两百年前：阿贝尔对五次方程问题的破解

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两百年前，阿贝尔1826年著名的五次方程代数不可解性证明，阿贝尔原始论证采用的方法与现代方法截然不同，他是怎么做到的呢？

作者：Adrian Rice（阿德里安·赖斯教授）美国数学会通告 2026-01

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-12-21

1. 引言

任何在学校学过数学的人，都会将“代数”一词与方程研究，尤其是方程求解方法联系起来。然而，那些在大学深造代数的人会发现，这门学科与中学阶段截然不同——方程求解完全被群、环及其他更抽象的结构研究所取代。大多数本科生都未曾了解，约1800年之前本质上等同于代数的“方程理论”，是如何演变为如今的现代代数的。

两百年前，这一变革尚处于起步阶段，一位名不见经传的挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802–1829）发表了一项证明，指出一般五次方程无法通过纯代数方法求解。这一证明不仅解决了困扰数学界近三个世纪的难题，还为埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）的开创性工作奠定了基础，催生了群论，并最终促成了现代抽象代数的诞生。

阿贝尔的名字在数学领域早已不朽：阿贝尔求和公式、幂级数的阿贝尔极限定理、阿贝尔积分、阿贝尔簇，以及近些年设立的阿贝尔奖——该奖项每年授予一位或多位杰出数学家。在本科生群体中，阿贝尔的名字最常见于群论领域：若群运算满足交换律，则该群被称为“阿贝尔群”。

颇具讽刺意味的是，群的概念在阿贝尔1829年去世后才由伽罗瓦于1830年代初正式引入数学界；更具讽刺意味的是，阿贝尔1826年著名的五次方程代数不可解性证明，如今通常以群论语言呈现，而读过阿贝尔原始论证的数学家却相对寥寥——他采用的方法与现代方法截然不同。

本文将以阿贝尔的表述风格概述其证明，展现这一成果既是数学史上一段漫长探索的终点，也是一个全新时代的起点。

图1 尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802–1829）

2. 1545年之前的代数方程

一次方程和二次方程的求解方法可追溯至古代。事实上，公元前两千年的楔形文字泥板显示，美索不达米亚人使用的算法，在实践中与二次方程求根公式的特殊情形等价⁠【参考资料6：20–31页】

x=(-b± √{b²-4ac})/(2a)

当然，当时并不存在这样的符号表达式，问题及其求解方法均完全通过文字描述。（可识别的代数符号直至17世纪才出现【参考资料6：249–252, 264页】）尽管如此，通过希腊数学家丢番图（Diophantus，约公元250年）、伊斯兰博学家花拉子米（Al-Khwārizmī，约公元820年）等学者的努力，一次方程和二次方程的构造、分类及求解技巧得以创立和完善。

尽管花拉子米在早期数学史著作中被誉为“代数之父”，但其关于方程的研究却存在一些出人意料的特点——尤为突出的是，他完全未认可负数（及复数）的存在。尽管奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam，1048–1131）等多位中世纪学者付出了努力，但三次方程等高阶方程的一般代数求解公式仍迟迟未能问世【参考资料6：165–172页】。

1545年，意大利数学家吉罗拉莫·卡丹（Girolamo Cardano，1501–1576）发表了求解一般三次方程的首个通用方法，取得了突破性进展：

ax³+bx²+cx+d=0

通过巧妙的代换x=y-b/(3a)，该方程可简化为如下形式：

y³+py+q=0

其解可通过新的三次方程求根公式得出：

y=∛{-q/2+√(q²/4+p³/27)}+∛{-q/2-√(q²/4+p³/27)}

尽管卡丹成功推广并发展了这一发现，但该方法并非由他首创。这一方法的诞生及其最终发表过程中的权谋纷争，是数学史上最引人入胜且颇具争议的篇章之一（详见【参考资料6：215–219页】）。

