热分析（结构函数）的数学基础（下篇）

在上篇文章中我们讨论了一级网络模型，但是在实际的应用场景中并不会只有两层等温面，而多层等温面对应的就是多级网络模型，接下来我们来看一下多级网络模型如何分析。

图 1

以图1中三级网络模型为例，其中每一级RC热网络的热阻热容都是不一样的，时间常数也各不相同。系统的输入功率是10W，环境温度是20℃。通过上文中温度差△T的表达式，我们可以画出每一级RC热网络的温度差随时间的变化曲线。

图 2

如图2，三级网络模型中每一级网络都有一条对应的温差变化曲线，同样的，每一条温差变化曲线也都有一个时间常数τ，也就是温度变化达到总温度变化63.2%处的时间，在此例中分别是0.005秒、0.75秒和100秒。如果我们把时间常数和热阻放到同一个坐标系中，我们就可以得到下图3。

图 3

图3中横轴是时间常数τ，纵轴是时间常数谱上的热阻，图3我们就称为时间常数谱。我们可以看到此例中每一级RC网络对应到时间常数谱上均有一个明显的波峰。这三个波峰对应的横坐标值，就是三个网络模型的时间常数τ，也就是说时间常数谱和网络模型是有对应关系，如下图4。

图 4

到这里为止，我们的分析都是将多级网络模型拆分开，分析其中的每一级，如果我们将视线移到热源处，热源的温度变化是什么样的呢？其实就是将各级网络模型的温度差△T叠加，再加上环境温度，如下式（1）

此例中的三级网络模型热源处的温度变化曲线如下图5。

图 5

图5中的这条温度变化曲线就是可以通过测试获得的数据——瞬态温度响应曲线。更确切的说，我们做热测试，实际上能直接得到的就只有瞬态温度响应曲线，但是我们通过一些转换和计算，是可以根据瞬态温度响应曲线得到时间常数谱分布的，进而可以反推出它的热网络模型，因为如前文所述，时间常数谱和网络模型是有对应关系的。因此，虽然我们能直接得到的只有瞬态温度响应曲线，但是我们可以通过瞬态温度响应曲线，间接的计算反推得到RC热网络模型。

我们既然要根据瞬态温度响应曲线计算时间常数谱分布，首先我们就要得到瞬态温度响应曲线的函数表达式，在离散情况下，单极网络模型中温度差△T随时间变化的表达式在上文中已经推算得到，如下式（2）

因此，对于下图6中多级网络模型，热源与环境之间的温度差△T，只需要对式（2）累加求和即可，如下式（3）

图6

但是在实际的物理世界中，温度场的分布并不是离散的，而是连续的，所以我们要将离散的多级网络模型转化为连续模型，也就是将离散的累加，转化为积分。首先，我们在式（2）中引入微元dτ，得到下式（4）。

再利用Taylor展开进行变换，得到式（5）。

有了式（5），我们就可以根据微分的定义式得到式（6）。

利用RthCth=τ化简可得式（7）。

最后，通过积分可得式（8）。

式（8）即为连续模型下，瞬态温度响应曲线的积分方程式。

在得到积分方程式之后，我们就可以计算时间常数谱，先将对数时间轴（z=In(t），ζ=In（τ））代入式（8），得到式（9）。

此时，T（z）的图像如下图5。

图 5

下一步，我们对式（9）求导，得到下式（10）。

式（10）图像如下图7。

图 7

如果我们将式（10）化简，就可以得到下式（11）。

显而易见，式（11）是一个卷积的运算形式。因此，我们设一个函数W（z），表达式如下式（12）。

利用式（12）将式（11）转换为卷积运算，如下式（13）。

我们可以看到，在式（13）中，除了时间常数谱上的热阻Rth(z)，其他参数均可通过实际测量得到，因此我们通过反卷积运算，就可以得到Rth(z)的表达式，如下式（14）。

式（14）的图像即为时间常数谱，又称为热阻在时间常数谱上的分布，如下图8。

图 8

我们得到时间常数谱之后，下一步就可以反推出RC热网络模型了。首先，为了方便计算机的处理，我们需要将连续的时间常数谱进行离散化处理，建立RC热网络模型。在数据分析软件中，将连续的时间常数谱离散化为大约200段，与此相对应，将产生相同数目的RC Foster模型，如下图9。

图9

通过积分运算我们可以得到其中每一段的热阻值，如下式（15）。

再利用每一段RC网络的时间常数τ，就可以得到相应的热容值，如下式（16）。

通过式（15）与式（16）构建出的RC热网络模型就是Foster模型，Foster模型实际上就是离散的时间常数谱分布。

有了Foster模型之后，如何得到结构函数呢？首先，我们需要通过等价变换将Foster模型变换为Cauer模型。

图 10

因为热容（J/K）是一个物理量，表示当一个系统中由于增加一个微小的热量δQ而温度升高dT时，δQ/dT这个量即是该系统的热容，因此在物理学上，热容是相对于环境存在的。Foster模型在数学上没有问题，但是表示物理学上的热容，则需要将其进行变换为Cauer模型来表示。变换为Cauer模型之后，我们就可以通过累加得到结构函数的图像，如下图11。

图 11

以上就是热分析数学基础部分的全部内容，从理论层面上讲，我们通过构建一级RC热网络模型，推算出一级模型的温差随时间变化曲线，进而到多级RC热网络模型，再进行连续模型的转换，最后获得对应的时间常数谱和瞬态温度响应曲线；从实际测试层面上讲，我们通过设备测试获得瞬态响应曲线之后，软件程序先对时间轴进行对数化处理并求微分，再通过反卷积获得时间常数谱，将时间常数谱离散化后构建Foster模型，再等效变换为Cauer模型，最后通过叠加绘制就可以得到结构函数曲线了。