导出范畴中陪域提升固定的态射形变理论

https://arxiv.org/html/2511.10312

Deformation theory for a morphism in the derived category with fixed lift of the codomain

导出范畴中具有固定值域提升的态射的形变理论

摘要：

我们针对复形之间的态射（其陪域具有固定提升）发展了形变–阻碍演算，并将其推广至阿贝尔范畴的平坦幂零形变的导出范畴中。作为应用，我们给出了一个替代性证明：在光滑真态射的概形族中，半正交分解具有唯一的形变。

1 引言
阿贝尔范畴的形变理论，以及描述该理论的形变–阻碍演算，最初在文献 [8, 9] 中提出。随后，文献 [7] 进一步发展了将对象提升至阿贝尔范畴的平坦幂零形变（的导出范畴）的形变理论。本文则推进至下一步：针对复形态射（其陪域具有固定提升）的情形，建立其在阿贝尔范畴的平坦幂零形变的导出范畴中的形变–阻碍演算。

作为该新型形变理论的一个应用，我们给出半正交分解之形变唯一性的另一种证明——这一结论是文献 [1] 中的关键组成部分。

设定与记号 由于本文理论是对文献 [7] 中形变–阻碍理论的推广，我们将沿用该文献中的记号与术语。我们固定一列诺特环（或凝聚环）之间的满射序列：

在单射对象的同伦范畴中形变态射
类似于文献 [7] 中的方法，我们将首先证明关于线性范畴及其形变的同伦范畴的结果（见第 2 节），然后将其限制到描述我们所关心的导出范畴的适当子范畴上（见第 3 节）。为此，我们将借助文献 [7, §6] 中的比较机制，该机制解释了子范畴的提升群胚如何与环境范畴的提升群胚相关联。

我们的第一个定理是以下形变–阻碍结果，将在第 2 节中证明。它是在格罗滕迪克范畴及右限制函子的框架下表述的——这也是文献 [7] 中所采用的设定（但与我们最终感兴趣的设定是对偶的）。

在下文中，记号 K(−)指的是一个加法范畴的复形的同伦范畴（当应用于范畴时），或指诱导于同伦范畴之间的函子（当应用于函子时）。

H⁻¹ 的消失是涉及更高结构的导出形变理论的一个影子，它也出现在文献 [7] 中。我们在此处避免展开这一理论，因为我们当前的应用并不需要它（而且很可能我们的非同伦工具并非处理它的最佳选择）。

注 1.2。定理 A 通过考虑三角形，恢复了文献 [7, 定理 5.7] 中的对象形变理论（在单射对象的同伦范畴版本中）。

并且，零对象的固定提升仍是零对象。

为达到我们的目的，我们需要定理 A 的对偶结果，即关于沿左限制函子（由张量积给出）提升的情形。该结果在定理 2.10 中给出。

导出范畴中的态射形变
定理 A 和定理 2.10 在抽象而一般的设定下已经是很有用的结果。然而，正如例 1.1 所示，我们感兴趣的是使用左限制函子；但准凝聚层的范畴并非余格罗滕迪克范畴。人们可以取准凝聚层范畴的 Pro-完备化，使其成为余格罗滕迪克范畴，但随后需要理解原导出范畴中的形变理论与此 Pro-完备化的导出范畴之间的相容性。这一问题在文献 [7, §6] 中针对对象已得到解决。在第 3 节中，我们将推导出适用于态射的版本。

我们的主要目标是定理 2.10 的以下推论，它具有明确的代数几何意义。

推论 B。考虑例 1.1 中的情形。设有一个正合三角形：

半正交分解的形变 我们现已到达本文发展形变理论的最初动机：证明完美复形范畴的（线性）半正交分解在光滑真概形族中具有唯一的形变。关于半正交分解的背景与上下文，可参见配套论文 [1] 以及 Kuznetsov 的 ICM 报告 [4,5]。

以下定理恰好对应于 [1, 定理 7.7]，只是它用了一个不同的函子来表述，该函子在定义 4.1 中引入。其与 [1, 定理 7.7] 的等价性源于 [1, 定理 5.7] 中函子之间的比较。

定理 C 在第 4 节中的证明，对应于文献 [1] 首版预印本中的论证。然而，该文献的审稿人建议采用一种不依赖从头构建全新形变理论的不同论证方法。

2 单射对象的同伦范畴中态射的形变理论

本节我们证明定理 A。记号沿用该定理中的设定。我们需要一种便捷的方式来表示态射 s:F→G；为此，我们采用余链复形范畴 Ch(C)上的余导出模型结构（coderived model structure）。

3 限制到导出范畴

为了将定理 2.10 应用于我们所关心的情形，我们需要一个类似于文献 [7, §6.3] 中的比较结果。就几何应用而言，我们关注的并非是在 K(ProjProC)中形变态射，而是在那些可避免 Pro-构造的导出范畴中进行形变。

我们需要文献 [7, 命题 6.2] 的类比版本。首先回顾文献 [7, 定义 6.1] 中的如下定义：

定义 3.1。一个函子图

4 半正交分解形变的唯一性

如引言所述，我们在第 2 节和第 3 节发展形变理论的最初动机是为了证明：半正交分解在光滑真概形族中具有唯一的形变。我们将通过建立“分解三角形”形变的唯一性结果来证明这一结论。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2511.10312v1