在理查德·费曼一场鲜为人知的演讲中,他带领学生用中学数学证明行星的轨道是椭圆。其中我们可以提取出这样一个有趣的几何问题:想象一个圆,从其内部任意一点向圆周发出无数条射线。这些射线与圆相交,形成一系列线段。
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接着,将每条线段绕其自身的中点旋转90度——这实质上就是作出该线段的中垂线。那么,这一族无限多条中垂线,它们所共同描绘出的轮廓(数学上称为“包络线”)会是什么形状?
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令人惊讶的是,这个轮廓恰好是一个椭圆。这个从简单圆和旋转操作中浮现出的椭圆,仿佛一个隐藏的宝藏,揭示了圆与椭圆之间深刻而优美的内在联系。
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从圆到椭圆:形状的变形记
一个自然的追问随之而来:如果我们一开始的“舞台”不是圆,而是一个椭圆呢?从椭圆内一点出发,重复上述过程,其中垂线的包络线又会形成何种曲线?
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这引向了更为复杂的图景。当发射点位于椭圆较“尖”的一端附近时,包络线会收缩,呈现出类似水滴的轮廓,线条圆润而凝聚。若将发射点置于椭圆的中心附近,包络线则可能向两侧舒展,形成一道宛如微笑的宽阔弧线,仿佛一个“笑口常开”的形状。
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这些图案的千变万化,取决于原始椭圆的形状和发射点的精确位置。若再推广至任意一条闭合曲线,其可能性与复杂性将超乎想象,这无疑是一片值得深入探索的几何沃土。
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多边形的简化世界:抛物线浮出水面
为了在复杂中寻找清晰,我们不妨退一步,考察更简单的多边形情形。以三角形为例:从一个点向三角形的三条边发射射线并作其中垂线,其整体包络线会是什么?我们或可推测,它可能由三段不同的曲线平滑连接而成。
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聚焦于其中一条边,问题便简化了:固定直线外一点,连接该点与直线上所有点,再作出这些连线的中垂线族。那么,这一族直线的包络线是何形状?
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根据一些基于几何软件和算法的初步研判(常被通俗地称作“人工智能研判”),这个包络线很可能是一条经典的圆锥曲线——抛物线。这个猜想颇具直觉之美:直线外一点,与直线上动点连线中垂线的扫掠轮廓,恰是抛物线这种兼具对称与开放特性的曲线。到底是不是呢?需要读者亲自动手去证明,你得到的将比结论更多。
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