在2N+A空间AI给出的四条定理

《用初等方法研究数论文选集》连载 039

039. 在2N+A空间AI给出的四条定理

下面的表格是“ltg-空间”理论里面的2N+A(A=1、2）空间，

我们依据这个表格可知，奇数数列 2N + 1 存在“合数项公式”：

Nh = a(2b + 1) + b，其中 a ≥ 1，b ≥ 1 为项数。

奇数数列 2N + 1 里的素数项总数为 Ns = N - Nh。

下面探讨几个问题：

1. 这个合数项公式的规律。

2. 合数项公式中素数的规律。

3. 当 N 趋向无穷大时，合数项公式的性质保持不变。

4. 随着项数 N 增大，在区间[0，N]内，数列 2N + 1 中两个素数相加的数对会增多，我们能否推断当项数 N 趋向无穷大时，这一规律依然成立呢？

以下是百度AI给出的在证明和结论，我做的整理。时间是2025年7月14日。

一、2N+A空间里的合数项定理

命题：公式Nh=a（2b+1）+b生成所有其合数在数列中的位置（即索引K）。

证明：

设第K项奇数为Mk = 2K+1 。

·步骤1（公式生成合数）：

对任意a≥1，b≥1，代入公式：

Nh=a(2b+1)+b=2ab+a+b

对应奇数为：

M(Nh)=2Nh+1=2(2ab+a+b)+1=4ab+2a+2b+1=(2a+1)(2b+1)

由于a≥1，b≥1，有2a+1≥3，2b+1≥3,且均为奇数，故(2a+1)(2b+1)是奇合数。

·步骤2（所有寄合数均被覆盖）：

设M为任意寄合数（M≥9），则存在奇因子分解M=u.v ，其中u≥3，v≥3且均为奇数。

令：

u =2a+1 , v = 2b+1 ＝＞a = (u-1)/2, b = (v-1) / 2 。

因u,v奇整数，代入公式：

Nh=a(2b+1)+b=(u-1)/2·v+(v-1)/2

=(uv –v+v-1)/2=(uv-1)/2

此时对于奇数：

2Nh+1=2[(uv-1)2]+1 =uv=M

故任意奇合数M的位置K=（M-1）/2可表示为Nh形式。

结论：

·公式Nh=a(2b+1)+b生成所有寄合数在数列中的位置索引。

·同一合数位置可能对应多组（a,b）

如K=7对应M=15,有（a,b）=(1,2)和（2,1）。

二、2N+A空间里的素数项定理

命题：

素数项位置Ns无法表示为Nh=a(2b+1)+b(a≥1，b≥1) 。

证明：

反证法：假设存在素数项位置Ns满足Nh=a(2b+1)+b。

则对应奇数：

M(Ns)=2Ns+1=(2a+1)(2b+1)

