中点运用技巧——构造中位线

中点运用技巧——构造中位线

在几何证明中，关于中点条件的运用，通常情况下得到线段间的数量关系，与中点相关联的还有直角三角形斜边上的中线、等腰三角形三线合一、三角形中位线、垂径定理、三角形重心等，还可利用中点构造全等三角形，可谓几何证明题里的多面手，因此，读懂题目条件里和中点有关部分，联想到合适的方法，是破题关键。

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(90° <α<120°)，d为bc的中点，e是线段cd上的动点(不与点c，d重合).连接ae，将线段ae绕点a逆时针旋转α得到线段af，连接ef交ac于点g，过点b作ac的平行线交fe的延长线于点h.< pan>

(1)求证：∠ACF=∠CBH；

(2)若M为线段FH的中点，连接DM，用等式表示线段DM与FG之间的数量关系并证明.

解析：

01

(1)经典手拉手模型，可证△ABE≌△ACF，如下图：

由∠BAC=∠EAF=α得∠BAE=∠CAF，再加上AB=AC，AE=AF，所以△ABE≌△ACF，得到∠ABE=∠ACF，由AC∥BH，可证∠ACB=∠CBH，而∠ABE=∠ACB，所以∠ABE=∠CBH，最后得到∠ACF=∠CBH；

02

(2)作图之后，先观察线段DM和FG，直观发现它们存在倍数关系，验证的方法有两种，一是截长，二是补短，如何选择？

线段DM的两个端点均为中点，点D是BC中点，而点M是FH中点，相应的线段FG两个端点没有特殊条件，因此我们从条件丰富的线段DM入手，将其倍长；

但是在倍长过程中遇到了新问题，若延长MD，与BH相交，显然无法说明这是倍长，同样的若延长DM，无论是AC相交或与CF相交，也无法说明这是倍长，这是思考中无法回避的困境；

解决困境的思路同样来自于中点条件，题目中给出了AC∥BH，这两条平行线被BC所截，而点D恰好是BC中点，因此我们可利用这组平行线来构造全等三角形，连接GD并延长，交BH于点K，如下图：

此时再连接KE，便呈现出△GEK以及其中的线段DM，究竟DM能否成为△GEK的中位线，我们需要证明GM=EM，下面我们来进行思维突破：

利用AC∥BH以及点D为BC中点的条件，我们很容易证明△BDK≌△CDG，从而得到BK=CG，DK=DG；

借助(1)中的∠ACF=∠CBH，即∠GCF=∠EBK，以及BE=CF，我们可得到第二对全等，△BEK≌△CFG，如下图：

所以EK=FG，完成了线段FG的“搬运”，现在完成最后一步中位线的证明：

取△BEK和△CFG的一个对应外角∠EKH=∠CGE，由AC∥BH可得∠CGE=∠H，于是∠EKH=∠H，则EK=EH，所以EH=FG；

由点M为FH中点，得MF=MH，则MF-FG=MH-EH，即MG=ME，点M为EG中点，进而证明了DM是△GEK的中位线，EK=2DM，所以FG=2DM.

解题思考

几何证明思路的探索，是一个不断猜想、验证的过程，直观很重要，它是猜想的来源，在验证过程中一定会遇到困难，毕竟这是几何压轴题，解决困难的方法依然是从现有条件中寻找突破口，所以能否有效以已有条件为基础进行拓展延伸，是找到解题思路的关键。

本题中，为什么要构造中位线？实则是因为在探索解题思路的过程中，经历过的几次失败造成的，最初是我们截长，取FG中点之后，思路进行不下去，然后是因为我们延长DM或MD都无法得到需要的倍长线段，貌似把“截长补短”的路都封死了，给学生造成困难。

所以这个时候就要跳出“截长补短一定要在原线段所在直线上”这个框架，另辟蹊径，这才想到构造中位线，从而连接EK。

作为老师，在引导学生寻找解题思路的同时，不妨将自已是如何找到思路的过程分享给学生，通常在课堂上，老师在学生遇到困难后，急于将方法直接告诉学生，是不妥的，学生遇到困难之后，首先需要的是共情，因为这些困难老师自已在思考过程中也会遇到，当学生听到老师原来也这样碰过壁，接下来会更有兴致知道老师是如何解决困难的，这种悬念加成后，学习驱动会更强；有经验的老师会假装不会，然后有意无意泄露一点信息让学生抓住，一旦学生成功从这些信息中找到了思路，那情绪价值就满了，在这种情况下，解题成就感最强，兴趣也更高，于是学数学就有意思了。