尽管如此，卡丹在三次方程方面的工作仍带来了诸多积极影响：其一，推动了负数和复数逐渐被主流数学思想认可和接受；其二，直接促使其学生洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari，1522–1565）发现了四次方程的求解方法。

至此显而易见的是，对于所有次数n≤4的代数方程，都能找到日益精密的一般公式，将解表示为仅包含原方程系数通过加、减、乘、除及开方运算组合而成的表达式。这类方法被称为“根式求解”。接下来的明确目标，便是寻找一般五次方程的根式求解公式。

3. 对五次方程的探索

在随后的250年里，代数学取得了巨大发展。1629年，阿尔伯特·吉拉德（Albert Girard）提出了后来被称为“代数基本定理”的命题，该定理最终由高斯（Gauss）于1799年证明；1637年，笛卡尔（Descartes）引入了至今仍在使用的x,y,z式符号表示法。尽管韦达（Viète）、奇恩豪斯（Tschirnhaus）、贝祖（Bézout）、欧拉（Euler）等学者在方程理论方面做出了重要贡献，但截至18世纪中叶，一般五次方程的代数求解公式仍毫无头绪。

1770年，约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736–1813）在一篇极具里程碑意义的论文中，对过去两个世纪以来用于求解三次和四次方程的所有方法进行了精湛综述。这篇论文标志着数学界对五次方程的态度发生了根本性转变——尽管拉格朗日成功梳理并系统化了求解次数不超过4的方程的关键技巧，但他同时证明，这些技巧无一能应用于五次方程【参考资料6：295–298页】。由此，“一般五次方程可能不存在代数求解公式”的想法首次浮出水面。

图2 约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736–1813）

1799年，意大利数学家保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini，1765–1822）发表了《方程的一般理论》，首次尝试证明一般五次方程无法通过根式求解。该书全称意为“方程的一般理论——证明次数高于四次的一般方程不存在代数解”。

鲁菲尼的证明异常复杂冗长，尽管他随后两次修订并重版了该著作，却未能说服广大数学界。尤为重要的是，该证明遭到了当时被公认为数学界中心的巴黎科学院的拒绝。如今人们普遍认为，尽管鲁菲尼的论证略显晦涩，但本质上是正确的，只是存在一些漏洞【参考资料4】。

图3 保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffiin，1765–1822）

然而，他的证明成功说服了一位法国顶尖数学家。著名分析学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）认可了鲁菲尼的工作，并受其启发，对其中一个方面进行了更深入的研究。鲁菲尼在证明中运用了拉格朗日1770年论文中的一个关键思想，即方程的代数可解性与根的置换密切相关。当时人们已知道，一般首一（monic，首项系数为1）方程：

xⁿ +an₋₁ xⁿ⁻¹ +⋯ + a₂ x² + a₁x + a₀=0

的系数可表示为其根x₁,x₂,...,xn的函数。例如：

x₁₊x₂₊⋯ +xn=-an₋₁

以及 x₁ x₂⋯ xn=(-1)ⁿ a₀

此外，由于实数域上的加法和乘法满足交换律，这些函数具有对称性——换句话说，交换或置换根的位置，函数值保持不变。柯西随后深入研究了置换理论，并于1815年发表了一篇重要论文。在该论文中，他证明了：若n个对象的有理函数在这n个量被置换时，取值个数少于小于n的最大素数，则其最多只能取两个不同的值⁠【参考资料5：第9页】。

置换理论被证明是群论早期发展的关键——在伽罗瓦的工作中，所考虑的群正是代数方程根的置换群。当然，如今证明五次方程不可根式求解，通常采用群论和伽罗瓦理论的语言。对于任意方程，可定义其对应的伽罗瓦群G。若存在如下子群序列：