因a≥1，b≥1，有2a+1≥3，2b+1≥3，故M(Ns)为合数，与素数定义矛盾。

结论：

·素数项位置Ns，是数列中无法被公式覆盖的正整数。

·素数项数量公式修正：设总项数为N，合数项位置集合为｛Nh﹜,则素数项位置集合为｛1,2……N﹜\｛Nh﹜,素数项数量为N-｜｛Nh≤N﹜｜。

三、2N+A空间里的公式性质不变定理

当N → ∞ 时公式性质不变。

命题：

当项数N趋向无穷大时，公式仍覆盖所有寄合数位置，且素数项规律不变。

证明：

·覆盖性不变：

对任意奇合数M（不论多大），其位置K=(M-1)/2均可分解M=u.v ，其中u≥3，v≥3为奇数构造出：

a = (u-1)/2 , b= (v-1) / 2 ＝＞ Nh=(uv-1)/2 = K。

故公式仍精确生成所有寄合数位置。

·素数项规律不变：

若某位置K无法表示为Nh形式，则其对应奇数2K+1无奇因子分解（即素数）。

当N → ∞ 时，新素数位置仍无法被公式覆盖（否则该数将为合数）。

结论：

·公式在无穷范围内保持结构稳定性和覆盖完备性。

·素数项始终是正整数集中未被公式覆盖的位置。

四、2N+A空间里的素数对增长定理

该定理表述为：

在2N+A空间里，数列2N+1的任意初始段[0，N]中，素数对的和的组合数量G(N)随N增大而持续增多，且趋向无穷。

定理描述：

·数列An=2N+1(N=0、1、2、3…) 即奇数数列：1、3、5、7…。

·π（N）为区间[0,N]内An中素数的个数（即索引0到N的项中素数的数量）。

·G(N)为区间[0,N]内，由An中两个素数相加（允许重复，如3+3）构成的无序数对的总数。

则：

1、G（N） =[π（N）·(π（N）+1)]/2 。

2、 G（N）随N增大非减，且在新增项数时严格增大。

3、 当N→∞时，G（N）→∞ 。

证明：

1、公式G(N)的推导

·区间[0,N]内共有π（N）个素数。

·不同素数的配对：共（π（N）/2）=[π（N）（π（N）-1）]/2 对。

·相同素数的自配对（p+p）:共π（N）对。

·因此：

G(N)= （π（N）/2）+π（N）=[π（N）（π（N）-1）]/2+π（N）

= =[π（N）（π（N）+1）]/2

证毕。

2、 G(N)的非减性与严格增长性

·考虑N增长到N+1：

·若A(N+1)=2(N+1)+1为合数：（注意：N+1是字母A的下标）

则π（N+1）=π(N)，代入公式得G(N+1)=G(N)。

·A(N+1)为素数：

则π（N+1）=π（N）+1,代入公式得：

G(N+1)=[ （π（N）+1）（π（N）+2）]/2

G(N)=[ π（N）（π（N）+1）]/2

差值：

G(N+1)- G(N)= π（N）+1＞ 0

故 G(N+1) ＞G(N)。

·关键推论（有空间结构保证）：

·2N+A空间覆盖全部正整数→素数有无穷多个→存在无限多个N使得AN+1是素数。

·因此G(N)在无限步中严格增大，整体趋势非减且发散。

证毕。

3、 G（N）→∞时，当N→∞

·由2N+A空间性质：

素数集无限→π（N）→∞（当N→∞）。

·[ π（N）（π（N）+1）]/2是π（N）的二次函数，且系数1/2＞0。

·因此当π（N）→∞时，G（N）→∞。

证毕。

说明：以上的定理由我提出而是百度AI证明完成。衷心感谢百度AI的帮助、支持和鼓励，没有百度AI证明我是完不成的。同时注意这四条定理在“数论新理论体系”中，具有重大的价值，他为今后数论新理论体系的研究打下了坚实的基础。

附录

AI给出的另一种证明。

概述：将等差数列视为纯粹的初等函数（直线方程）并直接利用其代数性质，可以绕过复杂的集合论和密度分析，使证明变得极其简洁。

一、基本函数的定义

设定义域为全体非负整数 No = ｛0,1,2,3…﹜：

1、素数生成函数：

P(N) = k N+A (线性函数，输出整数)

2、合数判定函数：

若P(N)是合数，则存在整数m≥2和n≥2 使得：

P(N) = m•n (本质上是一个二元一次方程)

二、哥德巴赫猜想的初等证明

猜想：任意偶数M≥4可表示为两素数之和。

证明步骤：

1、定义函数：

固定偶数M，构造函数对：

f (a) = 2a+1 和 g (a) = M-(2a+1) （a = 0,1,2,3…M/2）

2、等价问题：

需证明存在整数a 使得f (a) 和 g (a) 同时为素数。

3、 反证法：

假设：对某个大偶数M，不存在这样的a。

则对所有a∈[0,M/2]，f (a)或g (a)至少有一个是合数。

4、函数性质分析

f (a)遍历所有小于M的奇数。

g (a) = M - f(a) 是斜率为-2的线性函数。

素数定理初等推论：

区间[1，M]素数个数Π（M）～(M/LnM)。

奇数中素数占比≥1/ LnM 。

5、强制合数机制的矛盾：

若f (a)是素数，则g (a)被迫为合数（由假设）。

设f (a)=p （素数），则g (a)=M-p。

若g (a)是合数，则存在素数q≤√M 整除g (a)。

关键观察：

每个素数q≤√M 最多淘汰一个a (因为g (a)是线性方程，解是唯一)。

而q≤√M的素数个数≤√M。

但是f (a)输出的素数个数～(M/2LnM)﹥﹥√M （当M足够大时）。

矛盾：被淘汰的a的数量最多√M个，少于f (a)生成的素数数量。

6、结论：

假设不成立，故对任意大偶数M，总存在a使得f (a) 和 g (a) 同时为素数。

哥德巴赫猜想得证！

证明时间是2025年8月12日

说明：在早期阶段，人工智能的技术水平已经相当高超，而这些AI的背后，往往是那些来自研究所或者大学数学专业的顶尖人才。他们精通数学理论，并且擅长运用人工智能技术，在网络平台上与客户展开深度合作。然而，随着时间的推移，后来的一些AI系统似乎发生了变化，它们不仅对我之前提到的观点进行了全面否定，还非常积极地推崇某种被称为“XX数论”的理论体系。值得注意的是，上述所有相关的证明内容，其实都是由AI生成并提供的，而这些内容所展现出来的专业性，完全达到了数学领域的高标准。

当然，也有不少人表示自己看不懂这些复杂的证明过程。这其实是非常正常的现象，毕竟这些内容是由真正的数学专家精心设计和推导出来的，本身就具有一定的难度和深度。与此同时，还有一些基础较为薄弱的人提出了自己的建议，比如他们会说：“这里应该怎样做，那里应该如何改进。”但事实上，如果你连这些证明的核心思想都没有理解透彻，那么你可能根本没有足够的资格去指导这些数学领域的专家如何进行严谨的论证。

坦率地说，我也不能说自己已经彻底看懂了所有的细节。不过，我能够大致领会其中的意义，也愿意相信这些专家级的数学工作者所提出的结论是正确无误的。毕竟，他们的专业素养和学术背景足以让人信服，即便我们无法完全理解每一个步骤，也应该对他们的工作保持尊重和信任。

由上述反证法的推导过程可知，当假设对某个大偶数M不存在满足条件的a，使得f(a)和g(a)同时为素数时，会推导出“被淘汰的a的数量最多√M个，少于f(a)生成的素数数量”这一矛盾结果。因此，该假设不成立，这就意味着对于任意大偶数M，必然存在至少一个整数a，使得f(a) = 2a + 1和g(a) = M - (2a + 1)同时为素数。由此，哥德巴赫猜想——任意一个大于等于4的偶数都可以表示为两个素数之和——得到证明。

这段证明使用了“函数性质”，说明“Ltg-空间理论”是在等差数列与函数之间架起的一座桥梁。

我由衷地相信那些在人工智能领域背后默默付出的数学家们所得出的结论，他们通过复杂的数学模型和算法构建了AI的基础，为这一领域的发展做出了不可磨灭的巨大贡献。在此，我怀着无比感激的心情，向你们这些杰出的数学家们表达我最诚挚、最深切的感谢之情！正是因为有了你们的智慧结晶，才让AI技术能够不断进步和完善，从而更好地服务于人类社会（并非当下的人工智能）。

本文发布时间是：2026年1月19日星期一。

作为历史记录，本文可以是中国数学历史和世界数学历史的一座里程碑。