正规矩阵有哪些特色？

在研究特征值问题时，“能否对角化”至关重要：对角化意味着矩阵结构变得清晰明了，计算与理解都随之变得简单。本文沿着这一主线，从实对称与埃尔米特矩阵出发，借助舒尔分解，把视野推向更广阔的“正规矩阵”。它们不仅都能通过酉相似被对角化，而且特征向量可选成标准正交基，从而得到清晰的谱分解与正交投影解释；也正是在这里，代数结构与几何直观，以及“最佳逼近”的最优化意义自然汇合。阅读本文，你将看到正规矩阵为何格外“规整”，又为何在理论与应用中如此重要。

撰文 | 朱慧坚（广州南方学院数学与统计学院副教授）、丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

追寻可对角化矩阵

我们在《返朴》上刊登的关于矩阵理论的系列文章中，上一篇《如何理解矩阵的特征值问题？》讨论了一般方阵的特征值问题，并区分了两大类矩 阵，即可对角化类和不可对角化类。刻画第一类矩阵的一个准则是所有特征值都是半单的，换句话说所有特征值的代数重数（特征多项式线性因子的幂指数）等于几何重数（特征子空间的维数），第二类的矩阵就缺乏这一性质，或言之至少一个特征值的几何重数小于代数重数。

作为欧几里得空间迈进复数域的直接推广，所有分量为复数的维向量全体，按照通常的向量加法和数乘这两个代数运算，以及向量之间所谓的“埃尔米特内积”，组成了酉空间

义所在。正因为对角矩阵是结构最简单的矩阵（零矩阵和单位矩阵是它们的特例），而不仅与共享所有的特征值，而且也继承了这些特征值的代数重数和几何重数，寻找方阵的可对角化条件很有实用价值。

由于矩阵的相似关系和三角形的相似关系一样都是等价关系，即此种二元关系具有自反性、对称性和传递性，因此阶数是固定正整数的所有矩阵，根据它们之间是否存在相似关系，被划分为互不相交的“相似类”：同一类中的全体矩阵之间彼此都相似，而属于不同类的任意两个矩阵之间与相似无缘。这样一看，如果一个相似类中的矩阵是可对角化的，那么该类中的所有对角矩阵都可视为这一类矩阵成员的“杰出代表”，它们的对角元素都是个相异固定常数的不同-排列，其中每个常数出现的次数等于它作为特征值的重数。所以其中每一个对角矩阵都有资格被称为类中矩阵的“标准型”。

看看人类成员之间的朋友关系，就不及矩阵的相似关系那么严谨完备。现实中的朋友关系符合“等价关系”三要素中的前两条：自反性——自己当然是自己的朋友；对称性——张三和李四是朋友也意味着李四和张三是朋友。但是第三条传递性就无法保证了：即便张三和李四是朋友，李四又是王五的朋友，也不能确保张三和王五也是哥们，说不定他们反而是“老死不相往来”的宿敌呢！事实上，倘若朋友关系是个等价关系，那么社会就会被划分成无数个封闭的小圈子，这就大大减少了人际关系的丰富性和复杂性。从这里也可领会为何 “数学比人生容易多了”这一颠扑不破的真理。

正是由于对角矩阵提供了可对角化矩阵的最简形式，我们很自然地想知道哪些矩阵可以对角化。本文旨在开启一趟探寻之旅，带你领略可对角化矩阵的数学之美。

埃尔米特矩阵的性质

物理巨擘杨振宁先生近期以 103 岁高寿仙逝，留给世人无尽的缅怀。在他浩如烟海的著述与演讲中，始终强调对“对称之美”的执着追求。“对称”也给数学家带来了无尽的愉悦和遐想。以此为引，我们将目光投向实对称矩阵。

实对称矩阵，顾名思义，就是其中元素都是实数并且关于主对角线对称的方阵。更精确地

实对称矩阵的所有特征值均为实数，它们对应的特征向量可以取为实向量；因为决定相关特征向量的那些齐次线性方程组的系数全是实数，因而解也是实数。所以我们完全可以放下包袱，而不必多此一举地跳出实数框架，去探究复数迷宫。诚然，如果我们硬要在复数域里找出所有的复特征向量，增加的计算工作量也是微乎其微的：只需选取同一个特征值对应的两个实特征向量和，通过 + i的形式，就能直接构造出对应的复特征向量。

如果细心回味对“实对称矩阵的特征值必为实数”的如上证明，就会发现它其实不仅适用于实

阵称为埃尔米特矩阵。埃尔米特在 1855年证明此类矩阵总是具有实特征值。他不仅在数论、椭圆函数、不变量理论、正交多项式等领域耕耘不辍，在培养人才方面也有一套，他在巴黎综合理工学院教过的最有名的学生是庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854-1912），后者成为了那个时代公认的数学领袖。

概括上面的讨论，本文如下的第一个结论是不言而喻的：

命题 1.埃尔米特矩阵的任何特征值均为实数。

我们知道，埃尔米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的（证明详见《如何理解矩阵的特征值问题？》）。除此之外，它是否还有更加优美的性质？答案是肯定的，那便是“正交性”。设和是埃尔米特矩阵的两个相异特征值，其各自对应的特征向量为