{e}=G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ ⋯ ⊆ Gn₋₁⊆ Gn= G

其中每个Gᵢ是Gᵢ₊₁的正规子群，且每个商群Gᵢ₊₁/Gᵢ均为阿贝尔群，则称该（有限）群为“可解群”。若一个方程的伽罗瓦群是可解群，则该方程可通过根式求解。

对于一般三次方程，其伽罗瓦群为S₃（三个对象的所有置换构成的群），其正规子群为A₃（偶置换构成的交错群），而A₃唯一的正规子群是仅含单位元的平凡群{e}。由于：

{e}⊆ A₃ ⊆ S₃

且S₃/A₃与A₃/{e}=A₃均为阿贝尔群，因此S₃是可解群，进而一般三次方程可通过根式求解。

对于一般四次方程，可构造如下正规子群链：

{e}⊆ ⟨g⟩ ⊆ K₄⊆ A₄⊆ S₄

其中K₄={e,g,h,gh}为克莱因四元群。同样，S₄/A₄、A₄/K₄、K₄/⟨g⟩及⟨g⟩/{e}均为阿贝尔群，因此一般四次方程可通过根式求解。

然而，当研究一般五次方程时，这一过程便会中断。S₅（五个对象的所有置换构成的群）唯一的真正规子群是交错群A₅，而A₅唯一的正规子群是平凡群{e}，由此仅能得到如下唯一的子群链：

{e}⊆ A₅⊆ S₅

但在此情形下，A₅/{e}=A₅是非阿贝尔群，这意味着S₅不是可解群，因此一般五次方程无法通过根式求解。

尽管这正是阿贝尔1826年证明的结果，但他采用的方法却截然不同——很大程度上是因为当时群的概念尚未出现。那么，他是如何证明五次方程的代数不可解性的呢？

4. 阿贝尔的证明

颇具讽刺意味的是，阿贝尔最初是从相反方向着手研究这一问题的。他起初认为自己找到了一般五次方程的求解公式，但在被要求提供更多细节时，他意识到了自己的错误，于是转而尝试证明其不可解性。1824年，阿贝尔发表了首个证明版本，指出一般五次方程无法通过根式求解【参考资料1】。

该证明以小册子形式自费出版，他希望将其作为“名片”，吸引欧洲顶尖数学家的关注，从而跻身其中。然而，印刷成本高昂，为节省开支，阿贝尔仅提炼了核心论点，部分内容未能在有限篇幅内完整证明。

幸运的是，他很快获得了德国数学家奥古斯特·利奥波德·克雷勒（August Leopold Crelle，1780–1855）的友谊与支持。1826年，克雷勒在其创办的《纯粹与应用数学杂志》（即广为人知的《克雷勒杂志》）第一卷中，发表了阿贝尔论文的大幅扩展版本，其中包含了完整的证明，详细阐释了所有细节【参考资料2】。

尽管仍存在一些微小漏洞（后来均被补齐），但这一证明最终获得了数学界的广泛认可。以下是阿贝尔核心论证的概述（关于阿贝尔证明的更详尽分析，参见【参考资料7】；【参考资料8】则以域论语言对其核心思想进行了更现代的呈现）：

阿贝尔首先假设一般五次方程可通过根式求解，这意味着在最一般的情形下，所有根互不相同。对于次数为素数n（因此无法因式分解）的一般n次方程：

（1） an xⁿ + an₋₁ xⁿ⁻¹ +⋯ + a₂x² + a₁x + a₀ = 0

他证明了其所有代数解均可表示为如下形式：

x=p+p₁R^{1/n}+p₂R^{2/n}+⋯ +pn₋₁R^{(n-1)/n}

其中p, p₁, p₂, ..., pn₋₁是根式与多项式的有限和，且R的n次方根是原方程系数的无理函数。不过，阿贝尔将其改写为如下形式：

（2） x=p+R^{1/n}+p₂R^{2/n}+⋯ +pn₋₁R^{(n-1)/n}

即通过改写定义用新的R代替原来的p₁ⁿ R形式，从而使得p₁被融合到新的函数R中。

随后，他将上述形式的x代入原方程（1）等式左边，并将结果化简为（2）中的形式，得到形式：

（3） P=q+q₁R^{1/n}+q₂R^{2/n}+⋯ +qn₋₁R^{(n-1)/n}

由于方程（1）等于0，因此这个形式P也等于0。阿贝尔通过一个巧妙的论证证明，要使该等式成立，所有qᵢ必须均为0。由此他得出结论：任何形式为（2）的解x，均可只用根的有理函数表示。这一需要证明的事实，在鲁菲尼的早期证明中被直接假设，成为其主要缺陷之一。

