这个2026年的全国硕士研究生招生考试数学题为什么选C而不是D？

题目[2026考研数学一第3题]: 设函数 在区间 上有定义，则( ).

(A) 当 在 上单调递减，在 上单调递增时， 为极小值

(B)当 是极小值时， 在 上单调递减，在 上单调递增

(C)当 的图形在 上是凹的时， 在 上单调递增

(D)当 在 上单调递增时， 的图形在 上是凹的

对于这个题目，一些网络上给出的选项是（D），下面咱们分析一下，看看这个选择题到底选哪个选项是正确的！

参考分析:题目仅给出 有定义，未说明连续性:

(A):反例 此时 在 递减， 递增，但 是孤立点且为局部极大值。故选项(A)错误。

(B):极值点不一定是单调区间的分界点. 反例

当 ， , 是极小值，但在 的任意邻域内函数振荡，不具有单调性。故(B)错误。

(C)：当 的图形在 上是凹的时， 在 上单调递增. 这是凹曲线(凸函数)的一个基本几何性质，通常称为三弦引理的推论. 即

若 是定义在区间 上的凸函数，对于任意的三个点 ，记

是函数图像上的三个点, 是线段 的斜率， 是线段 的斜率， 是线段 的斜率, 则 , 即

几何直观：对于一个下凸（凹）的曲线（形状像碗），若固定右端点 ，让左边的动点 逐渐向右移动（即 增大），那么连接动点 和固定点 的割线斜率会越来越大.

数学推导：设 在区间 上是曲线图形是凹的（凸函数）, 根据凸函数的性质，对于 ，有如下斜率不等式：

在本题中，令 为固定右端点, 令 ，这是点 与 的连线斜率. 对于任意 ，由于 的曲线是凹的，根据凸函数性质可得

即 . 因此，斜率函数 是单调递增的.

选项 (D)：当 在 上单调递增时， 的图形在 上是凹的. 这是一个充分性命题, 仅仅保证动点与右端点连线的斜率单调递增，并不能保证曲线在整个区间内每一点的二阶导数都大于等于0（即不能排除局部有“鼓起”的情况）.

反例构造：构造一个函数 ，使得它与点 的连线斜率 是单调递增的，但函数 在区间内某处是上凸的.

设 ，定义斜率函数为 , 当取 时, 在 上单调增加, 则由 可解得 . 计算该函数的一阶、二阶导数，得

由此可知 在 内为正, 在 内为负,在 内为正, 故 在 内为凸曲线,并非在整个定义域上都是凹曲线. 所以选项 (D) 错误.

【注】：对于凹凸曲线的函数这些性质的讨论是考研中的一个重点，出现的频率相对比较高，比如去年也是此类问题，而且是一个大题。对于这类抽象题的思路一般也具有通用性，很多时候都是基于上面提到的三弦引理。所以对于三弦引理的结论不仅要记住，而且要能够证明。更多相关类型的典型题和高等数学、数学分析综合提高专题训练可以查阅。

以上分析是否正确、严谨

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