科学通报 | 用张量网络探索开放量子系统的拓扑相: 构造、分类和实现

拓扑量子物态是凝聚态物理与量子信息交叉领域的前沿方向. 过去十余年, 该领域不断深化人们对量子多体系统的理解. 从拓扑绝缘体、拓扑超导体到各类新型量子材料, 这些特殊拓扑物态不仅在基础研究中理论价值深厚, 更在未来量子技术中展现出广阔的应用前景. 随着对量子纠缠和对称性认识的提升, 拓扑物态正成为连接物理学各分支的重要纽带, 为揭示自然界复杂结构、探索新物理规律, 以及开发新一代量子器件提供了全新视角.

在众多拓扑量子态中, 内秉拓扑态(intrinsic topological states)具有长程纠缠, 反映了强关联系统中涌现的非平凡量子结构 [1] . 与之相对, 对称性保护拓扑态(symmetry-protected topological states, SPT态)只具有短程纠缠, 但在特定对称性的保护下依然呈现出非平凡的拓扑结构 [2] . 这些拓扑结构不能用传统的局域序参量区分, 其特性通常以零能模、简并态等形式体现在系统边界上. 目前, 针对玻色子和费米子系统的SPT相, 已有较为系统的构造和分类研究, 并在量子计算、量子纠错、量子相变等前沿方向展现出巨大的应用潜力.

然而, 大多数相关研究仍然基于理想的封闭系统, 即系统与环境无耦合、量子态始终保持纯态. 在现实中, 量子系统不可避免地受到环境的影响, 如热涨落、材料缺陷、光学损耗、退相干等, 使其表现为开放量子系统 [3] . 在这种情况下, 现有的SPT理论框架往往不再适用, 由此引出了若干关键问题: 在开放量子系统中, 原有的拓扑物态在环境的扰动下能否保持稳定? 除了封闭系统已知的拓扑结构, 开放系统是否还会涌现出全新的拓扑物态?

近年来的理论研究表明, 混态的对称性结构远比纯态更为复杂多样. 除了从纯态对称性直接推广而来的强对称性(strong symmetry), 还存在一种称为弱对称性(weak symmetry)的新类型 [4] . 强对称性要求混态中每个纯态分量在对称操作下具有相同的守恒量, 而弱对称性仅要求密度矩阵所代表的整体系综在统计意义上满足对称性, 因此又被称为平均对称性(average symmetry). 在一些具有部分退相干、系统和热环境具有相互作用的真实物理过程中, 系统可能仅以统计平均的方式保留对称性, 这为刻画量子混态的拓扑结构提供了新的视角 [ 5 , 6 ] .

在此背景下, 我们提出了一种新的研究思路: 利用张量网络中的局域纯化密度算符(locally purified density operator, LPDO), 构造并分类混态拓扑相 [7] . 张量网络方法不仅显著降低了量子多体系统的模拟复杂度, 还能为系统各组分之间的关联和纠缠结构提供直观而明确的表示, 因此在拓扑物态的数值模拟、解析构造和分类中具有重要的作用 [ 8 , 9 ] . 其中, LPDO是一种专门用于表示混态密度矩阵的网络结构, 使我们能够以可视化、简洁清晰的方式研究不同对称性在混态中的作用, 并为构造新型拓扑物态开辟新的途径.

借助该方法, 我们系统研究了一类混态拓扑相——平均对称性保护拓扑相(average symmetry-protected topological phases, ASPT相), 并针对一维和二维体系以及玻色子和费米子等多种开放量子系统给出了完整的分类方案 [7] . 特别地, 我们揭示了一种仅存在于开放量子系统、在纯态中没有对应物的特殊拓扑物态, 称为本征ASPT相. 此外, 我们提出了两种可在实验平台上实现并验证此类拓扑物态的方案. 本研究不仅建立了理解混态中新型拓扑结构的理论框架, 也为凝聚态物理与量子信息交叉前沿的探索提供了新的思路.

具体而言, LPDO方法的核心思想是在每个物理自由度上引入局域的环境自由度, 从而构造出混态对应的局域纯化态, 并利用张量网络进行建模, 如 图1(a) 所示. 该方法不仅延续了传统矩阵乘积态(matrix product state, MPS)在高效表征和计算方面的优势, 还天然适用于刻画真实的开放量子系统, 因此已被应用于含噪声量子线路模拟、量子态层析等量子信息处理任务 [ 10 , 11 ] .

图 1

(网络版彩色)基于LPDO的ASPT相构造和分类. (a) 密度矩阵的LPDO表示. (b) 局域张量在强对称性和弱对称性下的变换形式. (c) 蜂窝晶格和 C 自旋的畴壁. (d) Z2×Z2×Z2对称性保护的(2+1)维SPT相的张量结构. (e) Z2×Z2×Z2对称性保护的(2+1)维SPT相的张量元. (f) Z2×Z4对称性保护的(2+1)维本征ASPT相的张量元