此时，读者可能需要一个简单示例，不妨考虑二次方程：

（4） x² + bx+c=0

阿贝尔声称其解可表示为x=p+√R ，我们来验证这一点。将x=p+√R 代入（4），得到：

(p²+R+bp+c)+(2p+b)√R=0

要使该等式成立，两项系数必须均为0，因此首先有：

p=-b/2

其次有：

R=b²/4 -c

由二次方程求根公式可知，方程（4）的所有解为：

x=(-b± √{b² - 4c})/2

若将其改写为：

x=-b/2± √{(b² - 4c)/4}

则确实验证了二次方程的解可表示为x=p+√R的形式。

那么，这如何能说明此类形式的解可只用根的有理函数表示呢？尤其是√R 项（毕竟它是原方程系数的无理函数），为何能成为根的有理函数？

考虑我们刚刚得到的两个根：

x₁ =-b/2+ √{(b² - 4c)/4}

x₂ =-b/2- √{(b² - 4c)/4}

它们显然是x=p+ √R形式的函数。逐一分析x的各个组成部分：

首先，p=-b/2=(x₁ + x₂)/2，这显然是根的有理函数；

其次，x₁ - x₂=√{b² - 4c}，因此：

(x₁ - x₂)²=b²-4c=4(b²/4-c)=4R

进而有：

√R=(x₁ - x₂)/2

由此可见，任何形式为x=p+√R 的解，均可表示为原二次方程根x₁和x₂的有理函数。

对于五次方程，根据形式（2），其解应表示为：

（5） x=p+R^{1/5}+p₂R^{2/5}+p₃R^{3/5}+p₄R^{4/5}

根据阿贝尔已证明的结论，这意味着其所有组成部分——p, p₂, p₃, p₄以及R^{1/5}的各整数次幂——都必须是五次方程根的有理函数。

接下来是阿贝尔的神来之笔。他借鉴了柯西1815年关于置换的定理，考虑了n=5的特殊情形，得出如下结果【参考资料2：第77页】：

若五个量的有理函数在这五个量被置换时取值个数少于五个，则其要么取两个不同值，要么取一个值。

在1824年的著作中，他仅引用了柯西1815年的论文，但在1826年的扩展论文中，他给出了完整证明，并恰当致谢柯西。随后，他将注意力转向一般五次方程的假设解（5），其每个部分都是根的有理函数。根据代数基本定理，该解最多有五个值。他选取其中一个组成部分R^{1/5}，分析了五个根被置换时的情况。

图4 奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）

一般而言，R^{1/5}不可能仅取一个值——否则将导致方程只有一个解，而非他所假设的五个不同解。根据柯西定理，R^{1/5}只能取两个或五个值。若取五个值，阿贝尔证明这将导致一个矛盾：等式一侧有五个可能值，而另一侧有120个不同值，这显然不可能。仅剩R^{1/5}取两个值的情形，但阿贝尔证明，此时根被置换后，会出现另一个矛盾：等式一侧有120个可能值，而另一侧仅有10个。

因此，无论哪种情况，矛盾都不可避免。阿贝尔由此得出结论：“一般五次方程无法通过根式求解。”⁠【参考资料2：第84页】他在文末补充道：“由该定理可直接推出，次数高于五次的一般方程同样无法通过根式求解。”

这一推论的证明留给读者作为简单练习。

5. 后续发展

与数学史上许多著名问题一样，一个问题的成功解决往往会开启新的研究方向，阿贝尔的证明也不例外。如今人们已知，对于次数为n≥5的一般方程无法通过根式求解。这引发了两个进一步的问题：如何找到给定次数的所有代数可解方程；以及对于任意n次方程，如何判断其是否可通过根式求解。这些正是阿贝尔着手解决的问题。

