞。芝诺悖论其实更像是“诡辩”，刻意设定一个“陷阱”让你跳进去。由于我们的时间是有限的，不可能在有限的时间里做无穷多的事情，这样就避免了跳进芝诺悖论设定的“陷阱”里。

而人们对无理数以及无穷概念的深入探索，也成功化解了人类历史上第一次数学危机，这次危机的化解，也让人类数学一直安静地发展了近2000年，直到牛顿和莱布尼茨的出现。

说白了，也就是微积分的出现，引发了人类历史上第二次数学危机。

微积分的作用可谓大大地，因为有了微积分，人们可以轻松解决之前被认为不可能被解决的问题，比如说可以精确测量所有曲折图形的面积，当然也可以测量任何弯曲的曲线长度。

在很多人眼里，微积分很难理解，听起来更是“高大上”，其实不然，因为它的思想基础就是无限细分然后再整合，微积分的基础就是无限逼近零的概念。

也就是说，在很多情况下，人们可以直接把无限小当做零来使用，但并不知道两者之间的区别和数学含义。

牛顿和莱布尼茨时代，人们并没有搞清楚微分，积分以及倒数的真正含义。

第二次数学危机其实很早就得到解决了，但直到今天仍旧有很多人不理解，甚至有误解。

举个最简单的例子就明白第二次数学危机了，比如说0.999......和1哪个大？

答案是一样大，因为0.999......和1完全就是一个数，当然是一样大的。但是直到今天仍旧有不少人认为0.999......小于1，对于这种误解，我也想多数，简单粗暴地回答：认为0.999......小于1的伙伴们，基本上完全没有理解无穷的内在含义。

当然这并不是怪罪当然更不是嘲笑不理解的伙伴们，毕竟在我们日常生活中看到的都是有限的事物，所以无穷的概念很多时候非常违背我们的日常生活经验，而我们的潜意识会强迫我们接受日常生活经验下的认知。

说白了，第二次数学危机的根源，就在于对微积分和无穷理解的偏差上。

人们成功诠释第二次数学危机的两百多年后，出现了第三次数学危机。一个著名的悖论，也就是“罗素悖论” ，可以很好地描述第三次数学危机。

罗素悖论中有一个著名的例子。有一个技术精湛的理发师这样打广告：会给所有不能给自己理发的人理发！

那么问题来了：这个理发师会给他本人理发吗？答案无论是会或者不会，都与他的广告语矛盾。

其实这与“上帝悖论”是一个道理：上帝是无所不能的，但上帝能创造出一块他自己搬不动的石头吗？无论能或者不能，都会与“上帝无所不能”产生矛盾。

罗素悖论其实更像是一种哲学思想，哲学思想里的本体论，由此甚至可以延伸出唯心和唯物思想。具体什么意思呢？

通俗来讲就是，罗素悖论，总是会一开始把自己置身事外，但是紧接着会换一种角度，又把自己放在事件中。这就相当于自己制造矛盾：自己到底在哪里？是事件里呢还是事件外呢？

用主观唯心主义来理解罗素悖论，是这样的。假设世界就是你幻想出来的表象，也就是说，宇宙万物都是你的意识幻想出来的，那么“你”本身的概念也是意识幻想出来的假象吗？

如果答案是肯定的，那么“你对“你”的概念质疑的思想”也是由你的意识幻想出来的吗？

看出来了吗？结果就像俄罗斯套娃那样，永远没有尽头。问题最终就会演化为：以的意识本体到底是什么，在哪里？

如果你的意识存在，就会出现上面的矛盾。而如果你的意识不存在，那么你的意识幻想出来的世界也就不存在了！

严格来讲，罗素悖论并不是真正意义上的数学问题，更像是对集合定义的一种诡辩罢了。诡辩，说白了就是“抬杠”，至今人们也没有完美解决这一类的诡辩。