为了精准刻画ASPT相, 我们在理论上提出了两类单射性条件, 以确保所得到的混态结构仅具有短程关联, 从而规避了对称性自发破缺和长程纠缠带来的额外复杂性, 使研究能够聚焦于可控且稳定的拓扑结构. 我们系统讨论了强对称性和弱对称性所导致的局域张量变换方程, 如 图1(b) 所示. 物理自由度(红色实线)的对称操作会使虚拟自由度(黑色细实线)和环境自由度(蓝色粗实线)产生相应的对称变换, 可有效刻画系统的非平凡拓扑结构. 当系统具有强对称性时, 密度矩阵的每个纯态分量均具有同样的对称性和对称荷, 因此物理自由度的对称操作 Uk 仅会在虚拟自由度上产生一个规范变换 Vk , 使得每个纯态分量均保持不变. 此时, 虚拟自由度产生的规范变换对应于对称群的投影表示, 所保护的拓扑结构对应于封闭系统的SPT分类. 当系统具有弱对称性时, 密度矩阵在平均的意义上保持对称性, 但不同的纯态分量之间可能会互相转换或重新线性组合, 因此除了虚拟自由度上的变换 Vg 以外, 还会在环境自由度上产生一个额外的幺正变换 Mg , 以保证密度矩阵在弱对称性变换下的不变性. 这种情况下, 对称操作引起的左右矢相位变换会相互抵消, 难以单独保护非平凡拓扑相.

然而, 当强弱对称性同时存在时, 两者在虚拟和环境自由度中的耦合效应可能对拓扑结构形成协同保护, 导致系统边界出现混合反常(mixed anomaly), 从而形成稳定的拓扑物态. 特别地, 当系统的对称性并不是强弱对称性的简单直积, 而是形成某种群扩展结构时, 就可能涌现出一种在纯态系统中从未出现过的新物态——本征ASPT相. 例如, 具有Z4对称性(由两个Z2群扩展而成)的一维量子系统没有非平凡的SPT相, 这是因为群扩展结构对虚拟自由度的变换施加了更严格的自洽性条件, 这些条件就像额外的障碍(obstruction), 阻止了非平凡拓扑结构的形成. 但是, 如果将其中一个Z2改为弱对称性, 它在左右矢上的相位变换会相互抵消, 少了一个约束条件的限制, 反而能够形成非平凡的拓扑结构. 我们系统推导了出现本征ASPT相的条件, 并且构造了一维和二维系统中本征ASPT相的具体张量网络表示, 其中二维系统中由Z2×Z4保护的ASPT相的张量网络结构如 图1(c~f )所示.

尤其值得强调的是, 基于LPDO中环境自由度的不同物理意义, 我们详细讨论了这些混态拓扑相的两种实验实现方案 [7] , 分别对应退相干系统和无序系统. 一方面, 在量子计算平台上可以通过引入辅助比特来表示环境自由度, 基于量子线路实现纯化量子态的实验制备, 进而在退相干系统中实现量子混态. 另一方面, 环境自由度还能作为密度矩阵所代表的系综中各量子态的标签, 借助蒙特卡罗方法对LPDO的环境自由度采样, 即可构建相应的哈密顿量或量子线路系综, 通过无序系统实现量子混态制备. 此外, 我们给出了多个具体样例, 包括一维拓扑物态在退相干系统中的量子线路实现方案, 以及二维拓扑物态在无序系统中的哈密顿量构造, 为后续的实验验证提供了明确且可行的路径. 需要指出的是, 这两类实验实现方案也面临一定的挑战. 例如, 在退相干系统的实现中, 如何精确控制辅助比特与系统的相互作用而不引入额外噪声, 是实验中必须克服的主要问题. 而在无序系统的方案中, 在实验总次数的限制下如何保证环境自由度采样的统计充分性, 以区分拓扑效应和无序引起的偶然效应, 也是一个关键难点. 这些问题的解决需要进一步发展量子控制与模拟的实验技术.

综上所述, LPDO不仅为混态拓扑相的研究提供了一种清晰、直观且系统化的理论工具, 也为探索非理想环境下的拓扑量子结构开辟了全新思路. 研究结果表明, 丰富且独特的拓扑量子现象依然能够在开放系统中涌现, 其中部分拓扑相作为本征结构, 在纯态系统中并不存在. 展望未来, 随着实验平台的不断进步和量子控制精度的提升, 我们有望在真实物理体系中实现并操控这些混态拓扑物态, 为拓扑量子计算、量子通信及量子材料设计注入新的活力.

参考文献

[1] Levin M A, Wen X G. String-net condensation: a physical mechanism for topological phases . Phys Rev B , 2005 , 71: 045110

[2] Chen X, Gu Z C, Liu Z X, et al. Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group . Phys Rev B , 2013 , 87: 155114

[3] Breuer H P, Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford University Press, 2007.

[4] Ma R, Wang C. Average symmetry-protected topological phases . Phys Rev X , 2023 , 13: 031016

[5] Lessa L A, Ma R, Zhang J H, et al. Strong-to-weak spontaneous symmetry breaking in mixed quantum states . PRX Quantum , 2025 , 6: 010344

[6] Ma R, Zhang J H, Bi Z, et al. Topological phases with average symmetries: the decohered, the disordered, and the intrinsic . Phys Rev X , 2025 , 15: 021062

[7] Guo Y, Zhang J H, Zhang H R, et al. Locally purified density operators for symmetry-protected topological phases in mixed states . Phys Rev X , 2025 , 15: 021060

[8] Orús R. A practical introduction to tensor networks: matrix product states and projected entangled pair states . Ann Phys , 2014 , 349: 117 -158

[9] Cirac J I, Pérez-García D, Schuch N, et al. Matrix product states and projected entangled pair states: concepts, symmetries, theorems . Rev Mod Phys , 2021 , 93: 045003

[10] Guo Y, Yang S. Quantum state tomography with locally purified density operators and local measurements . Commun Phys , 2024 , 7: 322

[11] Guo Y, Yang S. Locally purified density operators for noisy quantum circuits . Chin Phys Lett , 2024 , 41: 120302

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