他早已知道，若一个方程可通过根式求解，则其任意两个根之间存在有理函数关系，因此所有根均可表示为彼此的有理函数。在1829年的一篇论文中【参考资料3】，他研究了复合次数的方程，发现若x₁是某方程的一个根，且另外两个根可表示为θ₁(x₁)和θ₂(x₁)（其中θ₁和θ₂是x₁的两个可能不同的有理函数），则该方程可解当且仅当：

θ₁(θ₂(x₁))=θ₂(θ₁(x₁))

换句话说，阿贝尔发现了方程的代数可解性与函数复合的交换律之间的明确联系。这也正是运算满足交换律的群被称为“阿贝尔群”的原因。

令人遗憾的是，阿贝尔未能亲眼见证这一认可。他解决了当时最重大的数学难题之一，却未能获得他所追求的数学声誉或学术职位。1829年4月，他因肺结核去世，年仅26岁【参考资料10】。

直到他去世后，其开创性工作——以及另一位同样英年早逝的天才数学家的工作——才最终得到认可。14年后的1843年7月4日，在巴黎科学院的一次会议上，数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）宣布：“在埃瓦里斯特·伽罗瓦的论文中，我发现了对这一优美问题——即[多项式方程]是否可通过根式求解——的精准而深刻的解答……”⁠【参考资料9：xxiii】

这标志着伽罗瓦关于方程理论的开创性著作开始被世人知晓，群的概念被引入数学界，并最终将代数从一系列分析和求解方程的方法，转变为如今对抽象结构的现代研究。

而这，便是另一段故事了……

原文参考文献

[1] N. H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l’impossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième dégré (French), Facsimile edition, University of Oslo, Faculty of Science, The Librarian, Oslo, 1957. MR81258

[2] N. H. Abel, Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen (German), J. Reine Angew. Math. 1 (1826), 65–84, DOI 10.1515/crll.1826.1.65. MR1577598

[3] N. H. Abel, Mémoire sur une classe particulière d’équations résolubles algébriquement (French), J. Reine Angew. Math. 4 (1829), 131–156, DOI 10.1515/crll.1829.4.131. MR1577723

[4] Raymond G. Ayoub, Paolo Ruffini’s contributions to the quintic, Arch. Hist. Exact Sci. 23 (1980/81), no. 3, 253–277, DOI 10.1007/BF00357046. MR606270

[5] Augustin-Louis Cauchy, Mémoire sur le nombre des valeurs qu’une fonction peut acquérir, lorsqu’on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu’elles renferme, Journal de l’École Polytechnique 10 (1815), no. 17, 1–28.

[6] Victor J. Katz and Karen Hunger Parshall, Taming the unknown: A history of algebra from antiquity to the early twentieth century, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2014, DOI 10.1515/9781400850525. MR3237138

[7] Peter Pesic, Abel’s proof: An essay on the sources and meaning of mathematical unsolvability, MIT Press, Cambridge, MA, 2003. MR1980425

[8] Michael I. Rosen, Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree, Amer. Math. Monthly 102 (1995), no. 6, 495–505, DOI 10.2307/2974763. MR1336636

[9] Ian Stewart, Galois Theory, 3rd ed., Chapman & Hall/CRC Mathematics, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004. MR2008456

[10] Arild Stubhaug, Niels Henrik Abel and his times: Called too soon by flames afar, Springer-Verlag, Berlin, 2000. Translated from the second Norwegian (1996) edition by Richard H. Daly, DOI 10.1007/978-3-662-04076-8. MR1762652

本文作者：阿德里安·赖斯（Adrian Rice）

伦道夫-麦肯学院多萝西与马斯库·加内特数学教授

文章DOI：10.1090/noti3264

参考资料

https://www.ams.org/journals/notices/202601/noti3264/noti3264.html

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