何新数学史札记（5）：简述贝克莱悖论

【摘要】

1734年，爱尔兰乔治·贝克莱主教发表《分析学家》一书，对牛顿和莱布尼茨创立的微积分方法进行了深刻批判。贝克莱的核心目标并非否定微积分作为数学分析工具的有效性，而是指出其在概念和逻辑上的结构矛盾即不严密性。

何新1980年代数学史读书札记（5）
【贝克莱危机】
英国乔治·贝克莱（George Berkeley）主教于1734年匿名发表《分析学家》（The Analyst）一书。这是一部针对牛顿和莱布尼茨创立的微积分——数学分析方法之哲学基础的批判性著作。

在此书中，贝克莱对微积分中“无穷小量”进行了剖析和批评，指出其存在内在矛盾。这一批评撼动了微分分析的概念和逻辑基础，史称“贝克莱悖论”（Berkeley's paradox）。

一、贝克莱悖论的数学意义
1/微积分中的无穷小量
微分分析中的关键概念是“无穷小量”。
微分方法，又称数学分析。所谓“分析”，指把变化量分解为流动性的无穷小的部分量（瞬间量）来研究其变化规律（求其变化率即求导数）。
贝克莱针对这个无穷小概念指出，微分分析在推导过程中存在不可调和的逻辑矛盾。
他指出，在微分推导过程中，无穷小量，无论分解到多么小，始终是一个可以确定的非零量，但是最后寻求计算结果时，这个非零量却必须被当作零，这在概念和逻辑上是自相矛盾的。

2/微积分悖论的数学意义：
矛盾在于：Δx≠0与Δx=0，
因此贝克莱质疑牛顿所谓流数法，关于瞬量的概念——
第一语义模糊：Δx到底是什么？一个很小很小的数？一个趋近于零的过程？还是纯粹的工具性符号？
第二操作合法性缺失：为什么作为实存量先除，而后却作为零量被抛弃？
[附注：
在早期微积分算法中，导数被视为两个无穷小量的比。例如，对于函数f(x)=x²，其导数的计算步骤为：
第一步：计算增量
(x + Δx)² − x² = 2xΔx + (Δx)²
第二步：除以Δx
[2xΔx + (Δx)²] / Δx = 2x + Δx
第三步：令Δx=0
导数=2x
在这一过程中，Δx的角色发生了变化：它在除法中必须是作为一种非零量，而在最终结果中又必须被当作零。]

3/贝克莱的质疑
贝克莱指出，Δx在同一推理过程中被赋予了相互矛盾的属性：
• 非零（以便允许除法）
• 零（为了得到最终结果）
这种矛盾直接违反了逻辑中的矛盾律。
也就是说，在逻辑结构上：一个对象在同一论证过程中的同一时刻，被赋予了不相容的属性。（矛盾律）

因此贝克莱将这种动态量（牛顿所谓流数或者瞬时量）讽刺地称为“又死又活的幽灵数”，并质疑其本体论地位——Δx究竟是一个极小的量、一个趋近过程，还是一个纯粹的符号？
贝克莱的批判深刻揭示了早期微积分理论存在的明显逻辑漏洞，构成了“贝克莱悖论”。

二、悖论的逻辑结构分析
贝克莱悖论的本质是语义歧义。
Δx在不同步骤中具有不同的语义：
• 在除法步骤中，Δx表示非零量
• 在最终步骤中，Δx表示零量
• 在某些解释中，Δx表示趋近于零的过程
由于这些语义在同一推理中被混用，导致逻辑不一致。

从现代逻辑角度看，贝克莱悖论属于“歧义谬误”：同一符号在同一论证中被赋予不同含义，从而导致推理错误。

三、贝克莱悖论引发的数学危机
贝克莱的批判直接引发了数学史上的第二次数学危机。

尽管在实际应用方面，微积分在物理和工程中取得巨大成功，但其逻辑基础却被证明是不牢固的。

数学家们意识到，必须为微积分建立严格的基础，否则其结论只能被视为经验性的技术工具。

贝克莱悖论被数学家希尔伯特称为第二次数学危机，这一危机持续了约150年，直到19世纪末极限理论的建立才表面上似乎得到解决。

四、解决方案的演进

1、柯西-魏尔斯特拉斯极限论（19世纪末）
通过ε-δ语言，改变语词说法和描述，将"无穷小"变量这个说法驱逐出数学本体论：
——不再说"Δx是无穷小"，而是说"对于任意ε>0，存在δ>0，当0<|Δx| <δ时..."< pan>
导数不是"最终比值"，而是比值的极限。
核心策略：将动态过程转化为静态的、可验证的不等式关系。

2、非标准分析（罗宾逊，1960年代）
反柯西方法，承认变量的流动性将无穷小合法化：
——构建超实数系统*R，包含真正的无穷小量，
证明：在严格的逻辑框架内（模型论），可以存在Δx≠0且其标准部分为0，
某种意义上" vindicates"了牛顿、莱布尼兹的直觉。

3、光滑无穷小分析（约翰贝尔，1970年代）
采用直觉主义逻辑，放弃排中律：
——无穷小量Δ满足Δ²=0，但Δ≠0，
通过弱化逻辑系统（引进可兼容性多值逻辑）避免矛盾。

五、贝克莱微积分批评的真实意图：
事实上，贝克莱主教的攻击并非纯粹数学上的严谨性考量，而是具有神学论战目的：
• 他想证明：以牛顿、莱布尼兹为代表的"自然哲学"（科学主义）基础并不比宗教信仰更可靠。

• 如果微积分这个最辉煌的智力成就都建立在逻辑矛盾之上，那么无神论者嘲笑宗教"神秘"性就是虚伪的。
• 著名的贝克莱讽刺是："无神论者的信仰比基督徒的信仰更不合理性"。

结语：更深层的哲学启示：
实际上，"贝克莱危机"最终没有被"解决"，而只是被转化为不同的数学框架，使用不同的逻辑语言解释，但是每个框架都有不同的本体论承诺和逻辑代价。