命题2. 埃尔米特矩阵对应于不同特征值的特征向量彼此正交。

从几何上来看，平面上或空间里的两个非零向量之间的夹角只要不是0度（即方向相同）或180度（即方向相反），则它们是线性无关的。直观上可以想象，若两个向量的方向几乎相同（即它们之间的夹角几乎为零）或几乎相反（即它们之间的夹角几乎是平角），则它们几乎是线性相关的（在实际应用计算中，由于舍入误差的影响，甚至可以认为它们已经是数值线性相关了）。在酉空间里，两个向量之间“夹角”的余弦等于它们的埃尔米特内积之实部除以它们的埃尔米特范数之积（这由柯西-施瓦茨不等式保证）。如上的几何直观催化出如下的思想：向量之间的夹角可以作为“线性无关（或相关）程度”的一个量化指标，即夹角越靠近零度或180度，则它们之间的“线性无关度”就越低。如果它们之间相互正交，即夹角为90度，则可以推测它们“最线性无关”，线性无关度大于夹角为30度的两个向量。下面我们证明：如果一组非零向量两两正交，则它们一定是线性无关的。这个事实说明正交性强于线性无关性。

上三角化定理与埃尔米特矩阵的酉对角化

现在，我们准备攻克本文面临的第一个坚固堡垒：埃尔米特矩阵的每个特征值是否是半单的？ 想要拿下它，所需的“攻坚利器”是“上三角化定理”。这一结果对一般的复矩阵同样适用，由俄罗斯数学家舒尔（Issai Schur，1875- 1941）发现。舒尔一生几乎都在德国学习与任教，研究领域包括群表示论（以通常所称的“舒尔引理”为人熟知）、数论与组合数学。他最广为人知的结果是下面的“舒尔矩阵分解定理”；因为它在本文中仅被用来证明其他结果，我们只好以引理称之：

米特范数等于1”。满足如此要求的复矩阵称为酉矩阵，如果同时也是实矩阵，则被更直观地叫做正交矩阵。所谓的上三角矩阵指的是这种方阵，它位于主对角线下方（即行指标大于列指标）的元素全为零。由特征方程的定义可见，上三角矩阵（下三角矩阵同理）的所有特征值，若按代数重数重复排列，恰好就是其主对角线上的所有元素。注意：虽然上（下）三角矩阵的特征值唾手可得，它们却不一定是半单的，《如何理解矩阵的特征值问题？》中列举的那个2阶上三角矩阵（对角元素均为0、右上角元素等于1）就是一个反例。

酉矩阵的定义告诉我们，上面引理中的酉矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵就等于它的共轭转

意的是，只有所有特征值均为半单的方阵才能相似于一个对角矩阵；但一般而言，大多数普通方阵通常无法对角化，充其量只能相似到上三角矩阵。这里的关键在于，所使用的变换矩阵可不是一般的非奇异矩阵，而是性质更为特殊的酉矩阵。

可以用数学归纳法证明舒尔的分解定理，第一步先证引理对1阶矩阵为真（这是显然成立的，因为此时已经是上三角矩阵了，就取为1阶单位矩阵，即数1）。第二步，首先假设引理对所有 − 1阶矩阵为真，然后证明它对阶矩阵也为真。然而，相较于对一般自然数的证明，证明 = 3的特例更为直接明了。后者不仅过程干脆利落，更重要的是能一目了然地揭示证明的思想，有助于直观把握定理的本质。

所以，我们令

从酉矩阵到正规矩阵

到目前为止，我们已经攻下“哪类矩阵可以对角化”的第一关。既然埃尔米特矩阵能酉相似于对角矩阵，我们肯定会对在其中扮演了关键角色的酉矩阵产生好奇：酉矩阵本身是否也能“酉相似于”对角矩阵呢？或许会有读者惊 奇，回答是肯定的。

比较这两个相等矩阵表达式右端的对应元素，显然有 = = = 0，从而是一个对角矩阵。对一般阶正规矩阵的证明如法炮制。

到此为止，我们完成了下列定理 1 的证明。

（i）任何埃尔米特矩阵均酉相似于一个实对角矩阵；若限制在实数域内，则所有实对称矩阵正交相似于某个实对角矩阵；

（ii）每个酉矩阵都酉相似于一个复对角矩阵。

我们提请读者注意，虽然实对称矩阵可以正交相似于实对角矩阵，因而完全可以一劳永逸地在实数范围内讨论此类矩阵的特征值问题，然而，一般的正交矩阵却没有这个福气。比如，考虑平面上围绕原点逆时针转动角度的旋转矩阵

那么，何时一个正交矩阵可以正交相似于一个实对角矩阵？答案是：正交矩阵正交相似于一个实对角矩阵当且仅当它是对称的。如果正交矩阵是对称的，则根据命题 1，它的特征值均为实数，定理 1（ii）保证了它酉相似于一个实对角矩阵，但此时酉矩阵实际上可取为实矩阵，这是因为所有特征向量满足的齐次线性方程组的系数都是实数。故该对称正交矩阵正交相似于一个实对角矩阵。反过来，设正交矩阵正交相似于一个实对角矩阵，这意味

正规矩阵的谱分解定理

在定理 1 的叙述中，与给定正规矩阵酉相似的对角矩阵，它的对角线元素可以是所有依重数而重复的特征值的任意排列。现在，我们约定一个新的排列，它看上去最美观、最整齐，就是将个数等于重数的相同特征值放在一起。在这样的规则下，令阶正规矩阵的所

然而，如果我们仔细反刍关于正规矩阵的上述“谱分解公式”（3），就会发现，性质“可酉对角化”并非是这个分解式为真的必要条件。只要矩阵是可对角化的，这种分解就能冒出，只不过除非能借助酉矩阵完成将其“对角化”的使命，分解公式（3）中的投影算子只能是“斜角投影”而非“直角投影”，因而就与“最佳逼近”失之交臂了。作为这篇文章的结尾，我们列出更一般的谱分解定理，相信读懂此文后愿意动手的读者能写下证明的大意：

致谢：感谢周舒义编辑发现原文数学证明中的几处瑕疵。

注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。

版权说明：欢迎个人转发，任何形式的媒体或机构未经授权，不得转载和摘编。转载授权请在「返朴」微信公众号内联系后台。